第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题.docx

第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第2课时用一元二次方程解决平均变化率问题教材分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位.其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点.它是一元一次方程应用的继续,二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型.备课素材C新课导入设讦）【置疑导入】王美丽卖玫瑰，如果每束玫瑰赢利10元，平均每天可售出40束.经调查发现，若每束每降价1元,则平均每天可多售出8束.王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多,挣的钱就越多，因此决定让王美丽大幅度降价,王美丽不愿意,王美丽认为应该提升价格，因为提升的越多，赢利就越多.同学们他们谁的说法靠谱呢？如果你是卖玫瑰的老板，你会应用什么方法计算每天的销售利润呢？【说明与建议】说明：通过上面两个问题的呈现，引导学生思考对降价促销的理解,同时引导学生在交流中获得利润的计算方法：利润=每束玫瑰的利润X销售玫瑰的束数.建议：这两个问题都可采用提问学生的方式进行，重在引导学生参与，一起交流对这两个问题的理解.命题热点命题角度1列一元二次方程解决增长率问题1 .两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）解：设甲种药品成本的年平均下降率为X，依题意，得5 000（1-x）2=3000,解得x-0.225,X2心1.775（舍去）.甲种药品成本的年平均下降率约为0.225.设乙种药品成本的年平均下降率为y,依题意，得6000(l-y)2=3600,解得y0.225,y2心1.775(舍去).答：两种药品成本的年平均下降率相同.命题角度2列一元二次方程解决商品营销问题2. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：V120×60=7200<8800,J该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了X棵树苗.由题意，得x120-0.5(-60)=8800.解得x=220,x2=80.当x=220时，120-0.5×(220-60)=40<100,.x=220不合题意，舍去.当x=80时，120-0.5X(80-60)=110>100,*X80符合题意.答：该校共购买了80棵树苗.金数学文化拓展酗欧拉帮忙算鸡蛋一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，虽我们两人所带的鸡蛋数不同，但是卖得的钱数一样第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板2第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得6可个铜板欧拉想了想说:“你(指着第一个农妇)有40枚鸡蛋,你(指着第二个农妇)有60枚鸡蛋.”欧拉是这样想的：设第一个农妇带了X个鸡蛋，则第二个农妇带了(100x)个鸡蛋，她们二人卖鸡蛋的单价分别为77户与券，由于二人卖得的钱数相同，故有方程100X3x15x20(100x)100X='整理，得x2+160x-800=0,解得x=40或x=-200(舍去).故第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋.实际上，欧拉是利用方程的思想解决了这个实际问题，如果换成是你，是否会被这两个卖鸡蛋的妇人难住？教学设计课题21.3第2课时用一元二次方程解决平均变化率问题授课人素养目标1 .通过分析平均变化率与销售问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程.2 .通过列方程解决实际问题，让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，学会将实际应用问题转化为数学问题.教学重点通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题.教学难点平均变化率与销售问题的一元二次方程模型的建立及运用.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1 .列方程解应用题的一般步骤有哪些？审题；设未知数；根据等量关系列方程；解方程；检验并写出答案.教师板书：实际问题与一元二次方程.2 .对于“传播问题”，应根据什么列方程？被传染数=传染源数×传染倍数.复习列方程解应用题,为继续学习建立一元二次方程的数学模型解决实际问题做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是60分，第二次月考成绩增长了10%,第三次月考成绩又增长了10%,你能列式表示出小明第三次数学成绩是多少吗？师生活动：学生独立思考，教师点拨，引导学生快速列出符合条件的数式.通过相同具体变化率问题的列式计算，初步体会原始量、变化率、变化后的量之间的关系,为后面的学习奠定基础.活动二：实践探究、交流新知【探究1】问题：（1）若小明第一次月考数学成绩是60分，第二次月考成绩增长了X,第三次月考成绩又增长了X，他的第三次月考数学成绩是多少？若小明的1.给出原始量、增长率（或下降率）、变化次数、变化后的量之第三次月考数学成绩是72分，你能列方程求出X吗？(2)若小明最初数学成绩为a分，以后每个月数学成绩的增长率都为X,经过n个月，他的数学成绩b是多少？师生活动：学生先独立思考，教师提问，对学生疑惑的地方进行指导.师生共同归纳：平均增长率(或下降率)问题：若基数为a,增长(或下降)率为X，n为增长(或下降)次数，b为变化后的结果，其基本关系式是a(l±x)n=b.【探究2】某商店将进价为每件10元的商品按每件12元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价的办法增加利润.如果这种商品每件的销售价每提高1元，其每天的销售量就减少5件.问题：(1)利润与进价、售价、销量之间有何关系？(2)若每件商品的售价定为15元，则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？(3)如果将每件商品的售价定为X元,则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？若设每件涨价X元呢？(4)若已知该商品每天的销售利润是1600元，你能列方程求出每件商品的进价吗？师生活动：教师引导，学生思考，讨论，一步一步地深入探究，从而完全解决问题.方法归纳销售利润问题中常见的公式：利润利润一售价一成本；利润率一Rx00九间的关系,让学生体会分析问题时应对变化后的量与变化率两者兼顾,这样才能全面认识一种变化情况.2.在销售问题的探究中，引导学生抓住利润与进价、售价、销量之间的关系,构建一元二次方程数学模型解决问题.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率；(2)若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？让学生展开讨论,并写出解题过程,对所学知识起到了巩固作用.解：(1)设该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为X.根据题意，得2(l+x)2=2.88.解得Xl=O.2=20%,X2=2.2(不合题意，舍去).答：该企业从2019年到2021年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2022年仍保持相同的年平均增长率，那么2022年该企业的利润为2.88(1+20%)=3.456(亿元)>3.4亿元.答:该企业2022年的利润能超过3.4亿元.例2百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件.为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价X元.由题意，得(100-60-x)(20+2x)=l200.解得Xl=I0,X2=20.商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库.x=20.每件童装应定价为10020=80(元).答：每件童装应定价80元.【变式训练】某商场有一批皮衣，售价为每件5OOO元，为加快资金周转，进行了一次降价，但仍无人购买，又进行了第二次降价处理，其降价的百分率为第一次的2倍，结果以每件皮衣2400元的价格销售一空，问第二次降价的百分率是多少？解：设第一次降价的百分率为X,则第二次降价的百分率为2x.根据题意，得5000(l-)(l-2x)=2400.解得Xi=O.2=20%,X2=l.3=130%(不合题意，舍去).答：第二次降价的百分率为40%.活动四：课堂检测【课堂检测】L共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为X,则所列方程正确的为（八）A.1000(l+x)2=l000+440B.1000(l+x)2=440C.440(1+x)2=1000D.1000(l+2x)=l000+4402 .随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫健委严打药品销售环节中的不正当行为.某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率.解：设该种药品平均每次降价的百分率是x由题意，得200(1x)2=98.解得Xi=L7(不合题意，舍去)，x2=0.3=30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.3 .某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元.调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，该批次蛋糕属第几档次产品？(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)(14-10)÷2+l=3.答：此批次蛋糕属第三档次产品.(2)设烘焙店生产的是第X档次的产品，根据题意，得(2x+8)X(76+44x)=1080.整理，得2-16x+55=0.解得x=5,X2=ll(不合题意，舍去).进一步巩固所学新知，同时检测学习效果.答：该烘焙店生产的是第五档次的产品.课堂小结1 .课堂小结：(1)本节课你有哪些收获？(2)还有哪些不明白的问题？与同学们一同分享.教师强调平均增长率(或下降率)问题公式：a(l±x)n=b.2 .布置作业：教材第22页习题21.3第