数学问题与数学考试.ppt

第十二讲第十二讲为什么我们的学生很少提问？为什么我们的学生很少提问？ 师道尊严？师道尊严？ 教师不能传授暂无定论的并可以加以讨论的教师不能传授暂无定论的并可以加以讨论的东西，而必须要给学生传授确切的和无可置东西，而必须要给学生传授确切的和无可置疑的知识？疑的知识？ 事实是教师授课总是先将一种无可置疑的理事实是教师授课总是先将一种无可置疑的理论提出来，然后再用这个理论来解释相关的论提出来，然后再用这个理论来解释相关的现象。（演绎法）现象。（演绎法） 对于无可置疑的东西你还有什么问题呢？要对于无可置疑的东西你还有什么问题呢？要问只能问自己，为什么连前人已经给出了惟问只能问自己，为什么连前人已经给出了惟一正确解答的东西还不能理解？岂不太笨？一正确解答的东西还不能理解？岂不太笨？何必丢人现眼！老师们眼中的好学生：理解何必丢人现眼！老师们眼中的好学生：理解力极强，很少有问题。力极强，很少有问题。茅以升教学法茅以升教学法每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。则由另一学生提问，前一学生作答。 数学问题的标准数学问题的标准 戴再平习题理论戴再平习题理论 有关的概念必须是被定义的有关的概念必须是被定义的 有关的记号必须是被阐明的有关的记号必须是被阐明的 条件必须是充分的、不矛盾的条件必须是充分的、不矛盾的 条件必须是独立的、最少的条件必须是独立的、最少的 叙述必须是清晰的叙述必须是清晰的 要求必须是可行的要求必须是可行的教师也难提出问题波利亚说波利亚说一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你样的体验会使你养成善于思维的习惯，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。的性格。从解数学问题到数学问题解决从解数学问题到数学问题解决 求出所给数学问题的答案求出所给数学问题的答案 教师重视典型问题，重视通过问题启发学生，教师重视典型问题，重视通过问题启发学生，重视通过问题获取教学反馈并评价学生的学习重视通过问题获取教学反馈并评价学生的学习 20世纪世纪80年代以来，数学问题解决年代以来，数学问题解决(problem solving)开始普遍受到重视开始普遍受到重视 接受性、封闭性、确定性接受性、封闭性、确定性挑战性、探究挑战性、探究性，问题是指对一个人具有智力挑战，没性，问题是指对一个人具有智力挑战，没有现成解决方法的未解决的情境，因此因有现成解决方法的未解决的情境，因此因人而异人而异牧羊人问题牧羊人问题牧群中有牧群中有125125只羊，只羊，5 5只狗。问：牧羊人几岁？只狗。问：牧羊人几岁？有四分之三的学生给出了解答。有四分之三的学生给出了解答。 “ “125 + 5 = 130125 + 5 = 130太大了太大了 是否是否 125-5 = 120 125-5 = 120 还是太大还是太大 应该应该 125/5 = 25. 125/5 = 25. 对了。我想牧羊人应该是对了。我想牧羊人应该是2525岁岁” 68年级年级 促进数学学习，加深对数学概念的理解，培养灵活促进数学学习，加深对数学概念的理解，培养灵活又聪明的问题解决者。所设计的情景和途径应建立又聪明的问题解决者。所设计的情景和途径应建立在学生已有的数学理解、技能和语言的基础之上，在学生已有的数学理解、技能和语言的基础之上，并促进其提高。并促进其提高。 912年级年级 建立和加深对数学概念的理解，建立和发展建立和加深对数学概念的理解，建立和发展“更多更多更好的数学更好的数学”，建立和加强，建立和加强“更牢固的基础更牢固的基础”，建，建立和增强灵活使用表达方式，在经常性地经历处理立和增强灵活使用表达方式，在经常性地经历处理有意思的有挑战性的问题过程中获得发展。有意思的有挑战性的问题过程中获得发展。问题解决教学问题解决教学 NCTM,198995412怎样的问题好1. (a-b)1. (a-b)2 2 与与a a2 2-b-b2 2 相等吗？相等吗？ 举例说明举例说明(a-b)(a-b)2 2 与与a a2 2-b-b2 2 不相等不相等2. 2. 在下列数轴上分别标出数字在下列数轴上分别标出数字“1”“1”的位置（要求保留作图痕迹）的位置（要求保留作图痕迹）3. 3. 请用你能想到的尽可能多的方法比较请用你能想到的尽可能多的方法比较3/43/4与与5/65/6的大小。的大小。4 4、请你画图说明、请你画图说明 的结果是的结果是 为什么是合理的。为什么是合理的。5. 5. 生活常识告诉我们，给糖水里加糖，糖水里就变甜了。你能生活常识告诉我们，给糖水里加糖，糖水里就变甜了。你能从这一经验中提炼出一个数学关系吗？从这一经验中提炼出一个数学关系吗？12531513从教学角度来看，什么是好的问题从教学角度来看，什么是好的问题一个好问题必须：一个好问题必须：1.1.是容易接受的（不需要大量的技巧）是容易接受的（不需要大量的技巧）2.2.有多种解题方法（或者至少有多种思路）有多种解题方法（或者至少有多种思路）3.3.蕴涵了重要的数学思想（好的数学）蕴涵了重要的数学思想（好的数学）4.4.不故设陷阱不故设陷阱( (通性通法通性通法) )5.5.可以进一步开展和一般化（导致丰富的数可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）学探索活动） 匈菲尔德，匈菲尔德，19941994 例：某风景区对例：某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据有关数据如下表所示：如下表所示： 该风景区称调整前后这该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？ 另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样，问游客是怎样计算的？计算的？ 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？际？景点 ABCDE原价（元） 1010152025现价（元） 55152530平均日人数（千人） 11232下图是由下图是由1616个边长为个边长为1 1的正方形拼成的，任意连的正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段。条长度是无理数的线段。 有一长方形餐厅，长有一长方形餐厅，长1010米，宽米，宽7 7米，现只摆放两套同样大小的圆米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.51.5米米的圆形（如左下图所示）。在保证通道最狭窄的宽度不小于的圆形（如左下图所示）。在保证通道最狭窄的宽度不小于0.50.5米的前提下，此餐厅能否摆下三套或四套同样大小圆桌和椅子米的前提下，此餐厅能否摆下三套或四套同样大小圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14142020方格纸内画出设计示意图。方格纸内画出设计示意图。已知：如图，已知：如图，P P是圆是圆O O的直径的直径ABAB上的一个动点（上的一个动点（P P与与A A不重合），不重合），PDPD APAP，垂足为，垂足为P P，DCDC切圆切圆O O于于C C，连结，连结BCBC交交PDPD于于F F。圆。圆O O的半径为的半径为3 3 3 3，PD=7PD=7。（1 1）图）图a a、图、图b b、图、图c c是点是点P P由由A A向向B B运动过程中的三种情况。在图运动过程中的三种情况。在图形的变化过程中形的变化过程中 DCEDCE的边、角或形状等存在多种规律，如：的边、角或形状等存在多种规律，如： DCEDCE始终是锐角三角形；边始终是锐角三角形；边CECE逐渐增大；逐渐增大；。请你通过观察、。请你通过观察、测量、比较，测量、比较，再写出两条与再写出两条与 DCEDCE的边、角或形状等有关的规律的边、角或形状等有关的规律。（注意：可使用量角器、刻度尺等，找规律的过程中添加的字母（注意：可使用量角器、刻度尺等，找规律的过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出两条规律即或辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出两条规律即可）可）（2 2）已知：当点）已知：当点P P由由A A向向B B运动时，存在某一时刻，使运动时，存在某一时刻，使D D角为角为6060度，求此时度，求此时APAP的长。的长。 例：要判断如图例：要判断如图ABCABC的面积是的面积是PBCPBC面积的几倍，面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是-（ ）。）。 如图，在方格纸中有四个图形、，其中如图，在方格纸中有四个图形、，其中面积相等的图形是面积相等的图形是-（ ） （A A）和）和 （B B）和）和 （C C） 和和 （D D）和和 例例: :剪纸是中国的民间艺术剪纸方法很多，下面是剪纸是中国的民间艺术剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示一种剪纸方法的图示( (先将纸折叠，然后再剪，展开即先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案得到图案) )：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )( ) 以问题解决为中心的教学过程以问题解决为中心的教学过程 学生处于一个真实的情景学生处于一个真实的情景, ,并对其感兴趣并对其感兴趣 在情景中产生一个真实的问题在情景中产生一个真实的问题, ,刺激思维刺激思维 学生通过观察等手段收集并占有资料学生通过观察等手段收集并占有资料, ,一一步步地着手解决这个问题步步地着手解决这个问题 检验所用方法是否正确检验所用方法是否正确, ,得出最后结论得出最后结论 互相交流互相交流, ,寻求更好的结论和策略寻求更好的结论和策略基本不等式基本不等式1。某商店在节前进行商品降价酬宾销。某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种方案：售活动，拟分两次降价。有三种方案：甲方案是第一次打甲方案是第一次打p折，第二次打折，第二次打q折；折；乙方案是第一次打乙方案是第一次打q折，第二次打折，第二次打p折；折；丙方案是两次都打丙方案是两次都打(p+q)/2折，请问哪折，请问哪一种方案降价较多？一种方案降价较多？基本不等式基本不等式2。用一个有毛病（天平的两臂之长。用一个有毛病（天平的两臂之长略有差异，其他因素忽略）的天平略有差异，其他因素忽略