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第八章第八章 空间解析几何空间解析几何第一节第一节 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系. .即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2 角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向.一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M结论：设),(111zyxA和),(222zyxB为两已知点，点M为线段AB上的一个点，且 MBAM，则 M(x, y, z)的坐标分别为：ABMxyzo,121 xxx,121 yyy.121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为起点，为起点，2M为终点的有向线段为终点的有向线段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：三、向量的概念三、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原与原点构成的向量点构成的向量. . OMMbaba/,即即平行于平行于向量向量向量的共线、共面向量的共线、共面的夹角，垂直的夹角，垂直与与向量向量ba空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向量a与向量b的夹角),(ba ),(ab 0() 四、向量的线性运算四、向量的线性运算1 1 加法：加法： 符合平行四边形法则，符合平行四边形法则， 也称为三角形法则也称为三角形法则2 2 减法减法3 3 数乘数乘设 是一个数，向量a与 的乘积a 规定为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa 数乘符合下列运算规律：数乘符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.,/, 0zzyyxxabababababa 即即使使，存在唯一的实数存在唯一的实数则向量则向量设向量设向量定理定理 两个向量的平行关系两个向量的平行关系空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.ABjuPr向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为五五、向量、向量的坐标的坐标xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的模与方向余弦的坐标表示式六、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例 1 求平行于向量)2 , 2 , 1( a的单位向量.例 2)1, 5 , 3( a,)3 , 2 , 2( b,)3, 1, 4( c,求(1) 向量;cbam (2)m在y轴上的投影及在z轴上的分向量.
