第8章 习题课.docx
习题课正弦定理与余弦定理学习目标1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解决各类三角形中的应用2提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题.预习导引1 .三角形内角的函数关系在aA5C中，边4,b,C所对的角分别为A,B,C,则有(l)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)-cosC,tan(A+B)=tanC°、.A+BCA+B.C(2)sn2-=COS5,cos-=Sml2 .正弦定理及其变形abc(1)t=o=K=2R.、7snAsinnsinC一(2)a=2RsmA,b=2RsinB,c=2RsmC.3 .余弦定理及其推论/+C2一(l)2=廿+$一2Z?CCOSA,cosA.(2)在aABC中，为直兔，c2>a2+b2>C为钝角;c2<a2+b2>C为锐角.要点一解三角形2例1ABC中，若ccosB=cosC,且CoSA=Q,求SinB的值.解由ccos8="COSe结合正弦定理得，SinCCoSB=SinBCOSc故Sin(B-C)=0,2易知B=C,故8=c.因为cosA=q,h2阶q22所以COSA=T=必/号，得3/=2/,所以-6,斫以后+。2寸乖a-3'所以cosb-2ac2X监26'H.30故SinB=g-.规律方法正弦、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.跟踪演练1在aASC中，已知b2=ac,且a2-c2=ac-bc.(1)求A的大小；(2)求bsinB的值.AFI一/cb2+c2a2ac+bc-ac111角牛(D由已知b=QC=CoSA=2bc2bc2所以COS5=,又5(0,11),所以sinB=yj1-cos2B=?A+CB所以2sin22-+sin2B=2cos2+sin2B=1÷cosB+2sinBcosB=1+2××=.要点三正弦、余弦定理与平面向量的综合*t(0,),A-.(2)由b2=ac,b_a.bsinB.a_.GSinA.y37，一si11jdtsi11jdoSinA-C.CbcbSinB2要点二正弦、余弦定理与三角变换的综合5+C7例2在aABC中，a,b,C分别为角A,B,。的对边，4sin2-cos2A=(1)求A的度数.(2)若4=5,b+c=3,求和C的值.5+C77解由4sin22-cos2A=g及A+B+C=180。，得21-cos(B+C)-2COS24+1=1,4(1+cosA)4cos2A=5,即4cos2A4cosA+1=0,(2CoSA1)2=0,解得COSA=T.,0。人180。,.*.A=60o.、廿+H21(2)由余弦定理，得CoSA=荻.VcosA=2，72i2_21,一而一=3化简并整理，得S+c)2=3A,所以32(三)2=3Ac,即儿=2.则由b-c-3,bc=2.b=l,C2b=2,c=l.规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A+B+C=180。，求出A,并利用余弦定理列出关于从C的方程组.跟踪演练2在aABC中，角A,B,。所对的边分别是mb,c,且层+，一72=4C求2sin。j°+sin2B的值.解由已知a2+c2b232ac5,O例3在aABC中，a,b,C分别是角A,B,C的对边，CoSB=亨且施病=21.求AABC的面积；(2)若。=7,求角C角星(I)VABBC=-21,：.BABC=21.*.BA'BC=BA'BCcosB=accosB=21.3.4.QC=35,CoSJ=g,sinB=114.*.SzA3c=QCSinB=X35*m=(2)4c=35,a=7,.*.c=5.由余弦定理b2a2+c22accosB=32,.Q4i由正弦定理：-=-.sinC=*inB=走XW=坐.c<b且5为锐角,C一定是锐角.C=45。.规律方法这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪演练3ZVLBC的三个内角A,B,。所对边长分别是a,b,c,设向量a=(+4sinC),n=(ya+c,sinBsinA),若/n小则角B的大小为.答案150°解析Fmlln、.*.(a+)(sinB-sinA)sinC(3a+c)=0,由正弦定理有(+Z?)S)=c(y3a+c),即层+，庐=再由余弦定理，得CoSB=2，VB(0,11),.,.B=150o.1 .在锐角中，角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=小b,则A=()iTiC兀一兀C11a12b6c4d3答案D解析由正弦定理，得2sinAsinB=§Sin即SinA=坐，因三角形为锐角三角形，所以A2 .在aABC中，若c=2cosB,则AABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案C解析.c=2cosB,由正弦定理得2cosBsinA=sinC=sin（A÷B）,.*.SinAcosBCosAsinB=0,即Sin（A-B）=0,.*.A=B.3 .在aABC中，AB=3,AC=2,BC=10,则靠8=.3套案-U木2L2（、/0）2Q1_A_A_A_A1O解析根据余弦定理，cosA=2×2×3=五=WACA=-AB-AC=3×2×4 .在aABC中，CosB=,b2ac=0,则AABC的形状为三角形.答案等边解析VCosB=,0o<B<180o,.*.B=60o.,.*b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=ac,.,.a2+c2-Iac=0,（c）2=0.*.a=c.AABC为等边三角形.1 .判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）.2 .对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.3 .解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.一、基础达标1 .在钝角AABC中，。=1,b=2,则最大边C的取值范围是（）A.l<c<3B.2<c<3C.y5<c<3D.2y2<c<3答案C解析在钝角AABC中，由于最大边为c,所以角C为钝角.所以/>/+力2=+4=5,即c>小,又因为c<a+h=l+2=3,所以小<c<3.2 .若aABC的内角A,B,。所对的边mb,C满足（+32，=4,且C=60。，则打的值为A.B.84SC.lD.答案A解析由(Q+8)2-,=4得/+2，+24/?=4，由余弦定理得a1+b1-c-2cosC2acos60oab，4将代入得ab+2ab=4,所以Ob=W3 .设的内角，若反osC+CCosB=QSinA,则aABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析因cosC+ccosB=sinA,由正弦定理，得SinBCOSC+sinCcosB=SinAsinA.即Sin(B+C)=sin2A,所以SinA=SinASinA,TT所以SinA=1,A=1.故选B.134 .在aABC中，若4=7,=8,CoSC=诃，则最大角的余弦是()a5b6c7d8答案C解析c2=a2+b2IabcosC=9,c=3,B为最大角，序+/一/49+9641C=-2ac=2X7X3=T1.1 tABC中，Q,8，c分别是角A,B,C所对边的边长，若(+2+c)(sinA+sinB-sinC)=3sinB,则C=()A.30oB.60oC.120oD.150o答案B解析根据正弦定理，由已知条件可得m+c)(a+8c)=3",SPa2+b2c2=ab,再根据余弦定理有CoSC='技B=；,故C=60o.6 .已知锐角三角形的三边长分别为2,3,%,则X的取值范围是.答案市,13)l<x<5,解析X满足：22+32-x2>0,解得小4<小.22+x2-32>0,7 .ZABC中，D在边BC上,且BD=2,DC=LNB=60。，ZADC=150°.求AC的长；AABC的面积.解在aA5C中，ZBAD=150°-60°=90°,.AD=2sin60o=3.在aACQ中，AC2=(3)2+12-2×3×1×cos150o=7,.AC=7.VAB=2cos60o=l,.*.5abc=×1×3×sin60o=3.二、能力提升8.iABC中,QSinBCOSC+CsinBcosA=J?,且a>b,则B等于()41111a-6b3-2兀一5兀C.-DN3O答案A解析由正弦定理，得SinASinBeoSC+sinCsinjcosA=gsinB,因为SinB0.即sinAcosC+SinCcosA=,.*.sin(A+C)=,1 71即SinB=不，Va>b,.*.B=.ZO9 .ZABC的内角A,B,。所对的边分别为mb,C若B=2A,a=l,=3,则C=()A.23B.2C.2D.1答案B解析由正弦定理得：熹=磊=惠=益启所以CoSA=汽-,A=30o,5=60。，C=90°,所以，=/+廿=4,所以c=2.10 .在aABC中，若IgoTgc=IgsinA=TgVL并且A为锐角，则为三角形.答案等腰直角解析TlgQ-Igc=IgSinA=16，.t=sinA=乎，TA为锐角，A=45o,TsinC=Asim=2×sin45o=l,.*.C=90o.11.如图，在aABC中，。是边AC上的点，AB=AD,2AB=y3BD,BC=IBD,求SinC的值.解设BD=a,则BC=2,AB=AO=争Z.在aABQ中，由余弦定理,得cosA=ab2+ad2-bd22ABAD又必为枷的内角,2×2ax2aSinA=羊.由正弦定理得，黑二篝，SinC=第sinA=2a2yf262a3C.已知SinA+sinC=psinB(pR),且ac12 .在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,=*.(1)当=*8=1时，求4,C的值;若角B为锐角，求的取值范围.4=1,解得1或c=4f+c=,解由题设
