第3章随机变量及其分布.ppt

质量管理统计技术质量管理统计技术第第3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布北京联合大学机电学院北京联合大学机电学院质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节随机变量及其分布随机变量及其分布 第第3节节随机变量及其分布随机变量及其分布1.随机变量随机变量 1.1 随机变量随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母母X、Y、Z表示。表示。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节随机变量及其分布随机变量及其分布 1.2 随机变量的类型随机变量的类型 离散随机变量离散随机变量 一个随机变量仅取数轴上有限个点，则此随机变一个随机变量仅取数轴上有限个点，则此随机变量为离散（型）随机变量。量为离散（型）随机变量。连续随机变量连续随机变量 如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个范围（个范围（a，b）或整个数轴，则此随机变量为连续）或整个数轴，则此随机变量为连续（型）随机变量。（型）随机变量。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节随机变量及其分布随机变量及其分布2.随机变量的分布随机变量的分布 随机变量的取值是随机的，但有着内在的规律性。这随机变量的取值是随机的，但有着内在的规律性。这个规律性可以用分布函数来描述。认识一个随机变量的关个规律性可以用分布函数来描述。认识一个随机变量的关键就是知道它的分布。键就是知道它的分布。随机变量随机变量X的分布内容：的分布内容：X可能取哪些值或在哪个区间上取值可能取哪些值或在哪个区间上取值 X取这些值的概率各是多少？或取这些值的概率各是多少？或X在任在任一小区间一小区间 上取值的概率是多少？上取值的概率是多少？质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1离散随机变量的分布离散随机变量的分布 离散随机变量的分布可用分布列表示（离散分布）离散随机变量的分布可用分布列表示（离散分布）分布列分布列X X1 X2 Xn P p1 p2 pn 或用数学式表达：或用数学式表达：P(X=Xi)=pi i=1，2n（p1+pn=1）pi也称为分布的概率函数也称为分布的概率函数质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.2连续随机变量的分布连续随机变量的分布 用概率密度函数表示（简称分布）用概率密度函数表示（简称分布）条件：条件：p（x）0 1)(dxxp质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布概率密度函数概率密度函数p(x)的各种形式的各种形式 位置不同位置不同质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 散布不同散布不同质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布 形状不同形状不同 其中其中p(x)在在x0点的值点的值p(x)不是概率，是密度。不是概率，是密度。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布注：纵轴原为注：纵轴原为“单位长度上的频率单位长度上的频率”，由频率的稳定性，由频率的稳定性，可用概率代替频率，纵轴就成为可用概率代替频率，纵轴就成为“单位长度上的概率单位长度上的概率”即概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲即概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。线。p（x）x质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布重要结论：重要结论：1）X在区间（在区间（a，b）上取值的概率）上取值的概率 p(aXb)为概率密度曲线以下区间（为概率密度曲线以下区间（a，b）上的面积，即）上的面积，即 P(ab)=badxxp)(质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第1节节 随机变量及其分布随机变量及其分布2）X在一点取值的概率为零，即在一点取值的概率为零，即 P(X=a)=0 故：故：P(axb)=P(axb)=P(aXb)=P(aXb)质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第2节节 随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量分布的均值、方差与标准差 第第4节节 随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量分布的均值、方差与标准差4.1 均值均值 用来表示分布的中心位置，用用来表示分布的中心位置，用E(X)表示表示 X是离散随机变量是离散随机变量X是连续随机变量是连续随机变量)(XE iipxdxxxp )(质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第2节节随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量分布的均值、方差与标准差4.2 方差方差 用来表示分布的散布大小，用用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示表示 )(XVarX是离散随机变量是离散随机变量X是连续随机变量是连续随机变量iiPxEx2)(dxxPxEx)()(2 标准差：用标准差：用表示表示)()(XVarX 表示分布的散布大小。表示分布的散布大小。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第2节节随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量分布的均值、方差与标准差4.3 均值与方差的运算性质均值与方差的运算性质 对任意二个随机变量对任意二个随机变量X1和和X2，有，有 设设X为随机变量，为随机变量，a与与b为任意常数，有为任意常数，有 )()(2XVarabaXVar E(ax+b)=aE(x)+b E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第2节节随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量分布的均值、方差与标准差 )()()(2121XVarXVarXXVar 设设X1与与X2相互独立相互独立（和的方差等于方差之和）（和的方差等于方差之和）这个性质可推广到三个或更多个相互独立这个性质可推广到三个或更多个相互独立 随机变量场合随机变量场合 方差的这个性质不能推广到方差的这个性质不能推广到标准差场标准差场合，对任意两个相合，对任意两个相互独立的随机变量互独立的随机变量X1与与X2，(X1+X2)(X1)+(X2)而应为：而应为：)X(Var)X(Var)XX(2121 方差具有可加性，标准差不具有可加性。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布3.1常用的离散分布常用的离散分布 1）二项分布）二项分布 xnxnx)p(p)xX(P 1x=0，1，n 其中其中 表示从表示从n个不同元素取出个不同元素取出x个的组合数。个的组合数。)!xn(!x!nnx 记为记为b（n，p）质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布 二项分布均值、方差和标准差二项分布均值、方差和标准差 均值均值E(x)=np 方差：方差：Var(x)=np(1-p)标准差：标准差：)p(np 1质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布 2）泊松分布：（常用于计点过程）泊松分布：（常用于计点过程）e!x)xX(PXx=0，1，2，记为记为P()其中其中e=2.71828泊松分布均值、方差和标准差泊松分布均值、方差和标准差 均值：均值：E(X)=方差：方差：)X(Var 标准差：标准差：质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布 3）超几何分布：（不放回抽样）超几何分布：（不放回抽样）NnMNxnMxxXP)(式中式中r=min（n，M）M为为N中所含不合格品数，中所含不合格品数，n为样本量为样本量记为记为h（n，N，M）超几何分布均值、方差、标准差超几何分布均值、方差、标准差 均值：均值：NnM)X(E 方差：方差：MNNMN)nN(n)X(Var 11质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布3.2 常用连续型随机变量的分常用连续型随机变量的分布布1）正态分布：能描述很多质量特性正态分布：能描述很多质量特性X随机取值的统计规随机取值的统计规律性。律性。正态分布概率密度函数：正态分布概率密度函数：222)(21)(xexp（-x+）正态分布含两个参数正态分布含两个参数和和，常记：，常记：N(,2)。其中。其中为为分布均值（即分布中心）；分布均值（即分布中心）；2为分布方差；为分布方差；0为分布标准为分布标准差。差。质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布正态分布概率密度函数图形分析正态分布概率密度函数图形分析 标准正态分布：标准正态分布：=0且且=1的正态分布，称为标准正态分布，的正态分布，称为标准正态分布，记记N（0，1），其变量记为），其变量记为U，概率密度函数记为，概率密度函数记为(u)2221ue)u(质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布标准正态分布表及其应用标准正态分布表及其应用可用于计算形如可用于计算形如“Uu”随机事件发生的概率。随机事件发生的概率。如：如：查附表得查附表得0.93575).().U(P521521 U(p)aU(P )a()a 质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布U(P)a()a 1质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布)a()a(1质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布)a()b()bUa(P 12 )a()aU(P)aUa(P)aU(P )()(aa )(1)(aa 1)(2 a质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布 标准正态分布标准正态分布N(0，1)的分位数的分位数 分位数（分位数（为为01间实数）间实数）指它的左侧面积恰好为指它的左侧面积恰好为，右侧面积恰好为，右侧面积恰好为1-，即用概率表达即用概率表达 )uU(P当当=0.5时，称为中位数，时，称为中位数，N(0，1)分布中分布中u0.50 0.5时，如时，如=0.25则则u0.25=-u0.75 查附表查附表 u0.75=0.675，故，故u0.25=-0.675质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用分布常用分布 1 u质量管理统计技术质量管理统计技术 第第3 3章章 随机变量及其分布随机变量及其分布第第3节节 几种几种常用