导学案2：函数的应用（Ⅰ）.docx
§2.3函数的应用(I)【学习要求】:1 .通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题，加深对函数概念的理解；2 .会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题；3 .了解数学知识来源于生活，又服务于生活.【学法指导】：通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点.填一填：知识要点、记下疑难点1.一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数，a0),当.a>0时,f(x)为增函数;当a<0时,f(x)为减函数.Iz2 .反比例函数模型f(x)=+b(k,b为常数且kW0).3 .二次函数模型f(x)=a2+bx+c(a,b,C为常数，a0),当a>0时，增区bb间为-2a,+8)；减区间为(-8,-2a研一研：问题探究、课堂更高效问题情境我们已经学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用.今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手,运用已学过的函数知识来解决一个实际问题.探究点次函数模型的应用例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2h时火车行驶的路程.分析1：本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样？答：变量有路程S和时间t,它们的取值范围分别为13s277,0t2713_n=T分析2:所涉及的变量的关系如何？答：s=13+120t.问题:根据分析1、分析2,写出例1的解答过程.解：因为火车匀速运动的时间为(277T3)÷12°=(h),所以OQ十.因为火车匀速行驶th所行驶路程为1203所以，火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s=13+120t(0t.离开北京2h时火车行驶的路程s=13+120×=OO233(km).小结：实际问题中列出的函数关系的定义域，要考虑实际问题对自变量的限制.即注意自变量的实际意义.跟踪训练1一个水池每小时注入水量是全池的表，水池还没注水部分的总量y随时间t变化的关系式是.解析：设t小时注满水池，则有看t=1.,所以OWtW1.O.y随时间t变化的关系式为y=1.*(0t10).探究点二二次函数模型的应用例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？分析1：本例涉及到哪些数量关系？如何选取变量，其取值范围又如何？答：租金提高的钱数与客房减少数，租金与租出客房数等；变量选为租金提高了X个2元，0<x<30.分析2:应当选取何种函数模型来描述变量的关系？“总收入最高”的数学含义如何理解？答：二次函数，”总收入最高”即求函数的最大值.问题：根据分析1、分析2写出例2的解答过程.解：设客房日租金每间提高X个2元，则每天客房出租数为300-IOx,由x>0,且300-10x>0得:0<x<30,设客房租金总收入y元，则有：y=(20+2x)(300-10x)=-20(x-10)2+8000(0<x<30)由二次函数性质可知，当X=IO时，y=8000.所以当每间客房日租金提高到20+10X2=40元时，客户租金总收入最高，每天为8000元.小结：解题方法：(1)读题，找关键点；(2)抽象成数学模型；(3)求出数学模型的解；(4)做答.跟踪训练2某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为1.如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？解：设矩形的长为X(KX<，则宽为*12x),从而矩形的面积为S=x-与2=-X2+X=-fx7y+.由此可得，该函数在X=；时取得最大值,且Snnx=.214641619x11这时矩形的宽为=-=不即这个矩形是边长等于彳的正方形时，所围出的面积最探究点三选择函数的拟合问题例3我国19992002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示:年份1999200020012002X0123生产总值8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一人函数关系式;(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较;(3)利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.解：(1)画出函数图形.从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型.如右图所示，设所求的线性函数为y=kx+b.把直线通过的两点(0,8.2067)和(3,10.2398)代入上式，解方程组,得k=0.6777,b=8.2067.因此，所求的函数关系式为y=f(x)=0.6777x+8.2067.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(D=O.6777×1.+8.2067=8.8844,f(2)=0.6777×2+8.2067=9.5621,与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元.(3)假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长，则2003年(即x=4时)的国内生产总值为y=f(4)=0.6777X4+8.2067=10.9175.所以2003年国内生产总值约为10.9175万亿元.小结：依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法为：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题.跟踪训练3若用模型y=a2来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y与刹车时的速度X的关系.而某种型号的汽车速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m,在限速100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为60m,则这辆车是否超速行驶：.解析：将(60,0.02)代入丫=六，得a=J,所以模型为y=gx当y36003600=0.06时,006X36002=3×602,即x=60360×1.732=103.92>100.所以这辆车是UU乙超速行驶.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副20元，球每只5元，该店制订了两种优惠方法：买一副球拍赠送一只球；按球拍和球的总价的92%付款.某单位计划购买4副球拍和30只球，该单位若想更省钱，则应选优惠方法()A.BC.两种一样D.不能确定解析：若按第种优惠方法，共需要花费4X20+26X5=210(元),若按第种优惠方法，共需要花费0.92X（4X20+30X5）=211.6（元），所以选A.2 .用长度为24m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为（）A.3mB4mC.6mD.12m解析：设矩形的长为X,则宽为（242x）,则矩形的面/8积为S=；（242x）x=-J（2-12x）=）（x6）+18,所J：O501001507以当x=6时，矩形的面积最大.3 .某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差（）一一40一A.10兀B.20兀C.30兀D.W兀O解析：设A种方式对应的函数解析式为S=kt+20,B种方式对应的函数解析式为S=%t,当t=100时，IoOk+20=1001.,工匕一k1=3t=150时，150k2一5150k1-20=150×7-20=10.5课堂小结：1.解答数学应用题的关键有两点：（1）认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；（2）要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.
