第二章数列极限12学时.docx

第二章数列极限（12学时）§1数列极限概念教学目的与要求1 .理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2 .掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.教学重点：数列极限概念.教学难点：数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.学时安排:3学时教学方法：讲练结合。教学程序：若函数f的定义域为全体正整数集合N+,则称fNR或/（«）,n+为数列.因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列/5）也可写作或简单地记为“,其中明,称为该数列的通项.关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子.例1古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之梅，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去.把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下第二天截下-V,，第n天截下工，这样就得到一个数列2222不难看出，数列*7的通项!随着的无限增大而无限地接近于0.一般地说，对于数列%,若当无限增大时明能无限地接近某一个常数。，则称此数列为收敛数列，常数。称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着的无限增大，叫无限地接近某一常数。这就是说，当充分大时，数列的通项与常数。之差的绝对值可以任意小.下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义.定义1设为为数列，。为定数.若对任给的正数£,总存在正整数N,使得当，>N时有Ian-a<则称数列凡收敛于定数。称为数列凡的极限,并记作Iim勺=，或z5oo）.读作“当趋于无穷大时，明的极限等于。或明趋于若数列4没有极限,则称列“不收敛,或称为为发散数列.定义1常称为数列极限的£一N定义.下面举例说明如何根据£-N定义来验证数列极限.例2证明Iim-L=O,这里为正数，一Sa证由于=一°=1，nn故对任给的£>0,只要取N=二-+1,则当>N时，便有百.<<BPI-0<.naNana这就证明了lim-=0.n例3证明rt=on-3分析由于9因此，对任给的£>0,只要一<£,便有9即当>一时，（2）式成立.又由于（1）式是在23的条件下成立的，故应取9N=max3,-.9证任给£>0,取N=max3,3.据分析，当>N时有（2）式成立.于是本题得证.注本例在求N的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便.但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N.又（3）式给出的N不一定是正整数.一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可.例4证明limq”=0,这里g<l.证若q=0,则结果是显然的.现设0<4<l.记a=1,贝J>0.我们有Ig一OI=I小一：(1+)rt并由（1+%）"1+刀得到l7<jr（4）1+nhnh对任给的£>0,只要取N=-,则当篦>N时，由（4）式得q"-0<e.这h就证明了Iimqn=0.wo注本例还可利用对数函数y=Igx的严格增性来证明（见第一章§4例6的注及（2）式），简述如下:对任给的£>0（不妨设£<1）,为使14"-Ol=Iqr<£,只要lgI夕<Ig£即>（这里也假定OVql<1）.Ig于是，只要取N=单一即可。Ig例5证明Iim加=1=1,其中>0.l00证3）当。=1时，结论显然成立.（ii）当>1时，记=。-1,则a>0.由«=(1+a)f,1+na=1+n(an-1)1-1an-1n.任给£>0,由（5）式可见，当>匕=N时，就有。7一1<£,即所以Hm加=1.P“TOO(iii)当0<vl时，上一I二4则>0由L=(I+夕)"1+"7=1+”Naa-a-1-a1得1一4L=；以<-2-（6）+-1.1+（-IM1+任给£>0,由（6）式可见，当>1+幺二=N时，就有1一。7<£,即|。,一1|<£.所以1加后=1.£关于数列极限的£一N定义，应着重注意下面几点：1. £的任意性定义1中正数£的作用在于衡量数列通项明与定数。的接近程度，E愈小，表示接近得愈好；而正数£可以任意地小，说明。“与。可以接近到任何程度.然而，尽管E有其任意性，但一经给出,就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N,又£既时任意小的正数，那么£,3£或一等等同样也是任意小2的正数，因此定义1中不等式中的£可用,3威一等来代替.同时，正由于£是任意小正数，我们可限定£小于一个确定的正数（如在例4的注给出的证明方法中限定£VI）.另外，定义1中的an-aVg也可改写成-g.2. N的相应性-一般说，N随£的变小而变大，由此常把N写作N（E）,来强调N是依赖于£的；但这并不意味着N是由£所唯一确定的，因为对给定的£,比如当N=IOO时，能使得当>N时有Ia“则N=I（H或更大时此不等式自然也成立.这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小.另外，定义1中的，>N也可改写成N.3. 从几何意义上看，“当>N时有”意味着：所有下标大于N的项勺都落在邻域U（a；£）内；而在U（a;£）之外,数列中的项至多只有N个（有限个）.反之,任给£>0,若在1）（0£）之外数列%中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为N,则当>N时有%U（,g）,即当>N时有an-a<.由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：定义1任给£乂），若在U（a,£）之外数列“中的项至多只有有限个，则称数列%收敛于极限0.由定义1,可知，若存在某4>0,使得数列%中有无穷多个项落在US*。）之外，则勺一定不以。为极限.例6证明/和（一1）"都是发散数列.证对任何R,取=1,则数列M中所有满足>+1的项（有无穷多个）显然都落在u（a;q）之外，故知，/不以任何数。为极限，即a?为发散数列.至于数列（-1），当时取£0=1，则在U（w4）之外有（一1）”中的所有奇数项；当。时取£。=g-l,则在U（；£o）之外有（T）"中的所有偶数项.所以（一l）"不以任何数4为极限，即（一l）"为发散数列.例7设IimX“=Iimy”=,做数列如下：nn>2”：再，%，了2，当，乙，丁，一、证明IimZft=n证，因IimX“=Iimy=。,故对任给的£>0,数列乙和yll中落在Ua）之外的项都至少只有noo有限个.所以数列z“中落在U（0£）之外的项也至多只有有限个.故由定义L证得IimZzf=例8设/为给定的数列，2为对册增加、减少或改变有限项之后得到的数列.证明：数列"与4同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等.证设“为收敛数列，且Iim,=按定义1,对任给的£>0,数列凡中落在U（；£）之外的项woo至多只有有限个.而数列2是对%增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，"中的每一项都是伍中确定的一项，所以俗”中落在U（a*）之外的项也至多只有有限个.这就证得Iim2=.t>现设%发散.倘若5收敛，则因%可看成是对5增加、减少或改变有限项之后得到的数列，故由刚才所证，/收敛，矛盾.所以当%发散时，4也发散.在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若Iima“=0,则称4为无穷小数列.n由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理2.1数列,收敛于。的充要条件是：%-。为无穷小数列.IV小结与提问：本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出IimaZtWa和Iima,l不存在的“N”定义.wnV课外作业：尸272、3、4、6、7、8.§2收敛数列的性质教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。学时安排:3学时教学方法：讲练结合。教学程序：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证Iim4=。的方法，这是极限较基本的内容，要woo求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列4收敛，则它只有一个极限。性质2（有界性）若数列q收敛，则4为有界数列。注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列（-1）”有界，但它不收敛。性质3（保号性）若IimqI=。>0（或<0）,则对任何"（O,a）（或"（,O）,存在正数N,woo使得当>N时有（或性质4（保不等式性）设数列4与物均收敛，若存在正数N。，使得当>乂时有q",则IimazIIim。nacwoo思考：如果把条件”q4"换成"见<女”，那么能否把结论换成Iima“<limb”？一>2n<c保不等式性的一个应用：例1设0（=l,2,3,），证明：若Iim。=。，则IimJ7=<3OY思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？性质5（迫敛性）设收敛数列4、"都以a为极限，数列%满足：存在正数N。,当>N0时有az12,则数列%收敛，且Iimt=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：例2求数列5；的极限。性质6（极限的四则运算法则）若q、也为收敛数列，则4+,4-2,4也都收敛，且有Iim（a±bll）=a±b=Iiman±Iimbll;QO-KCW0OnlO0TOO若再做假设“0及lim2w,w0>则数列%也收敛，且有bJIim(,f-bll)=ab=hmanmblt.Hm%，.蛆e"bIlmbtt/1>00特别地，若勿=c,则Iim(a”+c)=Iimalt+c,Iimcall=diman.noowoojqonoo在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；24÷ci,in÷+Ciyn+aa+i.,.C例3求hm,其中加%,qwW0,4W0.n00hkn+÷+Z>17i+求lim乙，其中wl.T8an+1例5求->4?).r111例6求Iim+r+."0o(r(“+if(2)J二数列的子列1.引言极限是个有效的分析工具。但当数列为的极限不存在时，这个工具随