苏州科技大学线性代数复习卷.docx
复习卷1一、填空题1.已知4B均为三阶方阵，且A=4,IBl=5,则|一2AH=.-1OO-2 .当Z时，矩阵A=OAo可逆。1-143 .设=(21_3),4=(1-2-),a=.(20、4 .已知矩阵A与B=相似，则IAl=.35)5 .已知3阶方阵A的特征值为1,-2,3,则方阵8=31-2A的特征值为.6 .设A是以矩阵，A的秩为(<)，则齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有解向量的个数为.7 .二次型Fa,%2,孙玉)=一工：+¥+¥+%；，则/的正惯性指数是o二.选择题1.设A,B,C都是阶矩阵，且满足关系式ABC=/,其中/是阶单位矩阵，则必有()（八）ACB=I(B)CBA=I(CBAC=I(D)BCA=IC122%1-Tx12x3-TxIIXlX2Xl32.已知行列式X2X22X23=K,则行列式C122孙x22X23x2=()X3X32X3iC122-22-33l22（八）-K(B)K(C)K3(D)-K3.向量组：，小(机3)线性无关的充分必要条件()A.中任意一个向量都不能由其余切-1个向量线性表出B.中存在一个向量,它不能由其余机-1个向量线性表出C.中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数占,&,使+,+£404.以下结论正确的是()（八）阶方阵A必能对角化(B)等价矩阵必有相同的特征值(C)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必两两正交(D)A的对应于特征值的特征向量为特征方程组(A-AE)X=O的全部解。三.解答题(每小题8分,共48分)babbbbah1.(8分)计算4阶行列式D=hbabhbba<-20I)2.(8分)解矩阵方程AX=43X,其中A=1-40l01-1>3.(10分)已知向量组因=(LTO,1),2=(2,1,3,0),3=(3,1,4,-1),4=(3,0,3,1)(1)求向量组的秩并判断向量组的线性相关性(2)求向量组的一个极大线性无关组；(3)把其余向量表示为极大线性无关组的线性组合-xl+x2-kx3=k4 .(10分)线性方程组为xl+kx2-x3=,问2取何值时，线性方程组kxy+x2-X3=k(1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解？有无穷多解时求出其通解。5 .(12分)已知实二次型/(x1,x2*)二才+2x；-2xj+4x用，求一个正交变换X=Py将/化为标准形，并写出所用的正交变换。四、证明题(每小题8分，共16分)1 .1.设向量组4,a2,。3线性无关，证明：向量组x=al+a2+a3,2=al-a2,3=a3线性无关。2 .若工是正交阵，证明：/可逆且AI也是正交矩阵。若向量%?是向量,4.1的线性组合，但不是,e疗2的线性组合，证明：Ctn1A是，。"2，。切的线性组合.复习卷1答案一、填空题1.-160；2.二、选择题1.D2.D3.三、解答题A4.C1.（本题8分）4.10；5.1,7,-3；6.n-r；7.31bbbOa-bOOOOa-bOOOOa-b=(a+3b)(a-b)3D=(a+3b)(8分)2.(本题8分)由AXN-3X得：(A+3)X=AIA+3I=1011-10=-l0,所以A+3/可逆,(A+3),=O-11<2-12Of<-532-2-11-4O=-671Jl1LU-3所以X=1、10>3.（本题10分）因为(qa2233''1001、-IllOOlOl0343OOlOJ-ibOO0；向量组4,a2,a3,a4线性相关(4分)（4分）（4分）所以（1）该向量组的秩为3,（2分）（2），。2，。3为一个极大线性无关组（2分）(3)a4=l+2+0a3,（2分）4.(本题10分)IAl=(1)-1且女2惟一解;(2)Ar=2无解=-U÷l)2(2-A:)(2分)(2分).(2分)-1> <1 -1 -11 O O O-1J IkO 0 00 ;当无=T时方程组有无穷多解,（2分）Jl11(3)当女=一1时，(A)=1-1-1CII(2分)（2分）15.（本题12分）二次型的矩阵A=0202200-2_（2分）标准形f = 2y +2y - 3yj（2分）正交且单位化的特征向量707-=(-2)2(+3),4=4=2,4=-3（4分）正交变换X=Py,尸=阮,%，%四、证明题（每小题8分，共16分）1.设有数匕口2，成使得:kx(%+2+3)+(a1-a2)+k3ay=0即：(1+k2)al+(kx-k2)a2+(k1+k3)a3=0(3分)因为,a2,内线性无关，所以K+网=0.K-Z2=。=>.=匕=0(3分)K+收=0Sja1÷a2 +a3, ax-a2, 03线性无关。(2分)2.因为只是正交阵，所以A=±IWO, A可逆。(4分)y,AAr = ArA = I t 因而4一1(471=047)/从-1=/(2分)即A,也是正交矩阵(2分)复习卷2一、填空题（每小题3分，共24分）1 .若行列式中各行元素之和均为0,则该行列式的值为.2 .设三阶矩阵A的伴随矩阵为A*,已知A=g,则3A-2A*=3.已知A= 0001 与 B= 0x|_04 .设A为正交矩阵，则IAl=.5 .A为阶方阵，4X=O有非零解，则A必有一个特征值等于6 .已知向量2=1，/?=1,2,3',/=1,3,4线性相关，则”；"21'7 .设1平=-2,则.8.当/取值在范围内时，二次型/=/Xl2+A：2+2X3+2xi2+2x23+2玉彳3为正定的.二、判断题（每小题2分，共12分）L设45均为阶方阵,则（AB）k=AkBk（%为正整数）。（）2 .若矩阵A的秩为，则4的所有1阶子式均不为零。（）3 .设A,3,C为阶方阵，若ABC=E,则L=BTAL（）4 .设有n维向量,。2，见，若对任意一组不全为零的数h,&2,kr恒有44+%2。2+krar0f则%,%，%线性无关。（）5 .若阶方阵A有个不同的特征值，则4与对角阵相似。（）6 .A的对应于特征值4的特征向量为方程组（A-；IE）X=O的全部解。（）-1 0 11. （8分）设矩阵H =0 2 01 0 1三、解答题（共48分）矩阵X满足AX+ E = I +X ,求矩阵X。12-3-11-2112.（8分）计算行列式八的值01-1230243（10分）已知向量组已=l,TO,1,a2=2,1,3,0,a3=3,1,4,-l,a4=3,0,3,l（3）求向量组的秩并判断向量组的线性相关性（4）求向量组的一个极大线性无关组；（3）把其余向量表示为极大线性无关组的线性组合Zr1+x2+x3=O4 .（10分）讨论力取何值时，方程组,x1+r2+x3=O有非零解，并求出所有的解。Zr1+x2+Ax3=O5 .（12分）已知实二次型/=2%当+2凡七+2工3,求一个正交变换X=Py将/化为标准形，并写出所用的正交变换。四、证明题（每小题8分，共16分）1 .设向量组四,a2,3线性无关，证明：4+%，a+a3f%+。3也线性无关。2 .设方阵A满足等式4i-3A-10E=0,证明A4E可逆并求（A-4E）T.复习卷2答案二、填空题（每空格3分，共27分）1.0；2.16；3.24.±1；5.0；6.5;7.3；8.r>1；二、判断题（每小题3分，共15分）1.X2.×3.×4.5.76.X三、解答题（共48分）1.（本题8分）由X+E=A2+X得:（A-E）X=（A-E）（A+E）（4分）-00因为A£=010可逆（2分）10020所以X=A+E=030（2分）1021 2 -3 -112-3-11-2110 1-122.（本题8分）=500 1-120 0 5 193 0240 0 0 103.（本题10分）因为(8分)12 3 310 0 1-11100 10 1()343OOlO10-110 0 0 0a2 % j（4分）所以（1）该向量组的秩为3,向量组多,。2，。3，。4线性相关（2分）（2） ,二2，。3为一个极大线性无关组（2分）（3） %=，+%+Oa3,（2分）114 .(本题10分)解：IAI=11=(l-2)2(l+2)(3分)1Ll1>(-10(2)当4=-1时，A=1-11001（1分）,一11-IJN0OJ（1）当几工T且4时，方程组只有零解;（3分）（2分）IXlC'方程组通解为：x2=x21；<x3><>方程组通解为:（x2, x3为任意常数）（2分）(1<111、(3)当；1=1时，A=11100011;N00,（1分）0115 .（本题12分）（1）二次型的矩阵为A=101110（3分）A-E=-(+l)2(2-2),4=4=T，4=2标准形=-y1-y2+2X（2分）(2)特征值4=4=-1所对应的两个线性无关的特征向量为:7=L,%=-1,0,11正交单位化得两个标准正交的特征向量："'=h,or'"2",(特征值4所对应的一个线性无关的特征向量为：%=口，1，V单位化得：1.r，
