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课题:3.4基本不等式基本不等式 2abab第一课时1.1.课题导入课题导入基本不等式2abab的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？2.讲授新课讲授新课 1探究图形中的不等关系 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab22ab 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab探究图形变化过程222abab当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 2得到结论：22,R,2()a bababab一般的，如果那么当且仅当时取号3思考：你能给出它的证明吗？证明：因为 2222()ababa b22,()0,()0abababab当时当时222()02ababab所以，即 特别的，如果a0,b0,我们用 分别代替a、b，可得 通常我们把上式写作 2,abab(a0,b0)(a=b2abab当且仅当时，式中取等号）,ab2abab41）认识基本不等式只要证 a+b （2）要证（2），只要证 a+b-0（3）要证（3），只要证（-）20（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。用分析法证明：要证 2abab（1）2 2）从不等式的性质推导基本不等式2aba b2 ab2 abab3、例题讲解、例题讲解例1 已知x、y都是正数，求证：(1)2；yxxy分析分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.2abab解：解：x x，y y都是正都是正数数 0，0 xyyx2xyxyyxyx=22xyyx即（当且仅当x=y时，式中取等号。）(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解：解：x x，y y都是正数都是正数 xy2 0 xy x20，y20，x30，y30 x2y22 022x y x3y32 033x y(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.xy22x y33x y2 2 2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）4.随堂练习随堂练习 1.已知a、b、c都是正数，求证(ab)(bc)(ca)abc 分析分析：对于此类题目，选择定理：2abab（a0，b0）灵活变形，可求得结果.解：解：a a，b b，c c都是正数都是正数 bc2 0bcca2 0 ac(ab)(bc)(ca)即(ab)(bc)(ca)abc.=8abcab2 0abab2 2 2bcac(当且仅当a=b=c时，上式取等号）本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；两正数a、b的算术平均数()，几何平均数（）及它们的关系（）.它们成立的条件：(1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。2abab2abab 5.课时小结