中科大光学讲义06傅利叶变换光学.docx

第六章傅里叶变换光学处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是从光的波动性出发，应用波的叠 加原理或是菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传 统光学的一般方法。但是，我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们 有益的启示。入射的电磁波，即入射波场，遇到障碍物之后，发生衍射。衍射波 场中，各种物理量重新分布，与简单的入射波场有极大的差别。这种差别，是由 于隙碍物造成的，或者说，衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。 所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍射。衍射障碍物就是衍射屏，具有一定的空间结构、或者光学结构，这种空间的 光学结构，可以用某种形式的函数来表示，这样一来，衍射障碍物对入射波场的 变换作用，就可以表示为入射波的复振幅与该函数的乘积。从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场 或者波面产生改变的因素，例如成像系统中的透镜、反射镜，它们的作用都可以 应用变换的方法处理0二次大战中，由于对雷达波的研究，促进了光学理论的发展，使得变换光学 得以建立。§ 6.1衍射系统的屏函数一.衍射屏函数衍射发生的条件，要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现 衍射的。衍射障碍物的存在，使得波面改变，或者说波的复振幅重新分布。以前 的衍射屏的作用就是这样。所以，把能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍 射屏。单缝、圆孔、光栅等等，是我们熟悉的衍射屏，透镜、棱镜等，也是衍射 屏。衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空 间。波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为“,y)和l2(y),接收屏上的 复振幅为b(,y'),分别称之为入射场、透射场(或反射场)和接收场。衍射屏 的作用使得a(x,y)转换为Z,(x,y)。用函数表示，耽y)=.”上),(x,y) 一 口(")为透过率或反射率函数，统称屏函数。屏函数为更数，i(x, y) = r(x, y) expz,(x, y)o模t(x, y)为常数的衍射屏称为位相型的，幅角0,(x,y)为常数的衍射屏称为振幅型的。二.相因子判断法知道了衍射屏的屏函数，就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的 复振幅变换情况，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求 解的困难，完全确定屏函数通常较困难，或者说几乎是不可能的。所以只能采取 一定的近似方法获取衍射场的主要特征。如果能够确定屏函数的位相，则可以通 过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种方法称为相因子判断法。傍轴近似下，各种类型的波的相因子罗列如下。1、波矢沿(9,92)(与平面夹角)方向的平面波expz(sin91x + sin92y)r. < + /.exp戊2 2z3、轴上汇聚的球面波exp TkX W 2rX-y4、轴外发散球面波exp|/A:(-S5、轴外汇聚球面波expHMLL - XV 切 2 rX-y三.波前的相因子典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得。透镜的位相变换函数（透过率函数）薄透镜，中心厚度为向，透镜的有效口径为。o即光束被限制在直径为。的范围内。U (x, y) = A1 exp0l (x, y) , U2(x, y) = A2 expz2(x,)，) ° 透镜的透过忽略透镜的吸收，即a(x,y) =A2ZA1 = I,有X y + r DTDT7l(x, y) = exp%(x, y) = expz(2(x, y) -1 (x, y)，为透镜的位相变换函数。对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得 经透镜后的位相差为(PL (, y) = + 2 ÷ d(, y)，JT=1+2÷w(-1-2) = "一 i)(, + 2)00 =4近轴条件下，l fey) = l -J-(H -l)(l -) rI rI可得透镜的位相变换函数为7(x,y) = expL%"一十1-，其相因子为 -ik' . )P2F可以用上述函数得到几何光学的物像公式。例如，平行光正入射，入射波在透镜平面处的复振幅为(71 = A1,透射波为22U2(x,y) = "(x,y)7(x,y) = A1exp-A-I-为汇聚到透镜后 F 处的球面波。透镜焦距为Fo 2如果如射波是透镜前S处的球面波，则W(X,y) = Aexp由"')2j衍射波U2(x,y) = AgxpM +J.expLik' ' = A1 exp-ik- -(-)*r) = r(1心 r 4222fcy)= Jr/ -(x2 ÷y2) 一 ' : ,l(x,丫)二一2"，"_ |(工 _ La2 + y2)=一炉 匚 , 其 中 y rl n?F为汇聚到-处的球面波。$'=即物像公式为-+-=A.<<* F2.棱镜的位相变换函数(透过率函数)在棱镜前后各取一相互平行的平面，入射波和透射波在两平d,A面上 的复振 幅各为U(尤y) = A1 expz1 (x, y) , LE 区 y) = A2 expz2 (x, y)薄的楔形棱镜，可以得到Vp(x,y)-=(A + nd) =<A + HdO -必)-0O 0o = -nd0,为常数，相当于从棱镜中部(即光轴处)通过的光的位相滞后。如果棱镜前后两面的交棱，即楔角处的棱与y JD轴平行，楔角为,则A = X。4为棱镜中心处的厚度。e p(,y) = - k(n - l)x如果棱镜的前表面保持在Xy平面内，而前后两面的交棱在Xy平面内沿任意 方向，即相当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角a，O 表征，则有7p(x,y) = exp-A(n - l)(a1x + 2y)例如，轴上一物点到棱镜的距离为S,则其发出的球面波经过棱镜后出射的 波前可以按以下方法求得22U2(x9y) = Ul(X,y)7°(%y) = AeXPAiexp-火 -l)(alx + a2y)2«=AeXPiN' . ' - （n- l）（rr+ 叩）Is等效于轴外物点发出的球面波，点源的位置为m = （"-1Rs,% =（- l）a , Z0 = 5透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏，只对波的位相起变换作用，是一种简单 的变换装置。§ 6.2夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析一.屏函数的傅里叶变换1.空间频率的概念单缝、距孔、圆孔或者光栅，都是衍射屏，其作用是使入射波的波前改变， 可以用屏函数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅，即具有 周期性空间结构的衍射屏。衍射屏具有空间的周期性，而波也具有空间的周期性，即衍射屏函数和复振 幅都是空间的周期性函数，那么一定可以从数学上得到新的处理方法,衍射光栅具有空间的周期性，无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅，其周 期都可以用光栅常数d表示。周期的倒数是频率，例如对于振动，其振动周期T的倒数是振动的频率u , 这是时间上的周期和频率。同样，在空间上也可以定义周期和频率，空间周期的 倒数就是空间频率，即有了 = 5。/称为空间频率。周期性的衍射屏，既可以用空间周期描述，也可以用空间频率描述。前面说过的反射、透射或闪耀光栅，可以认为是“黑白型”的。即一部分使 光全部透射或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏，其屏函数表 示为Ky）=小 ?子严格的周期函数,应该是定义域为整个Xy平面。 s,“ （0遮光部分X方向的透过率表示为 , J1 , nd < < 1i 十 nd Ii心)=(.(-,+)O X0 + wt ÷ < X < x0 ÷(W + l)J其周期性表示为Kx) = Kx + nd), d为最小的空间周期，即空间周期。空间频率为/ =。如果透过率的变化是三角函数形式，即余弦或正弦型的，称为正弦光栅。2,正弦光栅的傅立叶变换正弦光栅，如果光栅刻线与y轴平行，则其透过率在X方向作周期性变化， 周期为d , 空间频率为7 , f=ld o 其屏函数可以写成(X) = 0 + 1 cos( 2fa + 0 0) o平行光正入射，由于LZ1(X) = A1,则透射波的复振幅为U2(x) = Z)r(x) = A t0 + ti cos(2k +n)。而cos( 2fa + ©J = g exp i(2fa +0)l + exp -i(2fic +0),所以IU2(x) = Ait0 + A1l expep i(2fa +0)J + -A,r1exp -i(2fx +0)J，即U2(x) = Uq(x) + L+1(x) + t-1(x)，透射波实际上变为三列平面波关于波的方向U+1 (x) = IAd expz(277x +0)J »为平面波，其波矢在X方向的分量为k + 'x =2f ,方向角为sin9,+, Jl=W=其余两列波的方向角分 别为 sin9°=0, sin9,", = -J<. f为空间频率。一列波，其空间频率越大，在X方向的波矢分量越大，即对于光轴的角度越 大。所以，对于有限大小的通光孔径，总是空间频率小的波可以通过，空间频率 大的波不能通过。这就是空间滤波的原理。(X) = A1Z0 , 0级波，直流成分，方向sina = 0 tl exp i(2fx +0)J , +1 级波，方向 sin。=ftx exp -i(2fa +o) ， -1 级波,方向 sine.1= -f上述结果与前面用衍射积分公式得到的结果是不一样的，积分公式的结果是us = KFU d"曰+zl2+ Ly OjB) 2 。斤不同的原因是由于光栅的宽度是有限的，所以上述的屏函数或透过率实际上 不是严格的周期性函数，因而每一列波都有相应的半角宽度。o = , il = - , D是光栅的有效宽度。CDCOS%3,周期性屏函数的傅里叶变换对于一般的周期性的屏函数，可以用傅里叶级数将其展开为一系列正弦和余 弦函数的和。如果周期函数为t(x),其周期为d, .r (- , +),则t(x)可以用Fourier 级数表示，即，3 = Z0 + 工 an cos 2fnx + V sin 2fllx ,其中 £ 二*二 J， >oQO41 =二是基频。d而相应的FOUrier系数为t（x）dx. =； DX）CoS（2或、心2 df2b" = J d, 2®）sin（2'/世 或者，心）二4 + Z Cn cos（2ftlx 一。“），cn = Jaj ÷ ，lt = tan - 忆。或者，KX) =务 + e×pi(2rf,lx - ,l) = t0 + Z乙 expi(2ftlx) )工=P