6多元微分学的基本概念、计算与应用.docx
多元微分学的基本概念、计算与应用一、考试内容<-)多元函数做分学计算法则2,记忆多元复合函数的求导法：方向导数存在Z=/(M(.r),I1(X)J则全导数/=F2+线S11RZ'（八）=itx)fa+vx)f1.axOu(1.xOVdxz=Im(x),v(,>')则，=“'(x)£+VJz,=VJvz=/M-v,y),v(.v,y)J,Vz,=uJ1.1.+vJy.z,=u,f+vyf1.z“=%(EJ+v")+6Z,+%£=x(w+v>+v>+vX)+wm+vxtf1.J7e,=+2“JJ+vf,+VJ:Zv=+2wvv+vj+11w+Vfvj-M1MvZw+(勺。+匕4)n+''J'v+UJW+1.½A=j3、的函数的求旧法(两端求踪法与公式法：公式法I：F(,v,y)=0,若G(),则存在.y=y(x),且y'(.t)=-FjFy公式法2：F(.*)，,Z)=O,若6#0.则存在Z=Z(X,y)nZ1.FJF：,Zy=-FJR若尸(x.y,z)=0确定X=x(y.z),y=y(x,z),z=z(x,y),则Xyy.zx=-1.4.记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若笠元函数高阶混合偏导致连续，则其结果与求球次序无关5、记忆多元函数的求微法：若Z=Z(x.y),足Iim=0,Kdz=Z处+z"，且有z=也H(Av)i+(y)1若“=MX>z)昭t,Mdu=udx+uydy+u.dz若Z=.11m(.v.v),v(x.v)可微，则A=zudu+z,dv=z,d+ydyFdx+Fdv+EdZ=O'.J,Cni1.WyXA-),z(x)G1.dx+Gdy+G.dz=QI6、记忆方向仔数与梯度的计算公式：z=(r,y)frP*,)，)处的梯度为grad/。,，)=£i+/J=(，,)二=f(x,)，)在P(x,丫)处沿方向1的方向导数为%=gradf(x,y)4.O1.ei=(oosa,cos=(cossin),a,0为i的方向角,。为X轴到/的转角?是graQ.(工),)在/上的投影，在P(x,y)处沿悌度方向的乡达到以大俏Ign1.d/(x.y)CrC1.u=f(Xy.Z)在P(X.FZ)处沿方向/的方向杼数为B=gradfx.y.z)e1.=(，/J)(COSa.cos。.cosy),其沿悌度方向的*达到最大值Igrad/(x,z)(二)多元函数的极值与值问题I、横值的必要条件和极值的充分条件必要条件设函数z=/(-.y)在点(%.%)具有俅导数,且在点(凡.%)处有极值，则有/,<.y1>)=o.)=o.充分条件设函数Z=f(x,y)在点(.,九)的某个邻城内连续旦彳阶及二阶连续偏导数又Z1.(X。，汽)=()，J：(X°，)=°，令/=,U(1y.)=8./,(%,%)=C则2=/(My)在点“。.踊)处是否取褥极值的条件如下：(1) AC-B'>。时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值：(2) AC-3?40时没有极值：(3)八C-8'=()时可能有极值也可能没有极值还需另外讨论.2、多元函数的极大值、极小值.求r=/(Hy)的极值的-般步骤为：第一步解方程组7；(工、')=0.八(工')=0.求出人工，¥)的所有驻点：第二步求出函数/(MF)的.阶修导效，依次确定各驻点处4、B、C的值，井根据AC-B2的符号判定驻点是否为极值点.域后求出函数/(x,>)在极值点处的极1.3、极值解条件极值途径是将条件极值问遨转化为无条件极例HSS.有三个方格T，降元法;二是开元法-拉格朗H乘数法：三是几何法在所给条件(x,%z)=0F求目标话敷“=.>.z)的极值.引进拉格朗日的数/.(*,.%,)=f(x,y,z)+(.r,y,z)它将布约束条件的极值向时化为普通的无条件的极值何区.(2)若所给的限制条件有两个(.v,y,Z)=0和(x,MZ)=O求目标函数“=f(x,y,z)的极伯.引进拉格朗日的数1.(x.y.)=f(x.y.z)+(x.y,z)+仆V(X.y.z)=0注；用几何法时需记忆一些公式，如点到平面的距离公式4、点到I1.线的距曲公式也(I)M0(.%,20)到平面41+8丫+。+。=()的距小公式4=|A%+8.%+%+qA2+2+C2(2)点M1.1.(x0,%,)到ftf三、=匕2=三五的距离公式d,=M&xS."np*PR1.(.v1.y1.z1.),S=(n.t.p)着叫器XXxM取肛-Mg1.的一点,S=(.1.,C1)×(A.B,.C,)4、多元函数的最大值与量小值(闭区域上的连蝮函数一定取得量大值和量小值)求南效f(x.y的用大值和呆小值的一般步骤为：第一步求函数/(xy)在。内所有驻点处的函数假：第二步求/(x,y)在。的边界上的最大值和以小位：第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大伯，最小者即为最小伯.注：在证明不等式4JJf(x.y)d3的何题时,需将在。上的最伯问避与积分估值定理联合考虑.二、典型例题(x:+V)Sin1、设/C2)=O.,x2÷0尸+»问/(HF)在点(0,0)处:X2+y2=0(1)假导数是否存在？(2)偏导数是否连续？(3)是否可做？解：(1)f(0,0)=Iim=IirnXSin4=0,同理工(0,0)=0：OXXrO2xsin;?：7c°s-»7，工2+V20工(x,y)=JX-+r.V+r.V+0.x2+yi=04(内)=2n7-cos72+>'20X'+=0由于IiTf,(x,y)=%/*疝1(T-Icos3.可知该极限不存在J-<一同理可证IimCay)不存在.故/；(Hy)及s,(x,y)在(0.0)处不连续:，-4IimAZTt(O3+。)川=Iim7x2+y2sin-3-1.-j=0,则其于(0,0)处可微.二7？+7'7+3'例2、设“=e-'sin士则m(Z-)=m(2.-)=4|«,y1111(ix例3、设2=冲,£)+仪上),/具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导致,求2“.yX解：Z*=M+；6g','1z“=工，+)何；_今后+=访VA2+Wi-*g"-gJ'例4、设y-Z1.ny+/：=1,根据隐函数存在定理，在P(OJ1.)的一个邻域内该方程能确定的具有连续倜导数的隐函数为x=x(y,z),.v=>(Y.z).解：令F(My.z)=.xy-z1ny+e"-1.WF1(P)0.R(P)K0.E(P)=O.例6、求由xyz+yjx'+y2+z'-f2所确定的函数Z=z(.v.y)在点(1.0.-1)处的止.解：对方程两边求全微分可得W+心力+mfc十?m华"三=()x2+y2+z2将X=1.F=0,=-1代入上式de-(1.x-y2dy.例6、设函数F(MV)可做.Faz,z)巧=0确定了Z=Z(X,y),其中。、胡为常数,且满足a/7#0,0!Jxz,+ayz,=az.提示：运用两求导法与公式法赫!中，要注意鞋式法则，本题也可用全微分法.例7、已知f(u)具有二阶导数，且,(0)=1,y=y(x)由y-xey'i=I所确定,设z=f(1.nyinx),求z'(x)rR.z"(x)*o0.解：在y-xe"=1中，令X=O得O)=I,将其两边对X求导得了'一j'-.田，'=0,再对X求导得y-ey-'y,-ey'-xe,-'y'i-xe,-'y,=O将X=O,v=1代入上面两式得/(0)=I,y*(0)=2.z'(x)=(y,y-cwx)/'(Iny-sinx).z（八）=(y7y-cosx)2/"(Iny-sin.v)+(y-2)y2+sin.v(1.ny-sinx)将No)=I.y'(0)=1.,p(0)=2./'(O)=I代入上面两式得2(v)"=O,z"(X)IyI=1.例8、设y=(,r),而,是由方程Fa,yJ)=O所确定的其)，的函数,若尸J都具有一阶连续儡导数，试求)/*)-W：方程的两边求微分汨例9、若(a+ay)dx+ydy(+y)2力=/小+f1.dt尸"r+"+五=0'解/田)一+"；=du(x,y),JUr?=2.m(x,y)=n(A+y)+x(x+y)+C.提示：令，=(.V+ay)(x+y)2.Q=y(x+,v)',由6=Q,舄得=2,ti1.uv=y(x+y)?.知“=Jy<1.yx+>,)'=11(v+>)+(+>)+C(X).于是“,=(x+2y)/(.r+»+C1.r)=(X+2y)(x+y)2.C(X)=0,得C(X)=U注t”可由*徽分法求解,du(x.y)=<(.v+y)2+2,ydr-2.vy(2(.v+y):)=1.n(x+.y)+(x+y)dx-x<1.(x+y)/(.r+y)*=41.n(x+y)+x(x+y)+C.例10、设/()在(0,+)内二阶可导，Z=(7+,v2)满足ZM+zv,=1/H+/).r,/()=0.1f(1)=1.求/()的函数解析式.提示：Ztr=，(“)”+),2/C,同理z“=/(«)/,r+(w)代入遨设方程如x"3)+,(m)=m.叫“W=(1.n",(M)=1.1.n2M+1.nM.例11、“=Sinx+«)8)，-2在点(0,；7/2,-1)处沿下列哪个方向的方向导数最大(C)4(0.-1.-I)J(O.-1J)C(1,-1.-1)D(1,-1,1)解：gradu(0,2.-1)=(m,/,/.)1.,=(I.-1,-1),故选(C例12、求“=1.n(+y2+z2)在A(1.0,1)处沿A指向B(3,-2,2)方向的方向导致.提示：7=gradu(1.0.1)e,=,C1.2例13、设*+y2+z，=3确定了陂函数Z=(x.y),求其在点(IJ)处方向H数的烛人值M.ft?：SUy)=(IJ)IM.z=1.,设尸(x,yz)=x+i+z3-3,则E=1.R=2x.£=3z',有Zr(IJ)=-1/3,zv(1.,1.)=-2/3,故M=；(1.,1.)+z；(1.,1.)=周3.例14、心函散/(Xjz)="x>2+"yz+cV在点(1.,2,-1)处沿Z轴正方向的方向导数取得最大值32.则(a,b.G=(3.12.-4).提示：grad/(1.2.-1)=(4a+3c.4a-b.2b-2c)(0.0.1.).grad/(1,Z-1)=32.例16、已知函数f(.r,v)在点(0,0)的某个领域内连续，目hm=WI（八）a+>)A点90)不是/(.V.y)的极值点.H点(0.0)f(x,y)的极大低点.C点(0,0)是/(.V,y)的极小伯点D无法判断点(0,0)是否为/(x,y)的极伯点.解:由f(x,y)在点(0,0)的连续性及Iim=，知/(0.0)=0.
