《概率论与数理统计》习题三答案.docx
概率论与数理统计习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以V表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的肯定值.试写出X和y的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X012310GllI3c,-×-×-=-32228C-×-×-=383222031_800IlllXX二一22282.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和丫的联合分布律.【解】X和y的联合分布律如表：X0123000C"C；3C4j-35C；C；_2-3510CCeCe6C；35CC*C*12C；35C：C2C=352P(O黑,2红,2白)二=35c3*c2*c2_6C；-35_3C；3503.设二维随机变量（X,Y）的联合分布函数为,、sinxsiny,0x-,0y-F（x,y）=220,其他.求二维随机变量（X,Y）在长方形域（）<x1,<y内的概率.【解】如图P0vXq,色vY2公式(3.2)463FGA)-尸(？今-(0,三)+F(0,J)434636TC7CTT7Cr.TCz-x7C=smsmsinsmsinOsn+sinOsm434636题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4 .设随机变量(X,Y)的分布密度Ae-(3v+4v),x>0,y>0,0,其他.求：(1)常数A；(2)随机变量(X,Y)的分布函数；(3) POX<1,0y<2.【解】由匚匚/(x,y)dxdyAe-dxdy=1得A=2(2)由定义，有产(,')=/(w,v)dwdvJ-RJVJJJ2e-(3M+4v>dwdv_f(l-e-3x)(l-e-4v)j>0,>0,0。，其他(4) P0X<l,0r<2=po<x,o<r22e-(3r+4v)dxdy=(l-e-3)(l-e)0.9499.5 .设随机变量(X,Y)的概率密度为k(-x-yOCXV2,2<yv4,f(x,V)=S_.l0,其他.(1)确定常数k；(2)求Pxv,y<3)；(3)求PX<1.5;(4)求PX+y4.【解】(1)由性质有f+0o<+oo,2(4JJfay)dxdy=JoJ,&(6-x-y)dydx=8Z=1,故R=-8P(X<l,y<3='ff(x9y)dydx-XJ-OO=氓砥*y)d心=|尸X<1.5=JJ/(x,y)cUdy三aJf(x,y)xdyx<l.5:(6-x-y)dy=.x+r4D2(4)尸X+y4=f(x,y)dxd)，如图bIf(x,y)dxdyy的密度函数为f(y)=<5e5v,0,y>0,其他求：（1）X与y的联合分布密度；（2）py<x.【解】（1）因X在（0,0.2）上听从匀称分布，所以X的密度函数为1A(X)= 020,0<x<0.2, 其他.人(y) = <5e-5 y>0, 0, 其他.所以/(x,y)X,y独立力(办4(y)×5e-5y 0.20<x< 0.2 且y > 0, 其他.(2) P(YX)=f(x,y)dxdy如图J25e_5vdrdyyxD=dx25e'5v,=C2(-5e-5x+5)dx=e,0.3679.7 .设二维随机变量(X,X)的联合分布函数为F (x, y)=,(l-e)(l-e-2y),x>O,y>O,0,其他.求（X,Y）的联合分布密度.【解】f(Ky) = MM oxy8e-s>, x>o,y>O,0, 其他.8 .设二维随机变量（X,X）的概率密度为4.8y(2-x),0<xl,Oyx,0,其他.求边缘概率密度.【解】(x)=J(x,y)dyf4.8y(2-X)dy2.4x2(2-x),0x1,=(Jo=V0Io,其他(>,)=/U,j)<tvf'4.8y(2-x)dx2.4y(3-4y+/),0yl,0：,其他y=xy=x9 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(%，y)=<,O<X<y,其他f (x, y)ex y, X y,0, 其他求边缘概率密度.【解】fx(x)=f(x.y)dyJ-QOr+coeydyet,x>0,=(JX=V0,10，其他.f+<»f(y)=f(,y)也J-8=；"=产y>00,其他.题10图10 .设二维随机变量(X,y)的概率密度为(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度.解OHy)dxdy如图f(x,y)dxdy121312exyay=c=l.21Tj+00fxM=f(,y)dy-lxl,其他.OyL其他.5-2y7-2厂VIl.设随机变量(X,Y)的概率密度为/(X，y)=1,y<X,0<X<1,0,其他求条件概率密度加X(yl),f×【解】U)=400f(,y)dy-OOIdy=2x1=J-X-X0,0<X<1,其他.(y)=Fa,y)d="fldx=l+y,j-yflldx=l-y,jy0,-i<y<,0y<l,其他.所以八”“赛azzlxf(,y)fxiYMy)=l1-yl+yO,y<<t,-y<<l,其他.12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.（1）求X与y的联合概率分布；（2）X与y是否相互独立？【解】（I）X与y的联合分布律如下表345PX311_1cTo22Er万33cio6Io20J_J_cf-To2_2cio3Io3001_1c1lo1IoPy=yi1W3W6To(2)因px=ipy=3=gL=-w'=PX=,y=3,IOIOIIO故X与y不独立13.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为2580.40.150.300.350.80.050.120.03（1）月之关于X和关于y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】（1）X和y的边缘分布如下表258Py=y0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.2PX=i0.20.420.38(2)因PX=2Py=0.4)=0.2×0.8=0.160.15=P(X=2,y=0.4),故X与y不独立.14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（O,I）上听从匀称分布，V的概率密度为>0,他 C其 2v一 e 1-20, 广 一 ； <=yZlx（1）求X和y的联合概率密度；【解】因力（X）= <1, 0<x<l, 0,其他；（2）设含有的二次方程为4+2X+y=0,试求。有实根的概率.,/、二e,y>i,f(y)=20,其他.e"20VX<V故f(x,y)X,y独立FX(x)A(>,)=l20,其他.题14图（2）方程2+2X+y=0有实根的条件是=(2X)2-4K0故xy,从而方程有实根的概率为：PX2Y=/(x,y)dxdyxty=Wo=l-2r(l)-(0)=0.1445.15.设X和y分别表示两个不同电子器件的寿命 从同一分布，其概率密度为（以小时计），并设X和y相互独立，且听f（X）=,1000X20,% >1000,其他.求z=xy的概率密度.V【解】如图Z的分布函数Fz(Z)=PZz=P<z(1)当z0时，Fz(z)=0（2）当（Kzvl时，（这时当X=IOoo时尸）（如图a）z题15图 当ZNl时，（这时当尸U时，尸1（）3Z）（如图b）%=Q篝酬=£。筹Cky-z>l,0<z<l, 其他.zl,0<z<l, 其他.2z1.(z)=<0,2z2一、1ZJ(Z)二份0,16 .设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地听从N（160,202）分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为MG=I,2,3,4),则XN(160,202),从而Pmin(X，X2，X3，X4)N180Xj之间独立PX180PX2180PX3180.PX4180=1-PXi<180.1-PX2<1801-PX3<i80J41-P(X4<180)= l-PX1<1804 =180-160 Y - J=1-(1)4=(0.158)4=0.00063.17 .设X,y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p(k),D,1,2,，PY=r=q(r),r=0,1,2».证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=p(k)q(i-k),Z=O,1,2,.=o【证明】因X和Y全部可能值都是非负整数，所以(z=)=x+r=x=0,y=0x=1,y=i-i=×=0)于是呻制二方长乂号丫二一因丫相互独立大片乂=%/1=一Jt=OIC=O=fp(k)q(i-k)Jt=O18 .设X,y是相互独立的随机变量，它们都听从参数为，的二项分布.证明z=x+y听从参数为2”，P的二项分布.【证明】方法一：X+y可能取值为0,1,2,，2n.kPX+Y=k=PX=iyY=k-i/=O=ZP(X=i)PU=0I=O V IA l)方法二：设4|小2,小点0'2,，"J均听从两点分布(参数为P)，则X="l+"2+
