第5课时 二次函数与相似三角形的综合.docx
第5课时二次函数与相似三角形的综合此类题型结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.中考重难点突破例(2019南空中考)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=-2交于B,C两点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：AABC是直角三角.形；(3)若点N为X轴上的一个动点,过点N作MN，X轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与AABC相似？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】解：(1).抛物线顶点坐标为A(1,1),设抛物线解析式为y=a(X-I)2+l.又抛物线过原点O,0=a(0-1)2+l,解得a=-1抛物线解析式为y=-(-l)2+l,即y=-X2+2x.y=x2+2x?x=2，x=_，联立。解得八或Q、y=x2，y=0'y=-3，B(2,0),C(-1,-3);(2)证明：分别过A,C两点作X轴的垂线,交X轴于点D,E,则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,ZABO=ZCBO=45°,即NABC=90。,ABC是直角三角形；(3)存在满足条件的点N.设N(x,0),则M(x,-x2+2x),.ON=x,MN=I-2+2x.由(2)知在尺dABD和及ACEB中,可分别求得AB=2,BC=32.VMN±x轴于点N,/ABC=NMNO=90。.若AABC和AMNO相似,则WMNON-x2+2xx当而=前时，=，232即IXHx+2=gx.当X=O时,m,o,n不能构成三角形，x0,<-x+2,即-x+2=+,解得X=I或x=W，此时点N的坐标为|'o)或&,o);WMNON-xTEF,X轴于点F,AFE=90°.ZAOD=ZAFE=90°,ZOAD=ZFAE,AODAFE.SadoAO21A八'W忑=/=§，ao.AF=3,OF=3+1=4.32199当x=4时,y=_*42+区义4_5=5,点E的坐标为4');(3)存在点D,使DA2=DMDN.+2xx当班=用时，=一，322即IXHx+2=3x,-x+2=3,即-X+2=±3,解得x=5或X=-1,此时点N的坐标为(-1,0)或(5,0).综上所述,存在满足条件的点N,其坐标为|。表0),(-1,0)或(5,0).9(2019梧州中考)如图,抛物线y=a2+b-1与X轴交于A(1,0),B(6,0)上两点,D是y轴上一点,连接DA,延长DA交抛物线于点E.(1)求此抛物线的解析式；(2)若E点在第一象限,过点E作EF±x轴于点F,ADO与AAEF的面积比为军空=),求出SAEFy点E的坐.标；(3)若D是y轴上的动点,过D点作与X轴平行的直线交抛物线.于M,N两点.是否存在点D,使DA2=DMDN?若存在,请求出点D的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)将A(1,0),B(6,0)9代入丫=2乂2+6乂一,得9解得2136a+6b-2=0,b=彳，32191,此抛物线的解析式为y=-亍X泰设D点坐标为(0,n),则AD?=1+/.当y=n时，一万下一万=n,化简,得一32+21x-18-4n=O设上述方程的两根为Xl,X2,11l18+4n则XlX2=,DM=X1,DN=X2,若DA2=DMDN,则1+1?=若即,化简,得3口24n15=0,解得n=一,n2=3,点D的坐标为,-§或(0,3).百色中考专题过关1.(2019宿迁中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=(-a)(-3)(0<a<3)的图象与X轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP，X轴,垂足为点P,连接AD,BC.(1)求点A,B,D的坐标；(2)若AAOD与ABPC相似,求a的值.解：Vy=(xa)(x3)(0vav3),点A在点B的左侧,A(a,0),B(3,0).当x=0时,y=3a,'D(0,3a);(2)VA(a,0),B(3,0),3+a二次函数图象的对称轴为X=.3+aPB=3-2当AAODsBPC(0<a<3)时，OAOD口113-aY3-aC/人.、PB=PCa,OJ=y3a,.a=-3(舍去);当AAODsCPB(0<a<3)时，OAOD3-a<3-a._7PCPB，即22J3a,a-j所以a的值是:.2.(2019百色中考逡应性演练)已知抛物线y=-x2+bx经过A(4,0),抛物线顶点为点B9P为抛物线上的一点,且点P的横坐标为T,直线1：y=x+m分别与PA9PB交于M,N两点.(1)求直线AB的解析式；(2)当APAB与APMN的面积之比为4：1时,求点M的坐标及m的值.解：(1)Yy=-#+bx经过A(4,0),-×42+4b=0,b=2,y=x2+2x=-(X2)2+2,B(2,2).设直线AB的解析式为y=kx+n.VA(4,0),B(2,2),4k+n=0，k=-1?.1C解得/2k+n=2，n=4，直线AB的解析式为y=X+4;(2)Ty=x+m和y=x+4的k值相等,直线1AB,APABsAPMN._Spab.PNPMI&pmn=4"西=南=5,为PA的中点,N为PB的中点.(-1)=-2+(-2)=C'当X=-1时,y=-#+2X=-TX(-1)2+2×,M一1十4I2_|+0、2，即M(I,卷).Ty=-x+m经过M(I，153.W=_+m,.m=4.
