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    蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第5章--消费者理论专题).docx

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    蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第5章--消费者理论专题).docx

    蒋殿春高级微观经济学第5章消费者理论专题跨考网独家整理最全经济学考研真题,经济学考研课后习题解析资料库,您可以在这里查阅历年经济学考研真题,经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验,从前辈中获得的经验对初学者来说是珍贵的财富,这或许能帮你少走弯路,躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理,如您还需更多考研资料,可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。1.某人的效用函数是"&,%)=菁/,他的收入相=Io0。最初的商品价格是=(Ll),假设现在价格变化为b=(l4,1)。计算EV、CV和ACS,比拟计算结果并作简明的解释。解:先求解效用最大化问题:maxx1x2s.t.plxl+P2X2=100构造拉格朗日函数:L=xlx2-2(100-P1X1-p2x2)求一阶条件,可得:x2-Pi=0Xi-p2-0代入约束条件可得,丸=卫,从而得到马歇尔需求函数:AA5050x1,X2=PlPl因止匕,=(u),Xl=X2=50,W0=M(50,50)=2500O加=(1/4,1)时,XI=200,x2=50,="(200,50)=10000。ACS=C/(PJdB=JUdB=50InPJI69.3再考虑支出最小化问题:maxp1xl+p2x2国,为S.t.X1X2=U构造拉格朗日函数,一阶条件为:pl-Ax20P2xl0代入约束条件解出叵。Vu从而得到希克斯需求函数=4(0,必)=PlX2="2(Pl,夕2)二IPi"Pl由于商品2的价格P2始终为1,代入上面的式子,整理可得:1CV=二501/4通过比拟得出,CV<ACSfEV成立。2.小李的效用函数是(占,入2,%3)=Xlmin,泡,他原来在深圳一家公司总部工作,月薪3000元,深圳的商品价格是Q=024);现在公司内部调动,小李被派往内地城市的公司办事处.那里的商品价格为7?=(1,1,1)o(1)如果小李的工资不变,他在内地到达的生活水平相当于他在深圳多少收入的生活水平?(2)如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资,使他们的效用水平保持不变,小李在调动时工资会调整到什么水平?解:1根据小李的效用函数,无论是效用最大化问题和支出最小化问题,他的最优消费组合必然满足=电,在这样的情况下,效用函数可以写为以3000元收入在内地到达的效用水平可由下面的效用最大化问题求出:maxx1x2s.t.l×xl+lx%+1×=3000(x2=x3)由一阶必要条件,可求得马歇尔需求为:xl=1500,A2=&=750V=X1X2=1125000在深圳的物价水平下到达同样的效用水平,所需的收入可求解支出最小化问题:min(Xl+2x2+4x3)s.t.x1x2=1125000(x2=刍)由一阶必要条件,可求得希克斯需求为:x1=1500君,x2=x3=250/求得相应的支出是30003元。即工资不变,他在内地到达的生活水平相当于他在深圳3000I元收入的生活水平。2如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资,使他们的效用水平保持不变,计算方法与1相同,得到小李在调动时工资会调整到I(Xx)若元。3 .某消费者具有效用因数"(1%,%)=占,也。(1)证明这个效用函数是弱可分的;(2)推导y-类商品的子效用函数;(3)在y-类商品的支出为啊的前提下,求这类商品的需求函数。解:令丫(%,%)=£*,那么"(九"2,为)=甘也=¥丫=。(石,丫),因此这个效用函数是弱可分的。y-类商品之间的边际替代率为MHS23=2=里?=如,与X商品的消费量无关,结合1)中的过程,可得y-类商品的效用函数就是“%,%)=y":。13)"%,%)=义工是一个Cobb-Douglas函数,按通常的效用最大化问题可求得其需求函数:maxy";s±P2y2+P3y3=my构造拉格朗日函数L=乂其+4%-P2%-P3%),一阶条件整理可得如=匹,代入约束条件可得:Cy2p?)bmycmy%(He),2,为伍+c)24 .如果集团中每个个体的间接效用函数都具有以下形式/(p")=/(p)+d(p)4S=LK(1)证明各个个体的偏好是拟位似的;推到集团需求函数ZMM)=X(P,加验证Z(p,M)满足SIUtSky方程。证明:1)利用Roy等式,可直接由间接效用函数求出个体的MarShaII需求,v(P'")=_*;)*需一瑞加这显然是其收入4的线性函数,所以个体的偏好是拟位似的。12)集团需求函数即为各个体的需求加总,所以有:Z(PM=Ix(P3)=2濯一%d(P)d(P)其中,M=Ems,Ci(P)=EC:(p)。利用对偶性等式vp,e(p,")三,可得到个体的支出函数为Gorman形式:CS(P)I1%d(p)d(P)再利用支出函数性质可以得到,hC=.*)=CSdT-4/函aa从而Hi(PM=Zh;(p,/)=CdidfCi一"u,其中U=ZKs。Zi(p,M)Cidi-dCijddij-didjZi(p,Af)dipid2d2MdHi(p,U)_/(Cdij+Cjdi-Cijd-Cidj)d2dij-2ddidjUpiJ4J4(p,V(p,V)8Zj(p,M)MZj(p,V)d?(Cdjj+CjdiCijdCidj)-2ddj(Cdi-Cid)ddi.-2ddid.d.(C.d.)J4vJdlddJCidj-CijdddijdidjZi(p,M)二不不这便是Slutsky方程。5 .证明,如果效用函数是和式可分的,那么不存在劣质品(收入增加时需求反而减少的商品)。证明:按定义,和式可分的效用函数形为U(X)=方Ea)+%(4)+l+以小)令需求函数为MP,),满足以下一阶必要条件:对任意的"=L2,K%有:pi_Uxi_w;x.(p,m)_Pj8UxjF,(g)wj.x7.(p,m)wjxy(p,m)进一步变形为U,i.(p,m)=u,jxy(p,m)。Pj假设加增加,不变,那么至少有一种商品的需求量上升。不妨设为增加,又因为"(g)是严格凹的,那么叫x7(p,相)必然下降,所以N(p,机)下降,%(p,M上升,所以不存在劣质品。6 .在拟线性效用函数U(Xo,xj=%+"XJ的反需求函数(5.18)中,我们事实上隐含地假设了根Pd(pJ,因为由这个假设我们才能在预算约束中得到一个非负的/并将其代入目标函数。如果凭消费者的收入根本就买不起下(pj,情况又该如何?解:用KUhn-Tucker方法来考虑,消费者面临的问题是:maxx0+u(xs.t.x0+p1xi=mxiOz=0,1拉格朗日函数为L=x0+w(x1)-2(x0+p1x1-m)+W0X0+w1x1一阶必要条件为:-1一丸+00=u(x-p+ui=0ui0,Mz.=0,/=0,1xl假设Xo>0,X1=O,那么"o=O,%O,此时一阶条件变为X=1,p1=w,()+w1w,()这就是说,相对于商品1带来的边际效用,其价格偏高,消费者将全部收入用于商品0的消费;彳取设Xo=。,>0,那么"oO,%=O,一阶条件变为21,Pi="(*)(x1)此时与前一种情况恰恰相反,即使将全部收入用于消费商品1,边际效用仍不低于其价格。综合起来看,在消费者收入缺乏以购置商品1的最优消费量的条件下,他只会选择消费唯一一种商品,而究竟选择哪一种商品,需视消费者对商品1的偏好情况MXl)及该商品的价格上下而定。7 .某人原来是一个手工业者,他唯一的生产投入是劳动,他每天投入的劳动量是7小时,其余时间是闲暇。如果有企业雇用他,每小时的工资要超过某一最低限他才会到企业去工作。现在假设有一个企业向他提供这一最低限工资,并允许他自己决定每天的工时。这个人接受了聘任,变为一个工人。画图说明这个人现在每天的工作时间比7小时长还是短,或者仍然是7小时。解:这个人的选择主要看该人对闲暇和收入的偏好。在闲暇-货币收入坐标系内,个体的无差异曲线通常是凸向原点的,而该曲线的斜率及其变化趋势由个体的具体偏好所决定。如图5-1所示。图5-1图5-1a中,个体作为手工业者时处于4点,此时对应的闲暇时间是17小时工作7小时。受雇于他人,不同的工资率相当于不同的闲暇价格,相应地决定了图中不同斜率的预算线。工资率越高,其斜率绝对值越大。图中的明是该个体愿意接受的最低工资率,因为此时预算线恰好与他原来所处的无差异曲线相切,而低于该工资率W的预算线无法使其到达原有的生活水平。个体在接受最低工资率%后,处于新的均衡点用,与原来的心处于同一条无差异曲线。图5-11a)和图5-1b)显示了两种截然不同的均衡结果,前者受雇于他人后工作时间变长了,而后者那么有了更多的闲暇。当工资率”对应的预算线与图中无差异曲线的切点恰为Eo时,个体将保持原来7小时的工作时间不变。8 .如果个体的效用函数是u(xl,x2,x3)=(x1-b1)a(x2-b2f(x3-b3其中,7,7>0,a+6+=l。证明:该个体的支出函数呈Gonnan形式(5.41)。证明:支出最小化问题为:minplx1+p2x2+p3x3S3(xl-by(x2-b2(x3-b3=U拉格朗日函数是L=P1X1+P2X2+P3X3-丸(%1-伪)"(%22)'(%34)"一阶条件为:=pl-a(xl-bl)a1(X2-b2)(x3-b3=P=O|£=P2_*=0ox2x2-b2扎u=3=Ox3x3-b32=一(%4)“(一区)'(&-4)'+=。解得:=4+必,”4+也,=4+包,加2口上彳乙PiP2P3a)IrJ支出函数为C=Zpm=WPi+X"=A(p)+5(p)",其中A(P)=EaPi,B(P)=4。9 .如果某消费者有Cobb-Douglas效用函数市场利率为一初始收入为(4,相)。试推导消费者在时期O和1的需求函数。解:根据第5章的跨时消费最优条件5.63,有:。端殖a7.(l-cf)mmfr从而得到%=上4。+。%,代入预算约束等式:am+三+三解得:m0=orm0+m1/(1+r),ml=(1-«)(1+r)m0+m1010 .试利用47节初始禀赋下的SIUtSky方程,写出跨时消费的SlUtSky方程,并利用它分析市场利率r变化对消费者跨时消费的影响。解:在两期跨时消费模型中,商品价格简化为一个未来消费与当期消费的相对价格1/(1+)。为了直接套用禀赋下的SIUtSky方程,记未来消费的价格为5=1/(1+厂),3也称为贴现因子。记最优跨时消mlhi费为(加0,四),由方程4.26),得:一网(叫一相)z=0,1W为收入v=const加利率变化对消费行为的影响可等价地通过5的变化来进行分析,只是二者的影响方向相反。比方,假设利率提高,那么5下降,未来的消费价格降低,一方面,SIUtSky方程右边第一项为哪一

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