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极限的概念极限的概念 极限概念是微积分的基本概极限概念是微积分的基本概念。也是微积分学研究的基本念。也是微积分学研究的基本工具工具 . .后面将要介绍的函数的后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概连续性、导数、积分等重要概念，都是以极限为基础的。念，都是以极限为基础的。极限是研究函数的一种重要的方法。极限是研究函数的一种重要的方法。极限是描述变量在某个变化过程中的变化趋势变化趋势。简单说：现代日常生活中人们常用这种变化趋势来判断事物的发展趋势。2.1 极限的概念极限的概念2.1 极限的概念极限的概念【古代极限思想】庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。2.1 极限的概念极限的概念三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣 ”圆内接正六边形圆内接正六边形圆内接正十二边形圆内接正十二边形圆内接下圆内接下24边边形形边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长【古代极限应用】2.1.1 数列的极限数列的极限(limit of sequence)数列的定义：数列的定义： 数列按照一定规律有次序排列的一串数列按照一定规律有次序排列的一串数数简记简记 （数列也可看作是定义在正整数集合上的函数（数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 =f(n)n=f(n)n=1,2, =1,2, ） 称为称为数列数列的通项或一般项。的通项或一般项。.nx,4321nxxxxxnxnx,1,41,31,21, 1n,) 1( , 1 , 1, 11n例如：例如：n1记作：记作：1) 1(n,21,21,21,21,21432n记作：n21 数列的极限数列的极限考察当考察当n时，通项时，通项xn的的变化趋势变化趋势。数列极限的实质：数列极限的实质：随着项数n的变化,通项xn的变化趋势变化趋势也就是例例如如,1,41,31,21, 1n0,) 1(,43,34,21,21nnn)(n,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n趋势不定趋势不定)(n1)(n)(nAxnnlim数列数列nx的极限定义：的极限定义：则称常数则称常数A为该数列的极限。为该数列的极限。记作记作或或)(nAxn（lim来自于英文单词“limit”极限） 给定一个数列给定一个数列 如果当项数如果当项数n无限增大无限增大时，时，xn无限趋近于无限趋近于 某个固定的常数某个固定的常数Anx,21,21,21,21,21432n常数常数 0 称为此数列的极限称为此数列的极限)(n021limnn记作：记作：n21例：例：0nnx2)(nnn2lim,2,8,4,2n极限不存在例：例：,1,41,31,21n,) 1(,43,34,21,21nnn收收 敛敛01limnn1) 1(lim1nnnn,2,8,4,2n,) 1( ,1,1,11n发发 散散nn2lim不存在1) 1(limnn 如果一个数列的极限存在如果一个数列的极限存在, ,则称该则称该数列是数列是收敛收敛(converge)(converge)； 如果一个数列的极限不存在如果一个数列的极限不存在, ,则称该则称该数列是数列是发散发散(diverge)(diverge)。1limnnn1课堂练习：判别下列数列是否收敛54,43,32,21)(n1nn通项1数列收敛函数函数 值值 随着自变量随着自变量x的变化而变化的变化而变化)(xf2.1.22.1.2函数的极限函数的极限(limit of function) 研究函数的极限研究函数的极限,就是研究当自变就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的函数量按照某种方式变化时所对应的函数值的值的变化趋势。变化趋势。二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限, )(xfy 函数对一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限x0 xx )(xf变化趋势变化趋势?)(xf变化趋势变化趋势?自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限时时,函数函数f(x)的极限的极限（变化趋势）（变化趋势）x1、时时,函数函数f(x)的极限的极限（变化趋势）（变化趋势）x2、时时,函数函数f(x)的极限的极限（变化趋势）（变化趋势）x3、xy1, 5, 4, 3, 2x,51,41,31,21y时时,函数函数f(x)的极限的极限x例：oxyy=f(x) 0 xx0 xy1, 5, 4, 3, 2x,51,41,31,21y时时,函数函数f(x)的极限的极限xox-yxy1(X0)y=f(x) 0 x0 xy1yox+-xy=f(x) 0 xy1时时,函数函数f(x)的极限的极限定义定义2.2：设函数设函数 ，如果当，如果当X无无限增大时，函数无限趋近于某个固限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数定的常数 A,则称当则称当X趋于正无穷时，趋于正无穷时， f(x) 以以A为极限，为极限，)()()(limxAxfAxfx或x时时,函数函数f(x)的极限的极限.,时的极限类似可定义xx记为记为f(x)f(x)y y 定义定义2.2：设函数设函数 ，如果当，如果当X0,而而|X|X|无限增大时，函数无限趋近于无限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数某个固定的常数 A,则称当则称当X趋于负趋于负无穷时，无穷时， f(x) 以以A为极限，为极限，)()()(limxAxfAxfx或x时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为f(x)f(x)y y 定义定义2.2:设函数设函数 ，如果自变量，如果自变量X可取正值也可取负值，可取正值也可取负值，X的绝对值无的绝对值无限增大时，函数无限趋近于某个固限增大时，函数无限趋近于某个固定的常数定的常数 A,则称当则称当X趋于无穷时，趋于无穷时， f(x) 以以A为极限，为极限，)()()(limxAxfAxfx或x时时,函数函数f(x)的极限的极限记为记为f(x)f(x)y y 01lim xx01lim xx01lim xx例例xxfy2)(xx2limxx2limxx2lim不存在-+xy20正弦函数正弦函数xysin xysin xxsinlim不存在0 xx2)(xxfy例7 讨论当 时，函数二、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限2x的的变化趋势变化趋势f(x) 变化趋势变化趋势?0 x为有限值2)(xxfyx 1.9999991.99999999922.0000000012.0000.1y 3.9999960000013.9999999960000000014.0000000040000000014.00004000011x2 , f(x) 4（22）2xy x11)(2xxxfyx0.90.990.9990.999911.00011.0011.011.1y1.91.991.9991.9999不存在2.00012.0012.012.1例8x1 , f(x) 2讨论函数x1函数值的变化趋势2xoy1定义定义2.3：设函数设函数y=f(x)在点在点x0的的邻域内邻域内(点点x0 可可以除外以除外)有定义有定义，如果当自变量，如果当自变量x无限趋近于无限趋近于x0(但但xx0)时，函数时，函数f(x)无限趋近于某个固定无限趋近于某个固定常数常数A,则称当则称当x趋于趋于x0时，函数以时，函数以A为极限，为极限，)()()(lim00 xxAxfAxfxx或记作记作函数极限定义：4lim22xx211lim21xxx上例可记作函数极限定义的注意点1、邻域内有定义（、邻域内有定义（xx0）xx0lim:0 xx 不存在2、 x无限趋近于无限趋近于x00 xx 0 xx 0 xx 0 xx 211lim21xxxx1yo1xx0lim 1 , 1)(xxxf例：0 xy1yox图象xx1lim0例（课后思考：函数极限存在的充分必要条件）不存在X从右测接近于0，y+X从左测接近于0，y-xxxcoslim0 xxxsinlim0 xxx0lim 根据定义可以证明：以下的极限均成立可以证明：以下的极限均成立Cxx0limC0 x0cosx0sin x-、数列、数列 的极限：的极限：给定一个数列给定一个数列 如果当项数如果当项数n无限增大时，无限增大时，xn无限趋近于无限趋近于 某个固定的常数某个固定的常数A则称常数则称常数A为该数列的极限。为该数列的极限。Axnnlim)(nAxn-、数列、数列 的极限：的极限：nx记作记作或或给定一个数列给定一个数列 如果当项数如果当项数n无限增大时，无限增大时，xn无限趋近于无限趋近于 某个固定的常数某个固定的常数A则称常数则称常数A为该数列的极限。为该数列的极限。nx 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的邻域内的邻域内(点点x0 可以除外可以除外)有定义有定义，如果如果当自变量当自变量x无限趋近于无限趋近于x0(但但xx0)时时，函数，函数f(x)无限无限趋近于某个固定常数趋近于某个固定常数A,则称当则称当x趋于趋于x0时，函数以时，函数以A为为极限。极限。二、函数二、函数 y=f(x)的极限：的极限：)()()(lim00 xxAxfAxfxx或记作记作小结思考练习题)0(1)0)(xxxxfxxarctanlimxxarctanlim2、已知函数讨论)(lim0 xfx是否存在？1、求下列极限的值3.3.单侧极限单侧极限- - 左极限与右极限左极限与右极限左极限左极限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0 x如果当如果当 从从0 x的的左侧无限趋近左侧无限趋近0 x时时,记着记着,0 xx函数函数f(x)无限趋近于一个确定的常无限趋近于一个确定的常数数A, 则称则称A为函数为函数f(x)当当0 xx时的左极限。记作时的左极限。记作类似可定义类似可定义右极限右极限 : )0(0 xfAxfxx)(lim0函数的左极限和右极限函数的左极限和右极限统称为单侧极限。统称为单侧极限。x1yo1,010,)(xxxxf)(lim)00(0 xffx0lim0 xx对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xyalog )1( a)0 , 1( )10( axxlnlim0例如：例如：xxxxxxxfy2, 1220,sin01,)(2),(lim0 xfx求0lim)(lim200 xxfxx0sinlim)(lim00 xxfxx)(lim0 xfx定理定理1.11.1：Axfxx)(lim0当当 时时, ,函数函数 极限存在的极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，充要条件是左、右极限存在且相等，即即)(xf0 xx Axfxfxxxx)(lim)(lim00例例6. 设函数设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 因为因为)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1)(lim)00(0 xffx) 1(lim0 xx1显然显然, )00()00(ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .xyo11xy11xy0,10,00, 1)(xxxxxxf例例7 7 问问a a为何值时为何值时, ,所给函数所给函数x x=2=2处极限处极限存在。存在。)2(2)2(2)2(10)(2xaxxaxxxf解解：左极限左极限2010lim)(lim)02(22xxffxx右极限右极限aaxxffxx24)2lim)(lim)02(222（欲函数在欲函数在x x=2=2处极限存在，必须左极限处极限存在，必须左极限等于右极限，等于右极限，即即a=a=8 8思考：思考： 1)1)研究函数极限时研究函数极限时, ,是否要考虑是否要考虑f f( (x x) )在在x x= =x x0 0时的性态？为什么？时的性态？为什么？ 2)2)若若f f ( (x x0 0+0)+0)和和f f ( (x x0
