专题21 图形的相似与位似（讲义）（解析版）.docx

专题21图形的相似与位似核心知识点精讲1 .理解掌握比例城段的相关概念:2 .理解掌婵比例的性质、黄金分割点等定义:3 .理解学旌平行线分线段成比例定理:4 .理解掌握什么是相似多边形、位似图形,考点1比例线段1 .比例线段的相关念如果选用同一长度单位量将两条线段a,b的长度分别为m.n,那么就说这两条规段的比是,amb或写成a：b=m；n在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条城段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比.那么这四条线段叫做成比例线段.简称比例规段若四条a,b.c,d满足或a；b=c：d,那么a,b.c,d叫做加成比例的项，线段a,d叫做比例外项.线段b.c叫做比例内项,线段的d叫做ab.C的第四比例项.如果作为比例内项的是两条相同的线段,即色=或a：b=b：c,那么线段b叫做线段a.C的比例中bc项。2 .比例的性朋（1）基本性质a：b=c：doad=b<a：b=b：c>bac（2）更比性朋交换比例的内项或外项）（交换内政）7 =17=£（交换外项）bdba-=-（同时交换内项和外项（3）反比性质（交换比的攻、后项），（4）合比性项ica±bc±d=（三）等比性质:3.黄金分割把城段AB分成两条线段AC.BC（AOBO,并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分5-1札点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=；-AB=O.618AB2考点2平行线分线段成比例定理三条平行线豉两条由然，所得的对应城段成比例。推论：（1）平行于三角形一边的K1.线搬其他两边（或两边的延长线），所褥的对应城段成比例。逆定理：如果一条宜城放三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条白戕平行于三角形的第三边.（2）平行于：角形一边用和其他两边相交的直线搬窗的三角形的-:边与原三角形的:.边对应成比例.5.相似多边形（1）如果两个边数相同的多边形的时应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫检相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数（2）相似多边形的性质相似多边形的时应用相等，对应边成比例相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比相似多边形中的对应:.角形相似，相似比等于相似多边形的相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方6.位似图形如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比.性质：任丸对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比,由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换UJ以把一个图形放大或缩小.典例引领K«9i：比例的性质与比例越敏】【典例1】（2023g山区校爆一模）已知W=7则”=b5b-a【答案】见试即衅答内衣【分析】利用设法，进行计算即可解答.【解答】解：.f=3O5设。=3k.b=5kb+5k+3k8k一一_-I“b-a-5k-3k_2k-故答案为：4.f即时检测1. (2O23J海区校级模拟)已知=3(abO),则下列各式正确的是)a2aba3a3A.="B.-=-C.-=D.-三b323b22b【答案】C【分析】根据比例的性旗，即可求解.【解答】解：V2=3（hO）.7=故A选项错误,不符合遨选：b2C选项正确，符合题意；b-=r故机。选项错误，不符合XS意.故选：C.2. （2022南解区一模）四条线段Gb,cd成比例，其中b=3n,c=2cm.d=Sn,则的长为-cn.【答案】-cm.【分析】由四条线段小b、Cd成比例，根据比例线段的定义，即可褥W=,Xrt1.b=3cm,<=2cm.bad=&m,即可求得”的值.【解答】解，Y四条线段、瓦c、d成比例.6C.bdVfr-3rw-C=2cmJ-Xcw.故答案为：（m.3. （2022龙岗区一模）四条线段“、b、e,d成比例.Kf1.=1.cwj.b=icm.c=3cm.则线段d=9cm.【答案】9.【分析】如果其中两条戌段的乘枳等于另外两条戌段的乘积，则四条找段叫成比例戌段.根据定义<«/=cb.将/b-C的值代入即可求得d.【解答】解：；”.b.c.d是成比例线段.：.ad=cb,Ve=Icm.Z>=3em.¢=3cm,4/=9.则d=9cm.故答案为：9.4. （2024深圳模拟）已知M=2瓦则。：=2：5.【存案】见试跑解答内容【分析】依拖比例的性质进行变形即可.【解答】解：,50=%,atb=2w5.故答案为；2：5.4曲例引领Kf1.fi2.黄金分割】【典例2】（2023福H1.区校级二模）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等额域.例如,枫叶的叶脉箍含着黄金分割.如图，8为AC的黄金分割点（AB>80如图AC尺度为15CM则A8的长度约为9.27CM（黄金分割率为0.618）【答案】9.27.【分析】根据黄金分割的定义可知，K=O.618,由此求解即可.AC【解答】解，YB为AC的黄金分割点，AB>RC.AC=I次川AB=0.618.AC/.=0.61.8C=9.27(cm).故答案为：9.27.即时检测I.(2023禅城区二模神奇的自然界处处陷含着数学关！生物学家在向日葵间盘巾发现：向日焚籽粒成螺状排列,MR线的发敌角是137.5°.我们知道四盘一周为360，360°-137.5*=222.5",137.5°÷222.5*0.618,这体现了(>A.轴对称B.旋转C.平移D.黄金分割【答案】D【分析】根据黄金分别的定义列断即可.【一答】解,因为0.618是黄金分割数.所以体现了黄金分割.故选：D.2. (2023兴宁市二模)古希腊以来,人们以满足黄金分割比的事物为美.长发及腰，佳人做城一笑亦是,种关.现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x<04x44)年我身高近似满足函数y=2x+16()(中位：厘米).若某一年该少女头发末崩到脚底的长度与其身曲之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米,则下列说法正确的是()注：黄金分割比为WIM).618A.对于函数y=2x+1.60而h.F为自变盘,为因变量.160为常量B.该少女此时身面约为16()厘米(四舍五入取整)C,该少女年龄为17岁(四舍五入取整)D.若某一年该少女分高为170瓯米，则该少女年龄为18岁【答案】C【分析】根枇迪口要求和选项以此判断即可Iy出答案.【解答】解：A.对于函数.丫=2计160而言，工为自变*.y为因变愤,故该选取错误，不符合题意:从设该少女头发末端到脚底的长度为m用米,Y该少女的头发长改为64厘米,二其身离为<wH64>1®米，又；该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比晋i=0.618.0.618.解得，"=103$m+64其勺高为1035+64=167.5*168用米.，该少女此时身高约为168I里米（四舍五入取整，故该选项错误,不符合遨意：C.由B知，该少女此时身岛约为168阻米，；其Q腐近似满足随y-2r+1.6O.-4.ZV13+4=17,故该选项正确，符介曲意:D.若该少女身高为170厘米，K1.2t+160=170.解得x=5V0x4.故该选发播误.不符合题遗：故选：C.3. （2023深圳模拟）某品牌20寸的行李箝拉杆拉开后放国如图所示,经测域该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度C。之比是黄金比（约等于0.618）.已知CD=SOcw,则A8约是（）BDA.30。B.49。C.55wD.129cn【答案】R【分析】根据图形和题H中的数据,可以得到,=M）618.然后计算即可.CDHO【解答】解，由题意可得ABAB=念0,618,CD80解得人站七49.故选,8.°典例引领IJB型&平行线分线段成比例】【典例3】（2023禅城区校级三模）如图，AD“BE"CF,点B,E分别在AC，DFk,AB=2.DE=BC=【答案】D【分析】根据平行线分线段或比例列出比例式，代入计算即可.【解答】解：A“8£”.ABDE*I-1BCEF娜½:解故92-F=E1.（2024深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏里R部分是由等距（任意相邻两根木条之间的比阳相容）且平行的木条构成.已知AC=5（k".则8（?的长度为（）【答案】C（分析1由平行线分线段成比例可域出答案.【解答】解：过点C作CD±M交AM于点D,交BNT一点.E.'：BE/AD.BCCE3MKHHa.-0,.9ACCD5.4C=50cm,；8C=30c，”.2（2O23恪城区,模五战谱是种记谐法,通过在五根等距离的平行横战上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，.B,C为直线与五线诺横线相交的三个点，若AC=I2,则八8的长为（）【答案】A【分析】过点八作AZX1.q于。,交b于£，根据平行线分线段成比例定理列出比例式.计算即可.【解答】解：过点八作AO1.于D,交b于日tABAE2一=.ACAD3VAC=12.：.AR=故选：A.3.（2023东莞市校级模）如图.直线“分别交直线加、于点A、8、C.D,£F.若A从BC=S:3.DE=15.则EF的长为（）A.6B.9C.IOD.25【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式,代入计算得豹答案.【解答】解：DE=5.DEAH5nn155=一U1"=一EFBC3EF3解得.EF=9.故选：B.tAS4.相似图形的性质】【典例4】（2023茂南区二模任意下列两个图形不一定相似的是（）A.正方形B.等腰直角三角形C,矩形D.等边三角形【答案】C【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形：如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断符解.【解答】解：八、因为什恩两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意8、因为任意两个告腹仃角二角形的对陶边成比例.对应加相等,是相似图形,所以8不符合题意：C、囚为任这两个矩形的对双边不一定成比例,刻的角相等.不是相似图形，所以C符合西意：。、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，时应用相等，是相似图形，所以Z）不符合期慰；故选：C.:即时检副1.2023福111.区模拟）下列说法正确的是（A.对瓶规互相垂直的四边形是菱形B.对应边成比例的四边形是相似四边形C.二次函数），=也"I（/为常数）的图象与X轴有两