求数列通项公式方法归纳(十种方法).docx
求数列通项公式方法归纳一、公式法【例1】已知数列oj满足z=2a*+324=2,求数列n)的逋项公式.解：q“=2%+3x2"两边除以2"“，得招=*+：，则导一M=：，故数列*是以23=1为首项，以2为公空的等差数列，由等型数列的通项公式,解生=+(-|),2'222"2所以数列Sj的通项公式为外=4一;)2".二、K加法【例2】己知数列m,满足=4+2+I,1=1.,求数列“)的通夜公式。解：由4“=n+2«+1得a1.tt1.-(ia=2n+1.U111Ia*=(ax-.1)+(a。”一见_1+,+(4一七)+(七一4)+%=(2(11-1)+1J+2(m-2)+1J+.+(2×2+1)+(2×1+1)+1=2(j-1)+(j-2)+2+1J+(i-1)+1=2”也+(“-1)+12=(-I)(11+1)+I=所以数列4的通项公式为q=n=a3+-4=%+-7-。【例3】在数列4中，%=4,Zi-In,a1.tt1.=an+1.求通项公式4.j(w+1.)解：原递推式可化为：n.=n+-n/J+1III1ay=a,+,=,+则I12-23逐项相加得：aA=u1.+1.故an=4-.nIi【例4】已如数列满足qt.=q,+2x3"+1.,4=3,求数列4的通项公式。解：由凡”=q+2x3°+】得一11=23"+1.则所以q,=3"+"-1.【例5】已知数列佃/满足%=3+23*+1.,%=3,求数列“J的通J公式.解：-=M+23"+1.两边除以3f得爵喙+3?则翁-H+故“42(-1)")2tj1.1因此上=-1i+2+1=+,3"31-3322x3-9II则4=£x3"+1.3"-1."322【例6】在数列J中，勺=0旦。A=4+2"-1.求通用(明.1T.O1(I)(I+23)/.2an=1.+3+2w-3=1.=(-)_1_【小练】：已知°/满足6="""""5+D求SJ的通项公式.已知"*的首项6=1.4“=%+2（“£AT）求通项公式.已知中./=3.%=11+2-,求a,。三、JK乘法类型q,=/()”,型【例7】已知数列oJ满足外“=2(+1)5°Xq，4=3,求数列4的通项公式.解：因为Qz=2(+1)5"Xq,=3,所以41,H(),则也=2(+1)5".故a“%«26=2(-1+I)5m,)2(m-2+1)5),1.(2(2+1)×52112(1+1.)×51.×3=2"T”S-i).3x2x5("xn2x+2“*3Hn-1.>=3×2n,×5-j×11!水-T1.所以数列的通项公式为4=3×2"-,×5×m!.【例8】已知数列他/满足4=1.a”=%+2ai+34+.+(-1.)q-(“22),求的通项公式。解：因为4="+2«+3/+(-IWiV"N2)所以=6+2q+3q+(j-1.)n_1+/«用式一式得生“-%=4.则=5+D<"*2)故%11=+1(2)所以411=g2-4j,=m(m-1)4×3.=Ct.f1.n-.-%.'2'由。(I=4+2%+3/，+(11-1.)an.1.(2)取=2得"?=j+2"？，Wja2=»又知,=.则=1,代入得”.=1.345=与。所以，应的通项公式为4=丹.【例9】在数列“j中，«,=I,&=一,求通项a.“+1解：由条件等式"I得，a-'K«in"T2n,得n12-16=-a=IJ*练习：1、已知：3,2/J+1(22)求数列IM)的通氧2,已知中,"+2“"且6=2求数列通项公式.四、待定系数法风，"+d(CHoc1.)型【例10己知数列湎足4“=24+3x5"，1=6,求数列«,的通项公式。ft?：设n+xx5""=231.,+xx5")将“2=24+3x5"代入式.用24+35"+x5"'=2",+2.rx5".等式两边消去2aa.得35"+x5""=2x5，两边除以5",得3+5x=2x,则工=一1,代入式得%-5e=2(Qn-夕)由g-5'=6-5=1.Ko及式得4-5"h(),则”-5''=2,则数列Iq1.-5"毡以""4-5|=1为首项，以2为公比的等比数列，则/-5"=2"故%=2"+5".【例II】已知数列4满足4m=3"i1+5x2'+4,q=1.,求数列(/的通项公式.解：设0n+2""+>=3(q,+2"+y)将“=3+5X2"+4代入式，得311+5×2n+4+x×T*'+y=3(«,+x×2n+y)整理得(5+2x)×2"+4+y=3.r×2"+3y.令V"'丁，“弋，代入式得4+y=3y(y=2q.i+5x2""+2=3(«,+5x2"+2)由+52+2=1+12=13Wo及式，1t0d+52"+20,则也生=3.q+5X2"+2故数列S*+52"+2是以q+52+2=1+12=13为首以3为公比的等比数列,因此“1,+52"+2=133"期,=133"T-52"-2.KM12已知数列应满足牝“=24+3"二+4+5.4=1,求数列4的通项公式.解：设4“+期+1+_y(+1.)+z=2(a*+x，/+y+z)将型“=2a+3n2+4+5代入式，得2a1.1.+3+4+5+.v(t+1)2+y(n+1)+2=2(+xn2+yn+z)，则2w+(3+x)t1+(2x+V+4)j+(a+y+z+5)=2an+2xn2+2yt+2z等式两边消去2a.得式+x)n2+(2x+y+4)11+(x+y+z+5)三2xn2+2yn+2,解方程组3+x=2x2x+y+4=2y.则x+y+z+5=2.r=3),=10,代入式，得z=18a1.t,1.+3(+1)，+1.()(n+1)+18=2(.+3/?+10+18)由4+3f+IOx1+18=1+31=32WO及式，得q+3/+10+18/0则外1上迎球W空H=2.故数列0n+3+IOzf+18为以,+3n2+10n+18%+3xF+10x1+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此(i+3/+10+18=32X2”“，则an=2n-*-3-1O,-I8e例13数列"J满足"”“=247,q=2,求(解：设与小广目.即“川=2%+X,对照原递推式,便有一x-1.故由*=2。“-1.得%-1=2(4-1),即/二2=2,得新数列ET是以%T%1=2-1=1为首项.以2为公比的等比数列.(n=1.,2,3-),.-.a-=2',即通项(=21+I【练习】：I、己知Sj满足=3,"，“=2411+1.求通项公式.2、W中，。产1,0*=3%+2s2)求"n.分析：构造辅助数列，4+=*%+),则4=3"-1.【同类变式】1,已知数列SJ湎足=24+(2-1),F1.f1.1=2.求通项(分析：(特定系数),构造数列&+&+使其为等比数列，即4“+k(+)+Z>=2(an+kn+b)解得&=2J)=1求得明=52-2一11C,.-a=-an.+2-1.,2、已知：叫=1.”22时，2,求SJ的通项公式，a+An+B=-an.1.+4(11-1.)+解：设211.1，IRau=-an1.AnAHM2,*-1222Iu22IIA=-A.w1.-4+6=3：.22解得：8=6.。“一4,6是以3为首项.I2为公比的等比数列an-4m+6=3()",.0“-4+6是以3为首项.2为公比的等比数列an-4/+6=3rt11=3+4-6【例14己知数列4的前"项和5“满足5'=2an+2n(1) 写出数列的前3项可'”2，小；(2) 求数列4的通项公式.解：(由1=S1=2a1.+2.汨%=-2.(2)当22时,有=S“一SArT=2(q2即4=24T-2令+X=2(j+%产=2%+”,与比较得X=-2%一2:是以一2=-4为首项,以2为公比的等比数列.a-2=(-4)-2"T=-2"m.an=-2a*1+2,11x【引申题目】、已知中，rt=1,a，=2a.+2"(“2)求1.2,在数列Q-中,a=1.三u=2in+43''，求通项公式W：原递推式可化为：1.1.+2-3"=2(+-3-)比较系数得j式即是：a.,-4-31=2(n-4-3",)则数列是一个等比数列，其首项,431=5.公比是2.a.-43"=-52"即an=43im-523、已如数列E1.满足a.=2a11+32n,a=2,求数列E的通项公式.a.>=a»1.3a.“a._3解：a.,=2a11+32n两边除以2。”.得2'“2*2.则2'"2'-2,(汩上=2=3故数列二是以22为百，以5为公差的等是数列，由等差数列的通项公式,得+(n-0.1a11=(-n-)2"22.所以数列2的通项公式为22.6=I4、若数列的递推公式为=%j23"UwN),则求这个数列的通项公式«i=35、若数列的递推公式为=4-235cN),则求这个数列的通项公式6,已知数列E)满足a.“=2a“+3f=6,求数列d的通项公式，解：设a.+x5""=2(a1.1.+x5")将K=2n+36代入式，w2an+35n÷x5",=2an+2x5等式两边消去2a,知35"+x5""=2x5°,两边除以5",得3+x5=2x,则x=_,代入式.ft)an.n'1=2(an-5n)(an.T；由a-S=6-5=o及式，得a1,-50*0,则a-5",则数列伯-)是以q-5=1.为首项，以2为公比的等比数列，则4-5"=卜2小，故4=2""+5"【例15已知数列4中，解：将4=h首项是-!-=1,公差为2,f%【例16数列%）中，Ha提示_='_!_+1mi71%=屋+解：-1.=J-+2"即久”%.1.“II则”=仇+攻二2二）=1-2fa""【例184列IeJ中,=2”“+4解：f1.2”“。”"=-bZ/1.设为.-T=/&-=击力-2一久-3=与其中q-3且当
