6.4.1 平面几何中的向量方法（分层练习6大题型）（解析版）公开课教案教学设计课件资料.docx
6.4.1平面几何中的向量方法分层练习基础练题型一利用向证明线段垂直1 .用向量的方法证明在等腰三角形八8C中.B=AC,点M为边8C的中点.求证：W1BC.【答案】证明过程见解析UUirI,muu三.【解析】I股/内AM=TA8+AC),C-C-f1.故AAfBC：(八O+ACM八C-MC'八因为八S=AC,所以)=0,故AM1HC2 .如图所示.以.A,C两边4B.八C为边向外作正方形八CGr和八C0£.M为8C的中点.求证：AM1.EF.【答案】证明见解析1(S÷?).UUir“:】因为M是6C的-.11.>,.AM又因为4=A7一入所以AMEf=；(A8+AC)(,4F-A£)=:(A8AF+ACAF-A84£-ACA£0+4CFABAE-0)-(ACFABAE=1.cj.-Acos(9()'+N8AC)-卜MAqcOS(91.)+ZR4C)j=0.所以AMJ.EFWAW±EF.3 .1.I知在ABC中，点M是BC边上兆近点8的四等分点,点”在八8边上旦V=MJ,设AM与CN和I交于点P.i(JA1.i=WAC=n.<2)若忖=2同，设m,”的夹角为“，着CO$。；，求证；CN1.AB.【答案】(1)A=m+1.n,(2)证明见解析(11'i'1)BC-AC-ABn-m山起自得=；8匕=；(”-"”.所以4M=AB+BM=m+-(-w)=-w+-/4',44(2)EbBft.-CA+AN-AC+-AB-m-n.22GVMfi=nm."n=2w,CoSO-.mn=|»?；ncstf-,CN±AB4.如图,正方形八8C/)的边长为6.£是八8的中点，尸是BC边上推近点8的三等分点，版与/)«交于点W.(1)求NEW尸的余弦位.(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点户，使得£。.”？若存在.求出MF的长度.若不存在,请说明理由.【答窠】(1)卷：ffy.MP=【解析】（1>所示，建立以点A为原点的平Sftt翻1则O(0.6).E(3,0).A(0).F(6,2).,DE=(3.-6),AF=(6.2).Ii1.J/EMF港*力£八厂的央角.I2)设Af(x,y),.'.DM=(.r,.v-6),DM/DE,3(y-6)+6x=O.,.2x+y-6=O.AXf=(x.y).AF=(6.2).AM/AF.2x-6.y=0.=3y.7y=6.y=-1.1.1.½i*11F=(3,2).0'点P住ABK时，设PHOMoN6)".MP=x-g1.g%:“在BCI-IM.设P(6.v).(0<)，/»=%，'-y+2y-y-=0,.>=-.会去.铉I.存在川片.0；枷4=：而一题型二利用向，证明线段平行1 .如图，在四边形A8CC中，点E,F.G,分别为BC,AB,AC和CC的中点.求证；四边形EFG”为平行四边形.H【答案】r明见解析【解析】因为点EF,G,，分别为6DAB.AC和8的中点所以FE=；AIXGH=；D.所以FE=GH.又凶为FE叮GH不共设.所以FE*GH.I1.FE=GH.所以四边形EFGH为平行四边形.2 .如图，在平行四边形A8C/）的对角找8。所在的I1.线上取两点凡F,使BE=OE用向量方法证明：四边形AEe尸是平行四边形.【答案】见解析【肝折】如图AEAUtBEJCH）tX,因为四边杉AfiC。为T打川比丘.所以葩=。上丈BE=DF.E.F隹r½BD上.所以BE=FD.从而AB+BE=IX+FD.所以融=笆川AE1.且相等.所以四边形AECF拈平行四边形.3.已知,n>0.M>0.如图.在ABC中.点M.、满足AM=mAH-AN=nAC,。是线段BCJ1.一点.BD=；BC.点£为A/）的中点,且.MM&,三点共线.<1）若点。满足2AOO8+OC证明：OEHBC.<2）求"，+2的最小值.【：'2-(W,(!)由题可AD=B+BD=AB+BC=AB(aC-AB)=B+C.为点E为AC的中点.),AE=abaC.36由2AO=08+OC则2AO=04+A8+OA+AC即4O=：(A8+aC).0£=八E-Ao=|；A8+AC1.V(A8+AC)=/8-*AC,/CB=Afi-AC所以()£,“*乂EC*点不共线.所以OE/mc.(2)因为fME三点共线.1.>i以1.'fttME=MN<AM=nA1.iAN=nAC以AE=(I-%)AM+AV=(1.-)>nAB+ZnAC乂AE=1.8+1AC.36所以(I-2)，”=!./”=!,36214“II1.仅节m=2.g时，势',；氏:，.所Vbn+2"的最小值是I.4.如图，设AQ分别是梯形A8C。的时角线Aew）的中点.<1）试用向网的方法证明：PQHAB；<2）若网T画,求P0：Ae的值.【答案】3）证明见解析：（2）PQ:A8=；【解析】.EQ分别为ACM/）中点，.CQg（C3+CQ）,CP-CA,.PQ=CQ-CP=；（CB+CC-叫=；（八B+CD）：QABHCDd'设CD=AB（<0）.,.PQ=±±aB.又网*斗，.,2吁1,.尸QA8.（2）A=3C7J.-.ab=-3CD.山（I）如：CD=B（<0）,PQ一号八8.=-i,HPQ=AB.：.PQ:AR=.题型三利用向量求线段长度1 .已知"SC,A=1,C2,ZZMC-MF.DKBCH1.kf1.HI）=C,则AD长度为（【答案】D（WWi.ABC,KHChI1.fiO-'BC,»»I）Ij1.IjAD=AB+BD=AB+-（AC-A）=-AC+.4«又网=1,IAq2,/MC=S则同=恭*A。；=出¢+婀+2"J1.4+，1+x|x2-G即A/）仁便为6故选：DV<）992332 .如图，在“BC中，点£为边八8上一点，点尸为规段AC延长线上一点，且黑=£连接EF交BC于点"求证：ED=DF.【答案】证明见解析r解析】证脸如图，以点身为原点.8。即a的直线为X轴建立直允.不妨设网1ftpCF设F=-z=3C(I,O),A(a,b),D(d,O),则£(痴.助)，C(-a.-b).BAC所以CFAC=(1.-a),-M),所以F(A(1.-)+1.-b).所以M=初1.Df=(I-«)+1-</,-Xft).因为£O.共线,所以防/而.所以一秋d-4a)H-动Rd-+1-d.化简得2J4+1.ED-DF=W-,-*)-(-+I-d.-b)=(2d-1,O)=(0.0)=6.淅以ED=DF所以ED=X3 .如图.在，Af1.C中,AB=4,AC=f>.RD=IX'.BE=KA,AF=FC.DEDF=-4.<2)求A/)的长.【答案】(I)222:<2>乎i'fII>DE=D1.i+HE=C-AH=(AH-C)-¼=-C：=故A8aC=-18AC-AB)：=<AC2-2AB-AC+AB：=1.6+36+36=2后(2) AD=AB+BD=B+C=八B+；(AC-A8)=,4B+4C.4.如图，在“tC中，=10,AC=3,csZAC8=W,点。,E分别在边BC,A3上，且双>=2DC,b表示Ct：:答案*Q+/:AM=竽(IrHrH>住:.A8C'中，由余弦定理行：AB'=AC,+BC2-2ACBCcosZACB.1.!1(X>=9+C2-6×f×(')WBC-C-91.=0.解第BC=9(负值舍去).2×IO×315则在Rs"中.AE=嬴条r*»(BE=AR-AE=y,-=.CE=-CA+-CB.yCE=-«+,14141414(2) H1.(1)HBD-6.DC3.在AABC,3由余弦定理有rADs=ACi4-DCi-2ACDCcosZACB=y.所让1.w2x3/9,._C393则在RtiACM.'cosZDAC4一题型四利用向量求几何夹角1 .如图，在二A/?C中，已知A8=2AC=3,ZfiAC=60.BCM.V=4C.设AW与8N相交于点P,则cos/MPN=.【答案】叵38【裤折】因为M是PC的中Z'.所以AM=÷1.4C.1.I=出AB+gACj=Mi+C2+IMCI-COS60=1.+×2×3×=耳.)2因为八N二AC,BN=AN-AB=-AC-AB,3318NNdgAC-A8I=AC1.2-才ACIIABxg=9+4-3×2×=2.所以A1.Vf-BN=AB+AC-A8=-A2+-ACj-1.AC×1.=-!-×4+-×9-×2×3×-5-=1.236223622所以COSN"W=coS</UUBN>=AMBNAM1.BN382 .在梯形A8C。中，ABHCD,且A8=20,M,N分别为线段ZX和八8的中点，若AB=a,AD=b.用”，表示MY=.若MNJ.8C，则余茏值的最小俏为i1.1.：1.1AfN=AN-AM=AR-D+DM)=DC=-AB-AD-×-AR=-B-AI)=-a-h.22244',"74设NZMB=0即”!)b的夹角为BCB+AD+DC=-H+A1.)+AH=-AH+D=-+Z>.,J.BC5!1.JAfjV-BC三0I卜一j-+6I=-rt2+dZ>-1=-f+<J6OOS0->*=O.ZV>0,>0.IU4<4'.当且仅当J4_±1.6忖6同如同=2何时，型;成；，.3.如图，在-AfiC中，已知AC=I,AB=3.NH4C=F.且8+PB+PC=O.求o»ZApC.(解析：I段懑同八81=3JACb1,八8.AC洎夹角为Z4C=6(P,PA+PH+PC=6.1.'；1.PB+PC=-PA-乂AH=PH-PA,八C=PC-PA-所以A8+AC=PH-%+PC-PA=-3PA-PA=-(AR+AC).于是SJ-1(而+砌(福'+2福而+而b!(9+2'99”川.巫.r0-7IPCF=I1(2AC-AB)=-(AB2-4ABAC+4AC2)-(9-4×3
