竞赛教材：1-不等式的性质与基本不等式.docx

第一讲不等式性质与根本不等式(一)内容提要：不等式的性侦是解、证不等式的根底，对于这些性质,关键是正确埋解和熟练运用,耍弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强.常见的性质有8条：I,反身性(也叫对称性)：a>bb<a2.传递性：a>h.b>c<a>c3、可加性：a>b<>ac>bwa>ba>b<=>ac>bc;<=>ac<bcc>0c<05.会加性：a>b.c>d+c>+d6、,侥乘性：>0r>rf0e>rt«c>bd7,乘方：4>b30",>"'(nM62)8.开方性：a>fe0<=>0>b(n,.n2)(I)根本不等式求最1的理论根底：设Xy为正数.+y2后;xy二养-设abe为正数，那么a+b+c33&而；abcM(-+ht-)33推广到n个的情形：设aa3a1,为正数，那么a+a?+a11WaIa.4重要不等式的功能在于和枳互化，要注意三个条件：一正、二定、三相等的检验。在运用过程中，要注意构造定值、转化为正数、验证等号成立的条件：当等号不成立时，常用以下函数的单调性求解：由因数y="+Zu在(0,岛为取函数，在、R，+8)为增函数。XbNb对于能通过换元化为y=-+r+c或fx)=-v类型的处理Xex+fx+g(2)绝对值不等式的性质1.a1.-INa+Na+b推广：a+a：+.+ana+a2+.+an等号条件成立的条件？二、的例分析：23例1、设实数*,丫满足3«*妙8,4这工),那么占的最大值是红.yy解析考查不等式的根本性质,等价转化思想.()2gU6.81,上引!，口，=(一)2-g2.27J,占的最大假是27。yxy83yyxyy例2、正数x.y满足：x+y+3=xy(1)那么Xy的取值范围为9.+oo)(2)那么x+y的取伯范围为此+8)例3、正三棱锥底面一个顶点与它所对例面重心的距思为8,那么这个正三核雄的体积的独大做为144。M：设正三梭锥P-ABC的底面边长为“，裔为人。为三角形八8C的中心，G为例面P8C的Hi心，G垂自底面八8C垂足为.那么GI1.-：-PO=-h.A/I=AD-a'a»339929由AHi+GH2=AG2-a2+-h2=M,故16/+3/F=64-27,279由平均不等式得M27=8ai+8/+32r8(232,所以.25763.于是/_.<=1Swtcf=ga%144.当F=在时等号成立.312h4故体积的最大猿为144.例4、二次函数Y=d+>+c<Z0的图像恒不在X轴下方,且“<竺幺£恒成立.求实数mWh-a取值范图为。由y="d+6x+c20恒成立，所以“>O,J-4c0b.a+b+c4«+4ab+4ac4az+4ab+b24+4r+J->1.=ah-a4t(b-a)4n(b-a)4r-4=-(z-1.)+-+6)-(6+6)=34t-4当口仅当/=4J>=44=4"。时等号成立，因而实数m的取值范围为(y。,3)例5.给定实数4>1.,求函数/(X)=竺粤华!她且的最小值.1.÷sn.vM1.、(+sin4+sin)1.3(a-1.)C解/Cr)=-=1.+sn.r÷-+2.I+sinx1+sinx当1.<"g时，O<3(-1)2.此时/(x)=i+sinx+-+w+22*/3(«-1)+«+2.I+sinX且当sin.r=3(11-1.)-1.(-1.1.)时不等式等号成立，故4ib(x)=23(<-1)+2.当。>工时，配二y>2,此时函数)，=什迎二。在(o,西二11内是递减，故此时(Mx)=/=2+2=1.1.2jXa-1.)+a+2,1<<综上所述,e«>.3例6、力是面枳为1的三角形MBC的边A3上的任意一点，E是边AC上任意一点，连结DE,是城段OE上的任意一点，设'=X.=V,-=z.aABACDE)z-x=:试求:.角形3。”的面枳的最大值.解：连结8£,加么三角形8。6的面积为Saiwm=Za-X)SjMer=Z(1-X),S=2(-.v)>,由均值不等式.得Z(I-x)yM三±°-翌±'=),当且仅当Z=I-X=、)，+Z-X=:即382X=y=z=1.时等号成立，所以三角形3。尸的面积的最大值为-O28例7、a,b、C是实数.函数f(x)=a+bx+c.g(x)=ax+b.当-1.x1.时.f(x)1.(I)证明:：UW1.jbIW1.,aW2（三）证明:当1.x1.时Jg(X)I2:(HD设a>0.-1.x1.时.g(x)的设大值为2.求f(x).(4)当IX2BI.f(x)1.7(1)证明：由于当T。W1.时，|f(x)W1.那么If(O)IWI.则C0.且-IWN-DW1.即TWa-b+cW1.-IWf(I)W1.即TWa+b+cW1.6式得：-2W2bW2即-IWbWK=>2iW1.由、得：T"cWa-b1.C,Hca*b1.*c,而-1这cE1.=>-2-1.-c,Hc2,故-2Wa-bW2,-2a+b2=>-42a4,UPai2（三）证：当a>0时,g(x)=ax+b在卜1,1上是增函数，g(-1.)g(x)<g(1.).,.If()1.(-1.<)JcI1.g(I)=a+b=f(1.>-cR1.)+c2,g(-)=-a+b=-f(-1.)+c>-(fK-D+c>-2.由此得Ig(x)|<2;当a<0W,g(x>=ax+b在卜1,1上是减函数，.g(-1.)>g(x)>g(1.),VH)<(.<<),c<1.,g(-1.)=-a+b=-f(-1.)+cR-!)+c2.g(1.)=a+b=f(1.>c-(fK1.)+c>-2.I1.1.此得Ig(X)I<2;当a=0Uj.g(x)=b,f(x)=bx+c.V-I<x1.,EX)HR1.)Y1.sMD1.+Id%根据含绝对值的不等式的性质.得即Ig(x)2.(I1.1.)因为a>()g(x)在卜1J上是增函数.当x=1.时取得最大值2.即g(1.)=a+b=iK1.)-f(0>=2.V-<R0)=111.)-2<1.-2=-1.c=f(O)=-1.因为当-1.x1.吐HX)-1.,M也巨戈0,根据：次函数的性质,直线X=O为f(x)的图效的对称釉.由此得由为a=2.所以ftx)=2xj-1.(4)If(2)I=14a>2b+c|=2(a*b*c)+2a-c2f(1.>+2aMc7If(-2)I=4a-2b+c=12(a-b+c>+2a-c|2f(-I)+2a+c7bbb4ac-b'b'当-2W-2"W2时，I勿IW2,此时f(-2。)|=4«I=IC-4”bibc+4«IWICI+14aIW2W7,故当：xV2时，f(x)7例8、(2009河北)设/(X)=/+皿+，假设不等式(x)>2在区间1,5上无解.(1)求f(1)-2/(3)+/的值：求所有的实数对(ZW假设存在这样的实数对(m,加，那么，(X)IM2,对一切XG1.1.5恒成立，分别取.t=1.23得(1.)=1.+11+i2,(3)=9+3】+“2(5)=25+5+i2,又易得f(1.)-2/(3)+/(5)=8.那么1.;r,JA1)=/(5)=2.(I+m+n25+5m+n=Z,所以V即<得，=-6,“=7.(f(3)=-2.9+3"i+”=-2,当加=-6且=7时，"x>=-6x+7在w5时，满足(x)2综上所述，所求实数对为(，儿)=(-6.7)°例9、a,b,cR',满足血(+"c)=，(I)求S=(+c)(8+c)的最小值：(II)当S取报小值时，求C的最大值.斛；U)因为(+c)S+c)=">+c+8c+c2="Z>+(+b+c)c="/,+-(5分)(ib2.db-=2,等号成立的条件是"=1,Yab当。=8=1.,c=JJ-1.时，S可取最小值2.(II)当S取最小值时,ah=.从而c(+c)=1.即c'+(+Z>)C-I=O,令r=+Z>.那么=2T=2从而C=二北好.或者c=土卑<O(含去)故C=T-Fa=2在rc2,+8)单减,所以在r=2时.C有最大值近一1.2"+4+1例10、设&b,c>0.求的最小值P38a+2b+ca+b+2c3c+<+b例11、定义在R匕的函数/(x)满足：1./(0)=0：2 .对任意x.ye(f-I)U(I,÷),都干=3 .当XW(TO)时，福有/(x)>0求击Gb阖+)>4)-M.令*,.n=1.,根据2可知11g(1.O)U(0.1),又f0)=0.那么有n(1.I)f(11)-f(n)=f(-5-),易证f(x)为奇函数且在(7.1)为减函数-mt且XS(0,1)时,f(x)<0.I11_?=(+3)+4=+31”+4/+7"+1.1.-1.+(11+3)11÷4)JIII(zj+3)m+4)(11+3)(?j+4)TOf(-,-,)=f(-)-f(5)r÷7+1.In+3n+4三=K-)-f<b+f(7>-f(7>+N；)-f<-5-)4556+3,44+4=f(1.)+f<-)>f<1.)>fd)4+442三、配套练习：(1)函数y=IogasCr+一+1.)(.r>1)的值域是(一,一2)X-I(2)假设不等式X，-AX+A1>OXjXeU.2)怛成立,那么实效的取值范困是实数,>满足.p+1=4x+尸j1.x>i,那么(*+)()，+2)的最小值为应-(4)假设时仔怠x>0,恒成立，那么。的取值范附是.r+3a+I5(5)设M>eR,0>I为>I.若'=Z=3,«+。=2百,则1+!的展大值为Xy(6)设函数/(X)=I<>g,7.v+-4的零点为，”,方程fx)=a'+-4的零点为,当(】,+>)变动时，那么工+工的最小值为三也mn4(7)x>O.v>O.x+y=1.,那么J-+y的母小值为U.xy48、假设不等式而+«,4人、田彳对于任意正实数X,y成立，那么A的取色苞围为Xr>=.令，=扉>0，那么公2=(1+).令”=4,+1.>1.,/么/=.只要求的最大值.3-2()+)(1.+2)=.不等式恒成><,x=4v>0时等号成立).9、函数HX)=I1.g1.黄设CKa<b.f1./”引力).那么a