计算方法3.3特征幂法.ppt

特征问题：代数求解方法：先用特征方程Axx()det()0fIA求出特征值i，再求解线性方程组()0iIA x得到相应于特征值 的特征向量iix求最大特征值的幂法求最大特征值的幂法设123|nA的特征值和特征向量为12,n 12,nx xx满足并且12,nx xx线性无关01212121 122 nnnnnAvAxAxAxxxx 0121 122 kkkknnnA vxxx 0v注意任一向量可以表示成01212nnvxxx从而012212111 kkknnnkA vxxx又注意11i，得到0111limkkkA vx 按方向趋于0111kkA vx 因此，当k 时，向量序列1x（设10）。但是，如果11，则0kA v的范数趋于或0对向量12(,)Tnvv vv，定义()m v为v的按绝对值最大分量。于是()vm v的按绝对值最大分量是1。另外，注意()()mvm v/(/)()vvm vm v（1）选定幂法：幂法：00v 使得10。00uv（2）10vAu10110()()vAvum vm Av令，（3）20210()A vvAum Av2202020220020/()()()()vA vA vA vumm vm Avm Avm A v(4)010()kkkkA vvAum A v00()()kkkkkvA vum vm A v2,3,k 幂法的收敛性在给定条件下，已知0111kkA vx因此，10110111()()()kkkxA vxum A vmxm x1111111111()()()()kkxm vm Aum Am xxxmmm xm x例 110.5110.250.50.252A主特征值为12.536532主特征向量为1(0.7482,0.6497,1)Tx 取初始值为0(1,1,1)v 1(0.9091,0.8182,1)2.750000 5(0.7651,0.6674,1)2.558792 10(0.7494,0.6508,1)2.538003 20(0.7482,0.6497,1)2.536532k()kTu()km v3.3.2 反幂法：按范数最小特征值设Axx则11A xxA于是的按范数最小特征值就是1A的按范数最大特征值。因此，将幂法用于1A即可。反幂法：任取1111 (,()kkkkkkkkkAvuLUvAuuvum vv00vu1,2,k 收敛速度取决于1111nnnnr当1r 时收敛。求任意特征值：已知A某个特征值i的近似值p设,ijppij 1()ApI存在则11()()iiiApIxpx并且1()ip是1()ApI的按范数最大特征值原点位移的反幂法：1()()kkkkkApI vuvum v1,2,k LU分解