7.8用空间向量证明平行与垂直答案.docx

7.8用空间向量证明平行与垂直结构旃)空向证平与直用间量明行垂HMF4三-判定方法如果我乐I1.零向破”的门向规段历任ft*ftFT1.r.布么弥向靖”垂直于平*idft*1.41.ftffHE1.StMt1.*的法向t心*JM'k呐利小片耀向.力平闻的法向”.则求法向.的方膛册为：；：只需找出平行*tt.>CJ1.GG1Gh1.9i1M>千加的法向或就是平面的法线的方向向量课标要求精细考点素养达成1.能用空间向量语言描述直峻和平面,理解直城的方向向量与平面的法向，2运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系,能用向语言表述直线与直统.直线与平面.平面与平面的垂直与平行关系3.能用向量方法证明必修内容中有关直统、平面位at关系的判定定理1.体会向方法和烷合几何方法的共性和差异.惠情向是研究几何问题的有效工具,体会向方法的优势方向向与法向量通过用空间向量表示直战的方向向量与平面的法向,培界学生的数学油象、直观线象、数学运算素养用空间向量证明平行通过用空间向判断直战与直统、直统与平面、平面与平面的平行关系，培养学生的或观想31.数学运算素养用空间向量证明垂直通过用空间向量判断直统与直线.直城与平面、平面与平面的里旗关系.培养学生的直观想象、数学运算素养线面严行”定其他方法共Iii定*：阳平面内的两个不共M1.量表示农谶方向向tI级面中f淞联定耳：直城的方臼向tttfu平面内的一条”?峭方向同tf11j夯实1.(柢念掰析)下列结论正转的是().A.面送的方向向量是唯一婀定的B,若直战.的方向向量和平面“的法向平行,则n1.C,若Hhc是空间的一个基底,则ah<中至多有一个零向量D.Sab<O,<a,b是钝角答案B解析对于A,iS姣的方向向不是唯一的.有无数多个.故相误；对于C.若a,b,c中有一个是6则a,b.c共面,不能构成空间向量的一个基底,故C错误;对于U,若<a,b>=X,则aMO,故U错误2.(对接教材)已知A(1.,1.,1.),B(0,2,0),C(2,3,1.),则直姣M的一个方向向为；(2)平面ABC的一个法向为.答案(1)(2,1,1)(2J3)(答案不唯一)解析(1)因为B(020),C(231),所以无X2.1)是直姣BC的一个方向向.设平面ABC的一个法向为n(xj.z),则:由(I)得前=(2),又沅=(1.2.0),所以j一°取y=1.,f1.Jx=2,z=3,所以n=(2J3).3,(对接教材)在空间直角坐标系中,设平E1.经过点P(Zg.平IHa的法向为n(R.B.C),则平SIa的方程为.答案A(x)(yy,)K(z)=0解析设N(x,y,z)是平面a内的任意一点,则PKi=(xx,y*,zzJ.因为Ii是平面'>的法向量.所以n±PM1Mf1.SnPM=O.BP(A.B.C)(xx,yy<1.zz.)=O.H1A(xx,.)-*B(yy,)-C(zz.,)=O,所以平面。的方程为(xx1JXyy,)C(zz,)0.4 .(易楣自H)(多选)在正四棱椎PABCD中MS分别是梗P,PHJ,C上的点.且丽=X而,丽=y而.K=Z元.其中x.y,ae(0.1,JIJ().A.当x=y=z时,平面ABCD平面MXSB.当x=1.,y=,z=1.时,PD平面啾SC.当x=,yg,z中立点DW平面MNSD.当X=Iy=I时$在z(OJ使得平面PAC：平面MNS答案BD解析对于A,当x=y=z=1.时.平面ABCD与平面MNS重合,A错误.对于B.当x=1.,y=,z=1.时对与A重合、与C重合,N为PH的中点,如图1,连接AC,BD,交于点0,连接0工因为四边形AHCD为正方形.所以0为B1.)的中点,又为PH的中点,所以OPD,又ONU平囿ANC1P1.K平面ANC,所以PD平面ANC1BPPD”平面MNS.B正确对于C.如图巳连接MD工蜴设DC平面於S,又VG平面MXS,C平面於S,所以DvU平面1IXS,DU平面MXS,所以平面DMN即为平面必S,显然不成立,C错误.对于U.如图3.®Pf)的中点Q,连接AC,BD.交于点0,连接QM因为四边形ABQ)为正方舷所以AC_1.B).因为0为正方形ABCD的中心.所以M，平H1.ABa),又BDC平面ABa),所以PO1.BhIPorIACaPo.ACU平面PRe.所以BDJ.平面PAC.因为Q.N分别为PD1FB的中点.所以QXBD,所以QX，平面PA&又QU平面VXQ.所以平面MXQ，平面PAC.设PCr1.平面MQ=S,连接XS,QSNS刖平面MXS即平面MQ,所以平面MNSJ平面PACJ)正确.5 .(真题演缥)(浙江卷)如图.已知正方体ABCDA,BCD,MX分别是ARD,B的中点,则().A.直姣A1D与直姣I1.1B垂直,直姣MN"平面ABCDB. 1.D<KttD1B平行,立线MN±ffiBDD1BC. C线AD与直姣D1B相交.直姣MN“平面ABCDD. iS姣A,D与直姣D,B异面.直姣平面BDD1B解析建立如三三所示空间(S向坐标系,不妨设正方体的棱长为2.则(2,0.2).X0,0.0),1.M2.2.0).D1.(0.0.2).f)硒气2。2),印=(222).所以砸印=0,所以排除B.又X(1.0.1)N1.,1.,1.),所以MN=(0,1,0).又平面储览1)的一个法向量为n=(0.0,1.),所以两5n=0.又VX不在平面ABCD内.所以直姣VN平面ABCo,因为平面M)DB的一个法向量为n=1.,1.,0),所以而河与m不共线,所以Wi与平面BDD1B1不垂直,所以排除H.D.又百姣,D与直姣D1B异面,所以排除C.考点能g模型画利用空间向证明平行问题典例1如图,已知在正方体ABCDA此CR中M,P分别是D,BD,BC的中点,利用向法证明：(I)MN"平面CCIDM平面MP平面CCRD.1.解析(1)(法一)如图,以D为坐标原点,靠,尻,而;的方向分别为>.轴、y轴、Z轴的正方向,建立空间改角坐标系Dxyz.设正方体的楼长为2.JMA(2,0.0),C(0,0),D(0,0,0).M(1,0.1),N(1.1,0),P(1,2,1).由正方体的性所知,RDJ.平面CCDtD,所以第=(2.0,0)为平面CCDD的一个法向.H¾MN=(O1I1I)1SrWMN而=0X2+1XOY1.)XO=0,所以而U冰又MSC平面CC1D1.D1MftMN平IBCC1D1D.(法二郦西丽而=d7a*D1D)D1D4(DAiDC)4(dc÷d).又因为灰力用在平面CCRD内且不共姣.所以而与元.印共面，又MxQ平面CCMD,所以M平面CC1D1D.(法三)由法二知而«玩，丽)京,所以丽市，又DCU平面CCRDJEW平面CGDR所以/平面IT1D1D.(2)由(1)得而=<0,2,0),配=(0,2,0),所以丽玩.所以W,I)C.因为平面CC,I)D,DCC平面CC1D1D1所以MP平面CCD1.1.又由(1)知川N平BICCjM),且MNnMPNNKPMU平面MM'.所以平面YNP平面CCnD.利用空间向JI证明平行的方法(1)统线平行:证明两条直线的方向向共线.(2)姣面平行:证明该直城的方向向与平面的基一法向量垂直;证明直统的方向向与平面内某直姣的方向向平行；可在平面内取基向4&1证明存在实数,使直城1的方向向a=e1÷©,然后说明1不在平面U内即可.注童:证明段Ja平行,最后必须加上我不在面内的条件.(3)面面平行:证明两个平面的法向量为共统向量；转化为线面平行'线统平行问题调练1如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面AUCD平面ABEF,AB1UE.AF/7BE,AB=HE=2.AI;=1.求证:AC平面DEH解析因为BE，AB,平面AHCD，平面ABEF,又平面BCDC平面AUEF=AB1BE在平面ABEF内.所以HEI平面ABCI).又FBE1所以AF1.平面ABCD.因为四边形ABCI)为正方形,所以AB_1.AD.如图,以点A为原点,以向通.讼,通的方向分别为X柏、：,柏、Z轴的正方向.建立空间直角坐标系,«A(0.0.0).C(2.2.0),D(2.0.0).E(0.2.2),F(0.0.1).所以DE=(2,2t2),DF=0,1).设平面DEF的法向量为n=(x,y.z).M盥;加图”/二°fg所以平面I)EI:的一个法向量为n=(1.11.,2),又配=(22.Q),所以前n=2+2=Q所以寂又ACT平面I)EH所以AC平面DEE.利用空间向证明垂直向Ia典例2如图.在三桢椎PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC.杀足。落在城段AI)上.已知BC=8,PO=1,AO=3,OD=2.(I)SiiEiAP1.BC.(2)若M是姣段AP上一点,且AY=3.求证:平面AXIC，平面BMC.解析如图所示,以0为坐标原点.射战OD为y蛾的正半胡,射蝶OP为z轴的正半招建立空簿直角坐标系Oxyz.则(0,3.0),U(I.2.0),C(4,2,0),I)(0.0.4).(1)因为灰(034).前(8.0,0).所以而BC=(0,3,4)(8,0,0)=0,所以丽，前,即AP1.BC.由知AP=5.又N=3,且点M在统段AP上,所以£而=|常=（OA,蜀.又褊=(4.5.0).WBM-BA÷AM=(-4,-y,),则而BM(0.3.4)(-4,-y.y)0.所以弄_1.而,即PIBM.又根据（1）的结论如AP1.BC,又INnHC=B.BMJJCU平面RMC.所以API平面HMC,于是AM1平面BMC.又AVU平面MIC,所以平面AWCj,平面BCM.利用空间向量证明垂直的方法。）钱故垂直：证明两条直段所在的方向向量互相垂直.即证它门的效租为零（2）姣面垂直:证明直姣的方向向与平面的法向共线,或将线面垂直的判定定理用向表示.（3）面面垂直:证明两个平面的法向垂直,或将面面垂辿的判定定理用向量表示.调您2如图,正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱RBCABC的所有楼长都为2,1）为CC的中点.求还:AB1.平面解析（法一）设平曲A1BD内的任意一条直城m的方向向为".由共面向定理知,存在实效,u使m=BA7÷BD.令丽;=凡而=b,正=C,显然它们不共面,并且a1.=IbI=IcI=2,ab=ac=0,bc=2,以它们为空间的一个基底.则BA；a*c.BDa,b.AB1-ac,所以B=BA7*BD=(+b÷c,所以n(ac)j(+)a+b+c故砥1.m,所以AB平面A1BD.(法二)如图所示.取KC的中点0,连接A0.因为CABC为正三角形.所以AoJ1.BC因为在正三棱柱ABeA尚C,中.平面