函数的连续性和间断点.docx
函数的连续性一、函数连续的定义假如函数f(x)在点Xo的邻域内有定义.假如Iimf(x)=/(x0).那么称函数f(x)o在点X。连续O假如函数f(x)在点X。的邻域内有定义，假如Iimj(X)=/(x0),那么称函数f(x)x-x>在点X。左连续。假如函数f(x)在点X。的邻域内有定义,假如IimJ(X)=A(X0)1那么称函数f(x)×-*×0在点Xo右连续。假如J史I.f(x)=Jf(x)=(x(1.),则函数f(x)在点Xo连续。假如函数f(x)在点Xo连续.则则IJa)=Jm/(x)=/0)。二、函数的间断点：函数Kx)在点Xo的某去心邻域内有定义，假如函数f(x)有下列三种情形之一，则称Xo是函数f(x)的间断点.(1) .在X。处无定义；(2) .在X。处有定义.但im(x)在X。处的极限不存在；-o(3),在X。处有定义,而且J吧/(x)在X。处的极限也存在，但p!?f(x)间断点可分为两类.即第一类间断点和其次类间断点。假如函数的左极限和右极限都存在,则称为笫一类间断点。假如左右极限至少有一个不存在,则称为其次类间断点。假如左右极限都存在且相等.则该间断点称为可去间断点,可去间断点很明显是第一类间断点。假如函数在Xo处的极限值为8.则点Xo称为无穷间断点。至于庭藩间断点和跳动间断点，可以很简单依据函数图像的特征加以判别。历年真题1、函数f(X)=遥念的可去间断点的个数为(TI)O(B)I(C)2(D)3(2013,数三,4分)【解析】函数r(X)=惠捻i在X=To1.处没定义，,.z.1IXIX-1,e×1×-1x1.nxIim/(x)=Hm-=Iim-八,：=Iim-«、,-(x+1.)nx-x(x+1.)bx-(x+1.)nx1=Iim7re=8X-1(x+1),、,IXIr-11ex,11x-1,XE1.X1.Iim/(x)=Iim,=Iim=Iim,八,-oo(+1.)nxo(x+1.)nx×o(.x+1.)11x1=Iim7r=1XTO(X+1),、IX1.X-Iex,n1.x1.-1x1.nxIim(x)=Iim->=Iim-：.,=Iim-x(x+1.)11xXTX(X+1)E1.X1.(x+1.)nx11=Iim-=-X-I(X+1)2所以X=O和x=1.为可去间断点。所以答案为(C)02、 设函数f(x)=晋SmX,则f(X)有（八）1个可去间断点，1个跳动间断点(8)1个可去间断点，1个无穷间断点(C)两个跳动间断点(D)两个无穷间断点(2008,数二,4分)【解析)不难看出/(x)有两个间断点X=O和X=1。,.C,.1.nx.,1.,.1.Inw,.；Iim/(x)=Iim-snx=1.mZnxs11x=1.nnxx=hm-=-Iim-XAf*0IAT11X0X0Xi0XX2=-Iimx=O所以X=0是可去间断点。“、.11x,1.n1.+(x-1)1,x-1期J(X)=ESinX=Sin1.=Sin1.Sin1.“、.nx,1.n1.+(x-1)1,X-IIim/(x)=Iim；7SinX=Iimsin1.=Iimsin1.-XT1.-IX-I1.XTI-1-xX-I-I-X=-s111.所以x=1.是跳动间断点。综上，正确答案是（八）03、 求pm(黑)嬴，记此极限为f(x),求f(x)的间断点并指出其类型C-S111X(2001,数二，7分)【解析】!U?(芸)而餐S为18型。SintXI-X.f1.nt-sinx1.i111.()jint-5inx=HmeSin1.inXnmnx=IimeSiminXa-)JXsinxtxtxX-ImtnxXX=Iime，后有sinx=Mme八菽=smxJXtxX=0和X=kn(k=±1,±2,)都是/(x)的间断点。由于:吧f(x)=Iime氏=e.所以X=。是f(x)的可去间断点。而X=kn(k=±1,±2,)处Rx)的极限存在单侧无穷大，所以X=ATr(A=±1,±2,)是f(x)的其次类间断点。4、设函数/(x)=E(i+03)x-arcsinx6X<0X=0,问为何值X>0时，f(x)在X=O处连续，a为何值时，X=O为/(x)的可去间断点？（2003,数二，10分）【解析）In(I+ax?)Jim./(X)=Jim.,rcsn=HmXTO-x-arcsinx=Iim3ax3=Iim=6ao-2Jim(x)=Jim+eax+X2-ax-1=4xstn-aeax+2x-a2x4eax+x2-ax1a2eax+2=4Iim=2a2+4-o*2/(x)=!im/(x)得到一60=2a2+4,求解得到=-1或=-2o当=T时：Jim(x)=JimJ(x)=/().即/"(M在X=。处连续。当=-2时：1.imKX)=Iini/(x)=12/(0),即f(x)在X=0处不连续,x=0X-4Oxo*是"X)的可去间断点。
