二项式定理及典型试题.docx
二项式定理与典型试题学问点一：二项式定理二项式定理：(+b)*-Cj0+CC-3+Cw1.>r+C；炉(<)公式右边的多项式叫做(+b)的二项绽开式：绽开式中各项的系数0；(101"-/)叫做二项式系数；式中的第r+1项叫做二项绽开式的通项，用。“表示；二项绽开式的通项公式为1】=Cs"引.学问点二：二项绽开式的特性项数：有n+1项：次数：每项的次数都是n次，即二项绽开式为齐次式：各项组成：从左到右，字母a降相排列，从n到0：字母b升箱排列,从。到n；系数：依次为TJrQ.学问点三，二项式系数的性质对称性：二项绽开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等单调性：二项式系数在前半部分渐渐增大，在后半部分渐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项绽开式中间项的二项式系数0?最大；当n为奇数时，二项绽开式中间两项的二项式系数汀，汀相等，且最大.二项式系数之和为T,即C+C：+C；+禺三2*其中，二项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,即C+U+C+s三c2+ct+c;+=2”经典例JR1、“（a+b）"绽开式例1.求（3«+9），的绽开式：解：原式=（号!）_史芈.=Jc>3+仁（3»+C（3»+C（3x）+C1.<Xxx【练习1求（34-9厂的绽开式2.求绽开式中的项例2.己知在（本-会的绽开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含/的项的系数；（3）求绽开式中全部的有理项.内-rIZIR-2/解：（1）通项为，.广二工丁5/户=一4'。：-因为第6项为常数项，所以r=5时，有彳=0,即n=10（2）令坦言=2,得=2所以所求的系数为C-=竺.324（3）依据通项公式，由题意等4z0r10.rZ令吐2=A（AgZ）,则=5-竺，故女可以取2,0.-2,即r可以取2,5,328.所以第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为G1.T）"2C（-）1.G（-3"Y-【练习2】若（0+4），绽开式中前三项系数成等差数列.求：（1）绽开式中含X的一次幕的项；（2）绽开式中全部X的有理项.3.二项绽开式中的系数例3.已知（6+1产的绽开式的二项式系数和比（3x7）"的绽开式的二项式系数和大992,求（2工-2产的绽开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）X系数的肯定值最大的顶（先看例9）.解：由题意知，2"-2*=992,所以2"=32,解得n=5(1)(D由二项式系数性质，(2.，严的绽开式中第6项的二项式系数最X大.7；=Ci1(2a)5(-1)5=-8064.X(2)设第r+1项的系数的肯定值最大，.产Je吁二怜1.即-咨0力.C1.;2"1.'zC1.29,252，2(r+1.)10-r33VreZ.r=3,故系数的肯定值最大的项是第4项，T,=V,27Y=75360/.练习3己知力告的绽开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.求绽开式中含金的项；(2)求绽开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.4、求两个二项式乘积的绽开式指定嘉的系数例4.(./+1)(X-2)?的绽开式中，r项的系数是；解：在绽开式中，.一的来源有：第一个因式中取出则其次个因式必出X,其系数为C(-2);第一个因式中取出1,则其次个因式中必出.一,其系数为(-2片.-.x,的系数应为：CW+CrJ(-2)"=1(X)8.1(X)8=5、求可化为二项式的三项绽开式中指定褰的系数例5(04安徽改编)(x+'-2)WJ绽开式中，常数项是；X解：(/_1_2)，=g。="工该式绽开后常数项只有一项XXXC,即_206、求中间项例6求的绽开式的中间项：Va解：CJGib.二绽开式的中间项为C.山，即：-252'c当为奇数时，+加”的绽开式的中间项是CV产户和方尸；当11为偶数时，g+，”的绽开式的中间项是。7、有理项例7（4-”的绽开式中有理项共有项：解：=CM产帚，=Oi）X咔< 当r=0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故绽开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；W1.一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不行约分数）时，那么这个代数式是无理式。8、求系数最大或最小项< 1）特别的系数最大或最小问题例8（00上海）在二项式（X-I）U的绽开式中，系数最小的项的系数是；解：z.=C>r-i）'二要使项的系数最小，则必为奇数，且使C：为最大，由此得r=5,从而可知最小项的系数为C（H=T62< 2>般的系数最大或最小问题例9求（7+J=）X绽开式中系数最大的项；2x解：记第项系数为。，设第A项系数最大，则有产2几，TkTi.,又一y.2“，那么有C2',C'2"即££_-2-1.'r,2-呻卜丁义'-I-w.0-y*r<-9-KK解得3MH4,，系数最大的项为第3项7；=71和第4项7；-7x。(3)系数肯定值最大的项例10在(X-"的绽开式中，系数肯定值最大项是解：求系数肯定最大问题都可以将n型转化为-(“+/,)”型来处理，故此答案为第4项CZy,和第5项一C；”。9、利用“赋值法”与二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例11.(2x+3)*=0+,x+.x1+,+atx*,则(t,+q+,>-(q+j的值为：解：V(2x+,3)*=a+a,x+a,x1+a,x'+atx,令X=I，有(2+3)4=«,+a1.+a3+a.+a,>令X=-I,有(-2+3>,-(«+.+«4)-(«,0.)故原式=(«,+«,+«；+«,+a4).(at+a.+a,)(a,+,)=(2+V3)4.(-2+V3)4三(-1)4=1【练习1(1-2x)w,=0+1x+jx,+.+2004x,",贝J(%+q)+(4+J+.+(«+aft1.1.)=;解：:(1.-2x)y,u=a,+a,x+a1x,+.+2(XMxmu,令X=I,有(1.-2)a*=at+a,+a.+.+aw=1令X=O,有(I-O)M=%=1故原式=(4+ai+a2+.+Q+2003i1=1+2(X)3=2004【练习2】设(2r-1.)'=q.f+,x'+.+,+1.,则h1.+1.0.1.+h1.+-+1."；解：Vf,1.=C(2.r)f,(-1),.1.1.+1«,I+.I+.+1«,I=«.-1+a3-a.+<,-af+at=(«4+,+04+o,)-(1+5+,)=110、利用二项式定理求近似值例15.求0.99即的近似值,使误差小于0.001;分析：因为0.99泸=(I-0.002，故可以用二项式定理绽开计算。解：0.998h=(1.-0.002)6=1+6.(-0.002)'+15.(-0.002)2+.+(-0.002)6且第3项以后的肯定值都小于0.001,二从第3项起，以后的项都可以忽视不计。小结：由(1.+*)"=1.+C>+C>2+.+C>",当X的肯定值与1相比很小且“很大时，V./“.等项的肯定值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽视不计,因此可以用近似计算公式：+)+11,在运用这个公式时，要留意按问题对精确度的要求，来确定对绽开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以运用更精确的公式：+群+吐2新课标人教版排列、组合与二项式定理(选修23)留意事项：1 .木试题分为第I卷和第I1.卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。2 .答第I卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡并收回。3 .第I卷每题选出答案后，都必需用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑，如需改动，必需先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。第I卷一、选择题：木大题共16小题，每小题5分，共80分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1. (08年上海卷12)组合数">r21,n、rZ)恒等于n()旅二;B.(加1.)61)ctC"CAD.q"n-1.2. 一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是()A.40B.74C.84D.2003 .以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有().18个B.15个C.12个D.9个4 .从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦,则这样的不同的和弦种数是().512B.968C.1013D.10245 .假如Cr+xj”的绽开式中全部奇数项的系数和等广512,则绽开式的中间项是().C"'B.-77C.CyD.3i76 .用0,3,4,5,6排成无重红字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是A.36B.32C.24D.207 .现有个碱基H,2个碱基C,3个碱基G,由这6个碱基组成的不同的碱基序列有()A.20个B.60个C.120个D.90个8 .某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加3个新节目，假如将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.1209 .在(1.+)'+(1.+4+(1.+x严的绽开式中,/的系数等于()10 .现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参与数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是()A.2男6女B.3男5女C.5男3女D.6男2女11 .若XWR,定义J=x(x+1.)(x+2)1),例如M：=(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)=-120,则函数/(X)=XM以的奇偶性为()A.是偶函数而不是奇函数B,是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数12 .已知集合力=1,2,3,#=(4,5,6),从4到8的映射Q),6中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为()A.8B.9C.24D.2713 .有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有()A.24种B.36种C.60#D.66种14 .等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10,这样不同形态的三角形的种数为().8B.9C.10D.1115 .甲、乙、丙三同学在课余时间负费个计算机房的周至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，假如甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有()A.36种B.42种C.50#D.72种16 .
