线线角-线面角-二面角的讲义.docx

线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点且EF=B,AD.BC所成的角为2加图,在长方体ABCD-AIB1.C1.D1.中,BIC和C1.D与底面所成的角分别为60。和45O,那么异面直线B1.C和CID所成角的余弦值为()网m&ey（八）.(B)T(C).6(D)Vb!3 .平面与宜线”所成的角为那么宜线”与平面。内所有8亡y0直线所成的角的取值范围是Ak4 .如图,ABCD是正方形,PDJ1.平面ABCD,PD=AD,那么PA与y4|A_X(BD所成的角的度数为<B（八）.30O(B).45O(C).60o(D).90o5 .有一个三角尺ABC.ZA=30o,ZC=90。.BC是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45。角时,AB边与桌面所成角的正弦值是A二、典型例题I'例1.(96全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60o角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平大面图形.作法有:平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”，作另一条宜线平行线或利用中位线.补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系2解立几计算题要先作出所求的角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】例2.如图在正方体AC1.中，（1）求BC1.与平面ACCiA1.所成的角；（2）求A1.B1.与平面AICIB所成的角.备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在°-的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线的方法常采用:利用平面垂直的性质找平面的垂此平面上线.作垂线.点的射影在面内的特殊位置.例3.直三棱住ABC-AIBIC1,AB=AC,F为棱BB1.上一点,BF：FB1=2：1,BF=BC=2,假设D为BC的中点,E为线段AD于A、D的任意一点,证明：EF1.FC1.;（2）试问:假设在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1.C1.C成60什么?证明你的结论.备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题.解决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与条件矛盾，从而判断命题是否成立.一、知识与方法要点：1 .斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂宜来确定垂足的位置。假设垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2 .二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二而角的一个面内的一点向另一个而作垂线，并确定垂足的位置。假设二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3 .判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂宜于另一个平面的直线。两个平面垂宜的性质定理是：如果两个平面患直，那么在一个平面内垂宜于它们交线的直线垂直于另一个平面.例1.正方体ABCD-AIBIC1.D1.中,求证:AC1_1.平面A1.BD.二、例题(2)求BM与平面A1.BD成的角的正切值.解：连AC,'Cd平面ABCD,C1C±BD.又AC_1.BD,AC1±BD.同理AC1_1.A1BVA1BBD=B.AAC1.X5PffiA1.BD.(2)设正方体的棱长为“，连AD1.,AD1.交AID于E,连结ME,在AD1.AC1.中，ME#AC1.：AC1_1.平面A1.BD.，MEJ_平面A1.BD.连结BE,那么/MBE为BM与平面AIBD成的角.在RfAWfB中,例2.如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转,使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P(1)求证：面ABP1.ffifABC:(2)求二面角CBP-A的余弦值.证明(1)由题设知AP=CP=BP.点P在面ABC的射影D应是ABC的外心，KPDAB.VPD±AB,PDU面ABP,由面面垂直的判定定理知，ffiABP1.ffi1.ABC.(2)解法1取PB中点E,连结CExDE、CD.VBCP为正三角形，CE1.BD.aBOD为等腰直角三角形，.DE1.PB./CED为二面角C-BP-A的平面角.又由(1)知，面ABP±三ABC,DC±AB,AB=面ABP面ABC,由面面垂直性质定理，得DC_1.面ABP.DC_1.DE.因此aCDE为直角三角形.设BC=I,CE=同那么2,szcfd=三=tT例3.如下图，在正三棱柱A8C-A4C中，Kw网，截面AECJ侧面4%求证：BE=叫；(2)假设AA=A及，求平面AEC与平面，Kc所成二面角(锐角)的度数.II证明：在截面AIEC内，过E作EG1.AC,G是垂足，:图2-5；面AIEC1.面AO,；.EG_1.侧面A。.AC取AC的中点F,分别连结BF和FC,由AB=BCRr<Z,.面ABC_1.侧面AcJ.BF_1.侧面AC,得BFEG.BF和EG确定一个平面，交侧面AC/"内D图2-6VBEZZtJ1.fnAC,BEZ/FG,四边形BEGF是6BE=FG.BEAA',FGAA',AA'C<×>FGC.VAF-FC,/.FG»AA1-BB1.,即BEN1bB1.ttBE三EB1.解：(2)分别延长CE和CIB1.交于点D,连结ADVEBjtfOC1.,EB1三BB,-CC1.,.'.DB1=IDCi=B1C1=AjB1.,.,ZB'A'C'=ZB'C'A'=60o,ZDA1B1-ZA1DB1-(180*-NDBIAI)=30',ZDA'C'=ZDA'B'+ZB'A'C'=90o,即DA'±A'C'.YCCUiffjA1C1B',由三垂线定理得DA1.J_AIc所以NCAC是所求二面角的平面角.且NA'C'C=90.VCC'=AA'=A'B'=A'C',ZCA'C'=450,即所求二面角为45°.说明：如果改用面积射影定理，那么还有另外的解法.三、作业：1 .平面的一条斜线a与平而成角，宜线b,且a,b异面，那么a与b所成的角为（八）A.有最小值，有最大值三B.无最小值，有最大值5。C.有最小值，无最大值D.有最小值，有最大值。2 .以下命题中正确的选项是(D)A.过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B.过宜线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C.过宜线外一点作该直线的垂线有且只有一条D.过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3 .一条长为60的线段夹在互相垂宜的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°,这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，那么垂足间的距离是（八）A.30B.20C.15D.124 .设正四棱锥S-ABCD的侧棱长为衣，底面边长为百，E是SA的中点，那么异面直线BE与SC所成的角是(C)A.30°B.45oC.60°D.90°5 .正三极锥的侧面与底面所成的二面角为arcian2,那么它的侧棱与底面所成的角为应6 .A是ABCD所在平面外的点，NBAC=NCAB=DAB=60°,AB=3,AC=AD=2.(I)求证：AB±CD:(II)求AB与平面BCD所成角的余弦值.7 .正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值.解过A,E分别作AH，面BCD,EO_1.面BCD,H,O为垂足，AH?2OE,AH,OE确定平面AHD,连结OcANECo即为所求.VAB=AC=AD,AHB=HC=HD/BCD是正三角形，.'.H是aBCD的中心，连结DH并延长交BC于F,F为BC的中点，c图1-49dh4df=÷=T在RIAADH中,AH三ADj-DHj-卜-g，a.万36a五2=i旦6=aAH.41-21-2A-OE.OE8.在四面体ABCD中，DA1.1.ftABC,NABC=90°,AE1.CD,AF1.DB.求证：EF1DC：(2)平面DBC_1.平面AEF.(3)若AD=a,AB=a,AC=3a,求二面角B-DC-A的正弦值.证明如图1-83.(1)YADJ.面ABC.，AD_1.BC.又VZABC=90o.ABC1.AB.,.BC1三DAB.DB是DC在面ABD内的射影.丁AF±DB.AAF1.CD(三垂线定理).VAE1.CD.,CD，平面AEF.CD1EF.(2)VCD±AE,CDJ_EF.CD,面AEF.YCDU面BCD.上面AEF1®BCD.(3)由EF_1.CD,AE1.CD.NAEF为二面角B-DeA的平面角.SRtAADB中BD=a.AF=孚a在RtADC中CD=2a.,.AE=冬XVAF±DB,AF1.CD,BDCD=D,AF1.平面DBC,XEF在平面DBC内.AF1.EF三RtAEF中，SinAEF=AFTaa_=AE33Ta故二面角B-DC-溯正弦值为半.二面角题目:如下图，由1.面abc,SW1.Br=S,Smsc=S',二面角P-BC-A的平面角为以求证：Scos=S2.如图，在空间四边形438中，MQ是正三角形，MBD面角，求二面角川-8-3的大小。是等腰直角三角形，且NBA。=%,又二面角人为宜二例3.设A在平面8。内的射影是宜角三角形8。的斜边BD的中点AC=BC=I,CD=应,求(I)AC与平面BCD所成角的大小；(2)二面角A-3C-。的大小；(3)异面宜线AB和CD所成角的大小。例4.在正方体A68-A5CT中，历为,W的中点，求截而QA型与底面A8C。所成较小的二面角的大小。求:选用：如图，正方体的棱长为1，BCnBC=O(1) A。与AC所成角；(2)八。与平面人灰力所成角的正切值；平面AQ3与平面八OC所成角.解：(1)-AtCf/AC.A。与A'C所成角就是NoAC.(_1。及八8，平面3。.OC1.OA(三垂线定理)0C=-.AC=>2在RtJSAOC中，2/.ZOAC=30(2)作。EJ8C,平面水”平面ABCQQfJ.平面A8Q,/QA月为何与平面人*7)所成角()E=.E=J1.2+(=当tanZ<1.E=-=在aAOAE中，2V22.AE5(3),/Oc1OA,OC1OB.OC_1.平面AO3又.OCU平面AOC.平面AOBJ平面AoC即平面a。"与平面Aa'所成角为为.二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：1.二面第1.定义法一三垂线法Tfias一$积去一一、定义法I宜接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平而角，用定义法时，要认真观察图形的特性：例、如图，二面角-a-B等于120°,PA!,A,PB±,B.求NAPB的大小.例、在四极锥P-ABCD中，ABCDPAj_平面ABCD,PA=AB=a,求二而小。二、三垂线定理法，