二面角大小的几种求法归类总结分析.docx

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中学问的综合性较强方法的敏捷性较大i股而言二面角的大小往往转化为其平面向的大小,从而乂化归为三角形的内角大小,在其求解过程中主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要学问。求二面角大小的关键是，依据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可干脆运用射影面枳公式求出二面角的大小.1.找寻有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法'射影面积法）一、定义法：利用二面角的平面向的定义,在二面角的枝上取一点（特别点.过该点在两个半平面内作垂直于极的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要刷意用二面角的平面用定义的三个“主要特征”来找出平面向。例空间三条射线CA、CP,CB,ZPCA=ZPCB=60o,ZACB=OOo,求二面用B-PC-A的大小.解：过PC上的点D分别作DE_1.AC于E,DF_1.BC于匕连EF.：.ZEDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a.VZPCA=ZPCB=600.CE=CF=2a,DE=DF=回，X,VZACB=900,AEF=巴.ZEDF=FX1.1 .在三枝椎PABC中,日APB=aBPC=aCPA=600,求二面角APBC的氽弦（ft.2 .如图,已知二面向a等于120”.PAj.。，A.PBJ.,B.求NAPB的大小.在四犊推P-ABCD中,ABCD是正方形.PAJ.平面ABa),PA=AB=a,求二面角BPCD的大小.二、三重线法：已知二面角其中一个面内一点到个面的垂践,用三垂规定理或逆定理作出二面角的平面角。例在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形.PA_1.平面ABCD.PA=RB-a,NABo30°.求二而痢P-BCA的大小。解：如图，PA_1.平面BD,过A作AH_1.Be于H,连结用I,WHI1.BC又AII1.BC,故/PI1.A是二面向P-BC-A的平面角.在RtZkABH中,AH=ABSinNABoaSin30°=：a在RtAPHA中，tanZPIIA=PA1.1.=.WZHIA=arctan2.5 .在四棱傩PABCD中ABCD是平行四边形PA_1.平面ABeD,PA=B=a,NABe=30°.求二面角P-BC-A的大小。J6 .如图，在三棱惟P-ABC中，PAJ.平面ABC,PA=AB.AC=BC=I.ZACB=900.M是PB的中点.求证：BCIPC,(2)平面MAC及平面ABC所成的二面角的正切7 .ABC,A=90°,AB=%AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P-AC-B的大小为45°.求（I）二面角P-BC-A的大小：2二面角C-PB-A的大小.8 .如图，已知AABC中，AB1.BC.S为平面ABC外的一点，SA1.平面ABC,AMJ.SB于N,AN1.SC于N,求证平面SABJ.平面SBC2求证/ANM是二面角A-SC-B的平面角.9 .笫8题的变式：如上图,已知AABC中,B±BC.S为平面BC外的一点.SA_1.平面ABC.ZACB=600.SR=AC=a,（D求证平面SAB_1.平面SBC求二面角A-SCBC的正弦应10 .如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,（PJ棱AA1.长为I,底面为正方体且故长为2,E是是BC的中点,求IfOC1.DE及面CDE所成二而角的正切值.I1.,如图九平面.U平面E二=1,AC-，BGH.点A在直线I上的射影为A1.点B在】的射影为B1.已知B=2.A1=1.BB1=2.求：二面角AI-AB-BI的大小.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面及两个半平面的交线所成的角即为平面向，由此可知,二面角的平面角所在的平面及棱垂真例在四棱卷P-ABeI）中，ABCD是正方形，PAI平面ABCD,PA=AB=a,求B-Pe-D的十几解：（垂面法）如图.PAJ平面BDBD1.tC=JBR±BC=1BD作平面BDH_1.PC于H=PC川、B1.1.=ZBIID为二面角BPCD的平面角.因PB=3a,BC=a,PC=ga.PBBC=SAPBC='PCBH则BH=DH.又BD=回在ABHD中由余弦定理,得：IXCosZBIID=,又0<BHD<n,W1.a3ZB1.1.D=UJ.二面向B-PCD的大小是.12 .空间的点P到二面知EI的面.、d及棱1的距离分别为4、3、13 .如图，在三极键S-ABC中，SA_1.底面ABC,AB1.BC,DE垂Et平分SC且分别交AC、SC于D、E,又SA=AB.SB=BC,求二面角E-BD-C的度数,I1.找寻无极二面角的平面角的方法（射影面枳法、平移或延长（展）线（面）法）四、射影面积法：利用面积射影公式S射=S原cos3,其中S为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角，求平面PB及平面PDC所成二在四校修P-ABCD中.ABCD为正方形.PA_1.平面ABCD,PA=B=a.面角的大小.解：（面积法）如图.同时，BC_1.平面BPA于B,故APBA是APCD在平面PBA上的第影i殳平面PBA及平面PDC所成二面角大小为O，则cos0=n=45w14.如图，设M为正方体RBCD-RIB1.CID1.的核CC1.的中点，求平面BMD1.及底面ABCD所成的二面角的大小.15.如图，三求A、B两点间的距离。,。及B所成的的为600,0于C,0于B,AC=3,BD=4,CD=2,五、平移或延氏（展线（面）法：对于一类没有给出棱的二面地，应先建长两个半平面,使之相交出现极然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法r例在四梭锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA_1.平面ABCD,PR=AB=a,求平面PBA及平面PDC所成二面知的大小。（补形化为定义法解：（补形化为定义法）如图.将四桢椎PABCD补形得正方体ABCDPQMN.则PQ1.PR、PD,于是NRPD是两面所成二面角的平面角,在RtZXPAD中，PA=AD,则APD=45'.即平面BAP及平面PDC所成二面角的大小为45°16.在四棱椎P-ABa）中，ABCD为正方形，PAI平面ABQhPA=AB=a,求¥iU1.eRN干圜门儿，ywe二面角的大小.六、向量法解立体几何中是种特别简捷的也是特别传统的解法，可以说全部的立体几何物都可以用向球法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的中标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计舞解题.例（2009天津卷理）如图，在五面体ABa）EF中，FA8平面RBCD,ADBCFE,ABHAD.M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=D.（I）求异面宜线BF及DE所成的角的大小:（I1.）证明平面AMDM平面CDE；（IID求二面角A-CD-E的余弦值。解：如图所示建立空间直向坐标系,以点J为坐标原点设0依题就得又由遨设，平面0的一个法向量为K1.1&(2008湖北)如图，在直三棱柱1.J中，平面0例面上J.(1)求证：一；(II)若白.线凹及平面臼所成的角为3二面加gJ的大小为小试推断，及二的大小关系并予以证明.分析：由已知条件可知：平面ABB1.A1.J平面BeC1.B1._1.平面ABC条是很简单想到以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关战段写成用坐标表示的向先求出：面角的两个半平面的法向量，再利用两向出夹角公式求解。(答案：且r)由此UJ见,二面角的类型和求法可用框图呈现如卜.：I可见棱型卜鞋转化1.定义法-*三垂魏法*垂面法®积法1怀见棱型分析：所求:面角及底面ABc所在的位置无关，故不妨利用定义求解，珞解：在二面角的梭PB上任取点Q,在华平面PBA和半平面I1BC上作QMJPB.QNdPB,则由定义可得aMQN即为二面角的平面角.设PM=a,则在R1.士PQM和RtJPQN中可求得QM=QN=0a：又由PQNJPQM得PN=a,故在正三角形Pm中YN=a,在三角形MQN中由余茏定理得c。SdMQN=E,即二面角的余弦值为"因为AB=AD=a,过B作BiuPC于此连结D1.=D1.uPC故NBnD为二面角BpCD的平面向.13x因PB=Sa,BC=a,PC=aa,PBBC=SPBC=PCBI1.则BH=DH又BD=回。在ABHD中由余弦定理，得：,又OVNBHDVnWfNBHD=.二面角B-PC-D1XCOSNBHD=Fx1.的大小是。I)1200A. SA1B1C1=SABCSinOB. SAIB1.C1.=SABCcos)基础练习1 .二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B一个平面绕这个平面内一条白.线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线动身的一个半平面及这个平面所组成的图形D从一条m线动身的两个半平面所组成的图形2 .平面及平面B、都相交，则这三个平面可能有（>A1条或2条交线B2条或3条交线C仅2条交战D1.条或2条或3条交战3 .在300的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的小禹是10,则它到校的距离是（）4 .在直二面角T-B中，RtAABC在平面内，斜边BC在棱I上，若RB及面B所成的角为600,则AC及平面6所成的角为（）A300B450C6005 .如图，射线BD、BA、BC两两相互垂直，AB=BC=I,BgIi|,则弧度数为;3的二面角是（）I).A-BD-CA.D-AC-BB.A-CO-BC.A-BC-D6.C.SBC=SA1B1C1sin。D.SABC=SAIB1.C1.cos07.如图，若P为二面角M-I-N的面N内一点，PBJ_1.B为垂足，R为1上一点，且NPAB=,PA及平面M所成角为B.二面角M-I-N的大小为丫，则有（ASina=SinBSinYBSinB=SinSinYCsin=sinQsinBD以上都不对8 .在600的二:面角的校上有两点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：Af1.=6.AC=3,BD=4,WJCD=.9 .已知aABC和平面,NA=300.ZB600.B=2.AB½,且平面ABC及a所成角为300.则点C到平面a的距离为.10 .正方体Abcd-Aibicidi中,平面AA1.CIC和平面A1.BcD1.所成的二面角（锐角）为ABC在平面的射影是AA1B1C1,假如4ABC所在平面和平面成Q角，有（）11 .已知菱形的一个内角是600,边长为a,沿菱形较短的对角的折成大小为600的二面角,则菱形中含600题的两个顶点间的距离为.12 .如图，ZVUJC在平面内的射影为ARBC1.,若NABCI=»,BC1.=a,I1.平面RBC及平面a所成的角为,求点C到平面a的距离13 .在二面角a-ABB的一个平面a内,有始终线Aa它及枝AB成450角,AC及平面成300角.求二面角aAB的度数。深化练习若二面角内一点到二面角的两个面的距肉分别为a和臼，