等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法.docx
等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，那么称这个数列为等差数列，记：an-aa.1.=dId为公差)(“2,注：下面所有涉及，*省略，你懂的。2、等差数列通项公式：a=a(n-)d,为首项，4为公差推广公式:aau+(n-m)d变形推广：d=2上n-in3、等差中项(1)如果人，成等差数列，那么4叫做”与的等差中项.即：人=彳或24="+Z>(2)等差中项：数列怎是等差数列=2ae=an.1+(n之2)。20,41.=a+us.24、等差数列的前n项和公式:j(1+),Xzj-I)S1.1.=!=Iia,+a"2'2=-n+(«)d)n=An2+Bn(其中A、B是常数，所以当d0时，SII是关于n的二次式且常数项为0)特别地，当项数为奇数2+1时，%是项数为2n+1.的等差数列的中间项%“=包吗±”端=(2+1)4“(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5、等差数列的判定方法(1)定义法：假设.-*=d或1i=d(常数eV)。上是等差数列.(2)等差中项：数列4是等差数列=2。*=+J(2。2aatt=aa+a2(3)数列E站等差数列o.=M+/,(其中匕,是常数)。(4)数歹式/是等差数歹J=S*=A+3”,(其中A、B是常数)。6、等差数列的证明方法定义法：假设.-=d或,*-%=d(常数“GA")。是等差数列.7、等差数列相关技巧：(1)等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：3、"、%及S.,其中、d称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)设项技巧:一般可设通项,=+("T)d奇数个数成等差,可设为，-2J.-d.,+d,+2d(公差为d);偶数个数成等差，可设为一,"-切,而乩“+乩”+即(注意：公差为2d)8、等差数列的性质：(1)当公差,匕0时，等差数歹IJ的通项公式/=q+(,1.1.W=d"+q-d是关于的一次函数，且斜率为公差4；前和Sn=叫+与2"=g1.+处-多是关于的二次函数且常数项为Oo(2)假设公差d>0,那么为递增等差数列，假设公差d<0,那么为递减等差数列，假设公差d=0,那么为常数列。(3)当,+”=p+4时，那么有qa,+%=,+4,特别地，当加+”=2时，那么有4+«.=20。(注:a1.+«=a,+«_)=Oi+,.2=，)当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。(4)叫、幻为等差数列，那么初1+b,4+她都为等差数列(5)假设aj是等差数列，那么S“WbS1.1.s也成等差数列(6)数列应)为等差数列,每隔k(kw项取出一项(%限,%就4皿,)仍为等差数列(7)同、也)的前”和分别为4、%,那么M=Aa以4I等羌数列“)的前n项和鼠=“，前m项和5“=n,那么前m+n项和S,=-(m+n)»当然也有a”=n.n=n，那么anj.n=0（9）求S1.1.的最值法一：因等差数列前"项和是关于”的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性”法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前”项和的最大值是所有非负项之和即当>0,d<0,由卜"*可得S“到达最大值时的值.（2）“首负”的递增等差数列中，前“项和的最小值是所有非正项之和。即当<o,JX）.由I""“）可得工到达最小值时的值.“之。或求a11中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，S,取最大值（或最小值）。假设SP=Sq那么其对称轴为=华注意：S"-S=4（之2）,对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当=I的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：根本量法：即运用条件转化为关于和d的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：=之2）,4为公比an-1.2、通项公式:an=axqn'',为首项,q为公比推广公式：q=Jrj从而得/M="3、等比中项(1)如果,A力成等比数列,那么人叫做“与人的等差中项.即：=而或A-±Jiib注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)数列E是等比数列=«,2=«.,*4、等比数列的前n项和5：公式：(1)当q=1时'Sv=nat(2)当“工1时，S11=40二，)=忙经"q"q=_5生/=A-AW=A，炉-TV(48.A',所为常数)-q!-(/5、等比数列的判定方法(1)用定义:对任意的n,都有%=用或1=q(g为常数,(IHO)O1.J为等比数列等比中项："j=""-Mt("1.t.4w。)O”“为等比数列(3)通项公式：q=ABn(A8*0)o-)为等比数列(4)前n项和公式：Sn=A-A-8”或S“=AB-4(A8.A：*为常数)u>U为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：假设篙="(#。)(22,且“*)或<*=的“。叫为等比数列7、等比数列相关技巧：(1)等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、/、“、A及S.，其中/、夕称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：q=%'如奇数个数成等比，可设为，二；(公比为g,中间项用”表示)；q.q注意隐含条件公比夕的正负8、等比数列的性质：(1)当夕H1.时等比数列通项公式=与"=AW(ABHO)是关于的带有系数的类指q数函数，底数为公比q前八项和，=-=A-A=A'Bn-A,系数和常数1.-g-q-q项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q对任何m,n在等比数列应中,有q=/:特别的,当m=1.时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)假设w+”=s+r(m,n,s,teN'(那么aan=a1.a1.0特别的,当n+n=2k时,得“jan,="J注：«r«.,=«2=V2-(4)列4),但为等比数列,那么数列山),伏0)。"伏"媪*(1为非零常数)均为等比数列。(5)数列为等比数列,每隔k(kwAQ项取出一项(%4M,)仍为等比数列(6)如果应是各项均为正数的等比数列,那么数列11陶-是等差数列假设应为等比数列,那么数列s.,£-邑，Su-S2jr,-,成等比数列(8)假设4为等比数歹J,那么数列4.,an,1.rt,2a21.1.,<,w.1a21.t,2j1.,成等比数列(9)当4>1时，当0<”1时，f1>0,则/为递增数列ra,>O,则%为递减数列Iqe则为递域数列，1.,<O,则<%为递增数列当q=1.时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列)；当q<0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列5中,当项数为2n(nwM)时sv.q(11)假设是公比为q的等比数列,那么S-*"'注意：在含有参数的数列时，假设是等比数列，一定要考虑到公比g=的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：根本量法：即运用条件转化为关于q和g的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：%=A%+模式(其中Q为常数，”之2);<J=P-+p"模式(其中P为常数,W2)在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解：例1数列n,有q=3an.1.+4(2),那么求该数列的通项公式解超大致思路：先设q+Z>=3(11+份,那么对于,=34“+4=>勺+2=3(。小+2),那么我们就可以构造数列q,+2为等比数列，利用等比的和关性顺去解决，注遨：构造新数列的首项和公比分别是多少？还行你考虑到当1.=1.的这种情况T吗？例2数列",有"=2+2"(“2),求该数列的通项公式解题的大致思路：11=21+2"(1.2)=2=%+1=%=&-+1,相信你己经知道构造11n2112Af2Ar2"'什么数列了吧，这两个模式考试中存欢考，也比拟根皮，当然也希里通过这两个模式能让你意识到求救列中的构造出患,第三节：数列的求和方法引用别人的，稍加改良一、教学目标，I、然练掌握等基数列与等比数列的求和公式：2、能运用倒序相加、格位相减、拆项相清等重要的数学方法进行求和运算：3、熟记一些常用的数列的和的公式.二、教学重点：特殊数列求和的方法.三、教学过程I(一)主要知识：1.宜接法：即比接用等差、等比数列的求和公式求和.(1)等差数列的求和公式：St1.=""巴。=Mf1.1+笑3dnai(q=)(2)等比数列的求和公式S.=Qq(1.-4"),八(切记：公比含参数时一定要讨论)-÷(<)1一42、公式法：-2=-+2?+3?+/="(”吁川(证明利用立方差公式，A-I6(+1)一，=3+3"+1.,将用123”替换.错位相消即可整体得出)V=i,+2'+3,+/=必业一*-1.2(证明利用4方差,原理同上)3、错位相成法：比方同将差,也r蹲比,求.+也+。也的和4,裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消轲下首尾假谀千项.III1I1.It常见拆顶公式：-=:=-(-)j(j+1)nn+1n(n+2)2nn+2=()n-!=(n+1)!-zj!(2n-iX2n+1.)22m-12n+5、分组求和法：把数列的每一项分成假设干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.6.合并求和法：uR100j-99i+982-972+2j7、倒序相加法:如求sin”+sin'2+sin'3+sinj89的和。8、其它求和法：如归纳猜测法，奇偶法等等(二)主要方法；1、求数列的和注意方法的选取：关键是行数列的通项公式：2、求和过程中注意分类讨论思想的运用；3、转化思想的场用：(三)例题分析：例I.求和：S“=1+11+111+JJ;J-7一SI1.=(.v+-)2+(X2+-)2+(x+4-)2XK-X求数列I,3+4.5+6+7,7+8+9+10.前n项和S1.1.思路分析：通过分组,直接用公式求和.解：“<=11-1=1+10+10-+IO=(10t-1)S=(10-1)+(102-1)+-+(10-I)1=I(I0+I0j+-+10")-m=11000-1)_9,9IO"t1.
