抛物线与其性质知识点大全和经典例题与解析.docx

抛物线及其性质【考纲说明】1、驾驭抛物线的筒沾几何性质，能运用性曲解决与他物战有关问题。2、通过类比.找出他物线与椭圆,双曲线的性质之间的区分与联系.【学问梳理】1.抛物线定义：平面内到肯定点F和一条定直跳/的距恩相等的点的轨迹称为抛物观.2.抛物线四种标准方程的几何性质:困舫照*4k-7冬敦P几何意义tP表示聚点料灌煤的距离.P越大，开口越阔.开口方向右左上下标发方«y2=2px(P>0)/=-2tt>>0)X2=2py(p>O).V=-2py(P>0)生点位31.X正X质丫正Y电焦点坐标(p)(-f)岭-9准线方程X=-P2X=R2I2y=E)2范ff1.x0,yeRx(),yeRy0,xeRJ(),-V6R对称轴X轴Xi丫轴YM顶点坐标(0,0)禹心率e=通径2pA*½A(XrJ1)AF=X,+2AF=-X+-2Ab=y+5F=-y1+低点弦长同同(M+x2)+P-i+.)+p(y1.+y2)+p-(yi+y2)+p焦点很长IA用以AB为立名的S1.必与准我/相切的讣充A(XQ1.)(2,y2)若A3的惺价角为,|八四一/.若43的慨斜角为,*1IAf1.I=-s*aX丙=»2=一/1IAF+BFA82AF+BFAFIiFAFBFP3 .抛物线=2MP>0)的几何性质，(D范围因为p>0.南方程可知XN0,所以她物线在y轴的右侧.当X的值增大时，y也增大,说明她物税向右上方和右下方无限延长.(2)对称性：对称轴要看一次项，符号确定开口方向.顶点(0,0),离心率：e=1.焦点吗,0),4ff=-焦准距D.(4)焦点弦：拊物t./=2px(p>0)的焦点花A8.A(KI.y),，则IA3=x+*2+P弦长AB1.=X1.+xz+p,当x=2时,通径最短为力。4 .焦点弦的相关性即焦点弦AB，A(x1.y1.),B(x2,y2),焦点FW.0)若AB是抛物戏尸=2pMp>Q)的焦点弦(过焦点的弦)，且削不另)，H(x2,y2).W1.：M=?，y1.y2=.若AB是抛物戏=2PXS>0)的焦点弦，且出战AB的做斜角为,则IA初=二£_(0).11Niirrz已知直线AB是过他物纹丁=2PX(P>0)焦点F,七+士=券噂=r吟r=2AFBFAFBFAFBFP(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫鞅通径.(5)两个相切；以帕物线焦点弦为H径的圆与准线相切.过拊物线焦点弦的两端点向出线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.5.弦长公式，A(x,m),8(均,口)是抛物线上两点则IAM=J(A_af+(X_.丫2)'=V1+4''IXI-X21=【经典例题】(1)拗物德二次曲线的和谐线桶B1.1.与双曲线都有两种定义方法，可撇物线只有一种；到一个定点和一条定宜战的距离相等的全部点的集合,其离心率e=1.,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在留推曲线之中.由干这个美妙的1.既使它享尽和谐之美.又生出多少华丽的篇章.【例1】P为微物践y2=2px上任一点，F为焦点，则以PF为且径的If1.I与y轴（）。.位置由P确定A相交8.相切C相团【解析】如图，抛物税的集点为Fjg0,准投是/：x=4.作PHJ./于H,交y轴于Q,那么阳=IP川，且|。I="'=作MN1.y轴于N则MN是悌形MOF的中位缥IMM=：（|0日+1PQ1.）=:p"I=:p"I故以222PF为宜径的圆与y轴相切.选B.【评注】相像的问即对于艇魄和由曲税来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考带薪的亮点弦有关抛物线的试8S,跟多都与它的焦点弦仃关.理解并沟次这个焦点弦的性质，对破解这些试咫是大有帮助的.【例2】过抛物线V=2pMp）的供点F作巨.线交他物战干人（玉,乂）,（三,必）两点，求证：刖"十七+j+if=7【证明】(D如图设地物线的准线为/,作AAJ/A._1.IiBe则IAFI=IAAI=XI+§.BF=BB,=x2+两式相加即得：AS=x1.+x2+p(2>当AB_1.X粕时，有I2AF=IBh=/?.：+ii=一成立；1111/AFBFI)当AB与X轴不垂直时.设他点弦AB的方程为：¥=£*§；.代入他物线方程:抬卜一日)=2zv.化简阳：2-p(2+2)x+-2=O(I)；方程<1>之二根为X1.x”二X2=iI_1_£I1闲时两悯=帚+耳_.q+P_+&+P_2-7+f(+-vj)+*X+2+p)P故不论弦AB与K轴是否垂直，忸有J7+1二=2成立.M网P(3)切线一Ii物线与函数有雄有关拊物线的很多试遨.又与它的切然有关.理解并驾驭拊物线的切线方程，是解邈告不行或缺的基本功.【例3】证明：过附物线y'=2px上一点乂Cx,.y<.)的切线方程是：y,y-p"xQ【证明】对方程V=2内两边取导数：2旷了=2份；八'=仪切线的斜率y&=，'Ir-Ib=，由点斜式方程：y->,f1.=-(-v(i)=>,v(1.y=t-p+(O.y,>=2pxfy,代入<1)即得：y°y=>(x+x”)(4)定点与定值一施物战埋在深处的宝IK拗狗规中存在很多不不易发觉，却简洁为人疏忽的定点和定做.驾驭它们，在解遨中常会有意想不到的收获.例如：I.一动圆的明心在抛物线V=8上.旦动圆恒与直线+2=0相切,则此动冽必过定点()A(4,0)8.(2,0)C(0,2)(0,-2)明故.本遨是例1的翻版,该国必过抛物线的供点.选B.2 .微物线y2=2px的通径长为2p；3 .设抛物线,2=2Px过焦点的弦两端分别为Aa,)，)见天,心).那么：y1.y2=-p2以下再举一例例I设柚物城>2=2PX的焦点弦AB在其准线上的射影是AB.证明：以A此为直径的园必过肯定点【分析】假定这条供点弦就是撤物线的通径，那么ABTu2p,而AB与AB的密黑为p,可知该圆必过弛物线的侔点.由此我们猜想：一切这样的圆描过抛物线的焦点.以下我们对AB的一股情形给于证明.【证明】如图设供点两端分别为A(x,y),A(x2,),J.那么：y%=-p2=>C4,C=y,y2=p2.设抛物战的准线交X轴于C.那么Ier=p.A皿中C=IGA1.1.C3j故NA印I=90°.这就说明：以AB为I1.径的圆必过该微物我的焦点.通法特法妙法（1）解析法一为对称付解困排难解析几何是用代数的方法去探讨几何，所以它能解演纯几何方法不易解决的几何问魄（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷,10题）已知抛物线y=-2+3上存在关于电线+y=（）对称的相异两点A、B,则IAB1.等于OA.3B.4CJ41D.441分析】直线AB必与出线x+y=O垂直，且纹段AB的中点必在立级x+y=O上,因得辞法如下.【解析】戊A,B关于直城x+y=O对称，.设直线AB的方程为：y=x+;n.由V=X+ZH,、,AnX+x+"，-3=0(I)设方程1）之两根为1，X”则M+&=-1.设AB的中点为M(0,y0),VAx0=三二三=一1.代入x+y=O:y0=故有W222从而，=y-x=1.直级AB的方程为：=*+1.方程（1）成为：f+x-2=0.解得:.t=-2,1.,从而.y=-1.2,故得：A(-2,-1),B(1.2).=32.选C.（2）几何法一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避开的繁杂计算，这又使忠很多芍生对解析几何习题堂而生艮,针对这种现状，人们探讨出妥种使计豫状大幅度削减的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.例6（1.1.±n1卷.11JR）抛物城=4.r的焦点为F,准线为1,经过广且斜率为的出线与抛勒线在X轴上方的部分相交于点八，AK1.1.垂足为K,W1.ZkAKF的面枳（）A.4B.33C.43D.8【辘析】如图直雄AF的斜率为JJ时NAFX=60”.AFK为正三角形.设准线/交X轴于11,叫FM=P=二且NKra=60",.I"I=4,SMjfF=×42=43.iic.【评注】(1)平面几何学问：边长为a的正三角形的面积用公式另=手”2计算.(2)本的贾如用解析法，需先列方程姐求点A的坐标,，再计徵正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简洁.(3)定义法一遑本求真时用油一着很多解析几何习即咋看起来很难.但艮如返朴归真,用呆原始的定义去他,反而特殊简洁.【例7】(07.湖北卷.7翘)双曲线11C1.=-=1.(>()./，>()的左准线为/,左焦点和右焦点分别为和鸟：抛物线G的线为八焦点为D.12而平面几何学问又一时用不上，那么就从依原始的定义鸟：G与C：的一个交点为M,则曾一黑等于(丁同MF2.-1B.1C.-2【分析】这道即假如用解析法去做，计灯会特殊繁杂，方面去找寻出路吧.如图，我们先做必要的打算工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作MH1.ITH,令iW=WM国=小点M在抛物线上,二眼M=IMAI=G故潞=陷=4=e.111212MHMF2r2这就是说：瑞钟的实质是窗心率以其次.倦:与离心率C有什么关系？留意到:陷=在=四=4)=eh.%e这样，最终的答案就自然浮出水面了：由于空i-"0=(e-1.)+e=-1.选A.IA"JIjW三角学1卷«着丰富的解遨资源.利用三用手段，可以比较简洁地将异名界角的三角函数转化为同名同角的：角函数，然后依据各种三角关系实施“九九归1”一一达到解SSFI的.恤物线8的因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源,常UJ以捱脱逆境.简化计算.【例8】(09.重庆文科.21遨如图,做斜角为”的直线经过焦点F.且与抛物线交于八、8两点.(I)求岫物线的焦点户的坐标及准线/的方程：（三）若“为锐角，作线段AB的出平分线m交X轴于点P,证明IFp1.-IFPICoSa为定位，并求此定值，【解析】(1)您点F<2,0),准税/；X=-2.(II)史城AB：>=tana(x-2)(1).X=卷代入(1)整理得：y2Um0,-8y-161.an=0(2)X设方程2之：根为y“y”则设AB中点为(.%),则用=山=±=4c°g2Uina.%=cota>,1.+2=4cot;a+2AB的垂直平分线方程是：y-4cota=-co<a(x-4co(2a-2).y-0,W=4co<a+6.WP(4cot*a+6,0)故i'H=O-OF=4cot2cc+6-2=4(