二次函数知识点总结及相关典型题目学生用.docx
二次函数一、定义：一般地，假如是常数，区,那么g叫做a的二次函数.例：已知关于X的函数）当a,b,c满意什么条件时（1）是一次函数（2）是正比例函数（3）是二次函数是常数，日的性质IyI（1）当日时日抛物线开1.1.向上日顶点为其最f嘲（当1.J时回抛物线开口向下臼顶点为其底,q卜二、二次函数I4I越大，开I越小。（2）顶点是x,而称轴是直线区I（3）当山时，在对称轴左边，y随X的增大而减小：在在对称轴右边，y随X的增大而增大:当时，在对称轴左边，y随X的增大而增大：在在对称轴右边，y随X的增大而减小。（4）”轴及抛物线得交点为（0例：1、例On四川重庆,7,4分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则E列结论中正确的是（）A.a>0B.b<0C.c<0D.a÷b+c>O11,2fc,ia.I1.Gi练习：1、（2011山东威海，7,3分）二次函数的图象如图所示.当yVO时，自变量X的取值范.围是（）.A.1<x<3B.x<-1.C.x>3D.x<-1.或x>32、（2010湖北孝感,顶点坐标为312,3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象及y轴正半轴相交，其y,卜列结论：（Dac<O;a+b=O;4acb2=4a；a+b+cVO.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4三、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：1.-.J,顶点是,对称轴是直线区.（2）配方法：的顶点为（，日），对称轴是直线臼.（3）利用交点式求对称轴及顶点：1.一r,对称轴为1.d例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴：（1）F1.（2）I=1（3）p-1.(1.-4)例2、2011江苏淮安，M,3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是四、抛物线的平移方法1：计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移状况方法2：将函数换成顶点式，用I决"（X）左加右减，上加下减”例1、抛物线H经过怎样平移得到匚三I例2、（2011四川乐山5,3分）将抛物线EKJ向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()A.B.1.三JC.FID.E三例3、（2011重庆江津，18,4分）将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是练习:1、抛物线XI经过怎样平移得到XJ2、抛物线1-1向左平移2个单位，再向上移3个单位得到一，求b和c.3、（2011山东滨州，7,3分）抛物线IXI可以由抛物线回平移得到，则卜.列平移过程正确的是（）.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位五、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：I-I.已知图像上三点或三对外m的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像及，轴的交点坐标目、,通常选用交点式：1.1.（4） 一般式及顶点式的变换例：1、依据已知条件确定下列函数的解析式：（1）已知抛物线过I（2）己知抛物线的顶点在X轴上，且过点（1,0）、（-2,4）；（3）已知抛物线的顶点坐标为（-2,0），过点（1,4>例2、将I（IX1.>练习：1、将I2、（2011山东济宁，12,3分）将二次函数1.-J化为1.=的形式，则臼（IXI）七、IKI三及一元二次方程1.-J的关系03>0回=O3<0I方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根口II日抛物物及X轴有两个交点I抛物物及X轴只有一个交点三抛物物及X轴没有交占*一韦达定理：IXI（二者都可以用）例1、（2011台湾台北，32）如图（十四），将二次函数1-1的图形画在坐标平面上,推断方程式匚三二的两根，下列叙述何者正确？（）A.两根相异，且均为正根B.两根相异，且只有一个正根C.两根相同，且为正根D.两根相同，且为负根例2、.抛物线1.J及X轴分别交于A、B两点，及y轴交于点C,则AB的长为，三角形ABC的面积是练习：1.已知二次函数匕口的图象经过点（1,-1）.求这个二次函数的解析式，并推断该函数图象及X轴的交点的个数.（）2. （2011湖北襄阳，12,3分）已知函数的图象及X轴有交点，则k的取值范围是（）A.B.QC.回且回D.回且回3、（2011广东东莞，15,6分）已知抛物线日及X轴有交点.（D求C的取值范围：（2）试确定直线y=cx+1.经过的象限，并说明理由.八、二次函数的应用1、求是常数，1.rJ最大值或最小值日,函数有最小值为顶点的纵坐标，此时X等于顶点的横坐标;IrJ,函数有最大值为顶点的纵坐标，此时X等于顶点的横坐标。2、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积=底区J3、利涧问题：利润=销量J(售价一进价一其他4、拱桥问题例1、(2011广东肇庆，10,3分)二次函数J有().最大值回B.最小值回C.最大值回D.最小值a例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示(单位：m),要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为x(m),余卜的可耕地面积为y()(1)请你写出y及X之间的解析式；(2) 依据你写出的函数解析式，为水渠的宽度为Im时，余下的可耕地面积为多少？(3) 若余下的耕地面积为44083，求此时水渠的宽度。例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试箱中发觉，这种商品每天的销量m(件)及每件的销售价x(元)满意一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利油y及每件的销售价X间的函数关系式：(2)假如商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适？最大销售利润为多少？练习：1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价杼涨1元，月销售量就削减IO千克，针对这种水产品的销售状况，请解答下列问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利涧；(2)设销售单价为每千克X元，月销售利润为丫元，求丫及X的函数关系式(不必写出X的取值范围)；(3)商店想在月销售成本不超过100Oo元的状况卜.，使得月销售利涧达到8000元，销售单价应定为多少？3、.如图6,一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为1.6m,将一根绳子的两端拴于立柱及横杠结合处，绳子自然卜垂呈抛物线形态，身高O.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。（答案：02m）图6附表.几种特别的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标1.d运）（引轴）(0,0)1.J当日时回（3轴）S,3)开口向上回(3,0)IX当日时叵(B,B)开口向下.II（1.d）
