微分方程数值解习题课.docx
微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分y=e,'dt所确定的函数y在点X=0.5,1.0,1.5的近似值。解：该积分问题等价于常微分方程初值问题Iy(O)=O其中0.5。其向前欧拉格式为%=()改进欧拉格式为W=另+乡产+产%JO=O将两种计算格式所得结果列于下表/Xi向前欧拉法乂改进欧拉法V；000010.50.50.4447021.00.889400.7313731.51.073340.84969二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题,=x-y+1.y（o）=10x0.6取步长h=0.1.解：4步显式法必需有4个起步值，儿已知，其他3个y,%，为用4阶龙格库塔方法求出。本题的信息有：步长h=0.1；结点须='=O1.i(i=0,1.,6)；/(x,y)=x-y+1,X)=Mo)=1经典的4阶龙格库塔公式为6K=(wJ3-y+1k2=f(xi+g,yi+号)=Xi-y-0.051.+1.05%-*y+争=xi-yi-0.05Ar2+1.05&4=f(1.+h,yi+hk3)=Xj-yj-0.1Z:3+1.1算得X=1.Oo48375,y2=1.0187309,=1.04081844阶4步阿达姆斯显格式。+£(55工-59九+37九一9九)y=t(18.5y+5.9)，-3.7y_2+0.9yj.3+0.24/+3.24)由此算出y4=1.0703231.,y5=1.1.065356,=1.1488186三、用Eu1.er方法求y,=-exy+x+t0<x1Iy(O)=1问步长应当如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题/(x,y)=-eAy+X+1.=/；(a;.y)=-<0.0X1本题的肯定稳定域为1+=1-A<1得0<3<2,故步长应满意OVaeV2,O<<0.736四、求梯形方法MM=K+4"(/'儿)+(M"m)的肯定稳定域。得到证明：将EU1.er公式用于试验方程y=2y=+U>,4+mJ整理_AhTz1./1.r÷=(1.+y)vt设计算”时有舍入误差/,h=0J2,则有助“Afr11-yku=(+y)据稳定性定义，要想MJj,只须1-2因此方法肯定稳定域为复平面的整个左半平面(?),是A-稳定的。五、对初值问题)=一)八.小1Ox1.Iy(O)=I证明：用梯形公式+=+1.，”)+/(Xm，÷)J求得的数值解为(2-hX并证明当步长“o时，”收敛于该初值问题的精确解”=EX证明：由梯形公式，有+1=>,b+NXn，州)+fg,1.，>')1.=>n+7一”一"，J整理，得(2-h由此递推公式和初值条件，有2-,2+h)Vx0,1.,V有在区间*ko,上有,XX=X11=nht步长"=/由前面结果有iimV=Iimn”nr2-S+h2+Iim102x7Ih2+7-X=IimO由X的随意性，得所证。六、对于微分方程y'=*,y),已知在等距结点处的y的值为h为步长。试建立求)二的线性多步显格式与与隐格式。解：取积分区间/J,对y'=(,y)两端积分:y()-y(2)=£dy=J；"。,y)dx对右端/(,y)作卬.%占的二次插值并积分"/(x,y)dxJ：02(x)(x,M)+A2(-)(x2,y2)+1.22Mf(5,丹)心=力(/(2)-“(&,必)+"(&，片)17，得到线性4步显格式以=y2+呜工+)若对右端在0%两点上作线性插值并积分，有“(,y心j2'4(幻/(七，%)+()(4,M)W*=2hf(x4,y4)由此产生隐格式y4=y2+2f(x4,y4)七、证明线性多步法+1+y11y11-1.>一丫"=g(3+)W力+工一)存在的一个值，使方法是4阶的。解：由本题的公式，有÷1=-(yn-yn-1)+y11-2+1(3+«)/?(/,+/,_,)Om=y(n+")-=Da)+力)+r)+4U严+。耐)-1.-a(y(xn)-y(xn-A)+y(xn-2)÷1(3+a)h(y'n÷yxn-)Jf2J3/4=(vU)+XJ+-.v,)+-y",(J+-4)(Art)+(5)4J力2/PA4+ay(j-a(y(xJ-yXxJ+-,y"(An)-y-(x,1)+-4,(b)+O()X>J»T)，区)2hyxn)+粤),(Q萼y-(-n)+粤，(.tn)+OsS)1A2力3-y(3+Xyar)+yU)-协”区)+57yU)+不/区)+O(A5)=1.+2-(3+)My'(X")+g-g0-2+g(3+)切入"()W+/汨"+a)My12+五-五+3+）疗/区）+。耐）=G-A0)“*"(%)+g(-9+a)/4)(,)+O(s)J*当=9时，Tn,t=O(hf局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。数值枳分习副H等说明1.确定下列求枳公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度(1) "f(x)dxA.1.f(-h)+A,f(O)+A1f（三）(2) f(x)dxA1.f(-h)+Aof(0)+Aif（三）J-2o(3) '()d(-)+2(i)+3(-,)3(4) y()fZv(0)+/(2-Hih2,(0)-f,（三）6 .若用复化梯形公式计算/="e'dx问区间0,1应分成多少等份才能使裁断误差不超过;泡0$?若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间9H应分成多少等份？7 .假如/"(">0证明用梯形公式计尊定枳分/='/(X)小所得结果比精确值I大.说明其几何意义.10 .构造Gauss型求枳公式£'"3*"(%>)+A(i)UJIn三2,3的高斯-勒让德公式计算积分e,sinxdx13 .证明等式.1111sn-=万T+3!11-5!«试依据=3,6,12)的值,用外推算法求的近似值.n定理6.4设函数6S)旅近数产的余项为F'-j()=An+a1hpi+axhp-+，O<P1.<p2<(6.23)则由F阳一叫:芳”定义的函数S)也靠近尸，且有F-F1.()hpi+*/*+17.倘定数位微分公式的微断误基农达式仆）
