用函数极限的定义证明.docx

用函数极限的定义证明任意给定>0,要使If(X)-A|0,使当0<xr0<3时，有If(X)-A0,要使IInXT1.O,都能找到3>0,使当0<-e<6时,有使(x)T<e。即当X趋近于e时，函数f(x)有极限1说明一下：1)¾O<-e,是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。2)用£-5语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。1.im(sinx/X)=I(XfO)证明：以1为半径，X为角度，画扇形OAB,。为圆心，A、B为弧长端点。过A作垂线AD垂直OB,作B点切线，延长OA与过B的切线相交与EoX(0,/2),AD=sinx,BE=tanx,OAB面积=x/2。OAD面积=sinX/2OBE面积=tanx/20AD<0AB<0BEsinx2<x2<tanx/2一sinx<x<tanx-1/sinx>1/x>cosx/sinx,同乘以sinx-*1.>sinx/x>cosx,Xfo+,CoSXf1,由三明治定理f1.im(sinx/x)=1。当Xfo-,令t=-x,t0+,sin(-t)/(-t)=-sint/(-t)=sintt(-t-*0j1.imsin(-t)/(-t)=(t->O+)1.imsint/tIimcosx=1.(x-*0)(xf0)Iimtanx/x=(sinx/cosx)/x=(sinx/x)(1.cosx)=1.当X很小的时候，sinx、tanx与X很接近。(XfO)1.im(1.-cos2x)/x2-sin2xx2=(sinxx)2=1.(XfO)1.im(1.-cosx)/X=(1.-cosx)/x)(1.+cosx)/(1.+cosx)=(sin2xx)(1/(1.+cosx)=sinx(sinx/x)(1/(1.+cosx)-0*1.*(1.(1.+1.)=0o(x->oo)iimsinxx=0(x)Iimcosxx=OX-8,X的多项式有正余弦，不影响多项式的次累。