立体几何中折叠与展开问题.docx

立体几何中折叠与展开问题（2）祁东育贤中学周友良【知火与方法】折扑与展开问题是立体几何的两个击要问魄，这两种方式的转变正是瓮间几何与平面几何问题转化的集中表达。处理这类烟型的关键是抓住两图的特征关系，折登问82是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材.解答折电问遨的关诚在于画好折胜前后的平面图形与立体图形,并弄清折会前后哪些发生了变化,哪些没有发生变化.这些未变化的条件都是我们分析何题和解决问胭的依据。而外表展开问题是折我向题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体外去的何胭，斛题时不妨将它展开成平面图形试一试。【认知调练】1.ZXABC的BC边上的高线为AD.BD=a.CD=b.将aABC沿AD折成大小为O的二面角B-AI>C,假设cos。=：，那么三极谁ABCD的侧面三角形ABC是（）bA、锐角三角形B.钝角：Z角形C,直角三角形D、形状与a.b的值有关的三角形2.如图为梭长是1的正方体的外表展开图，在原正方体中，给出以下三个命时：点M到A8的部禽为立2梭锥C-DNE的体枳是16AB与EF所成用是Z2其中正确命题的序号是3.利下面的平面图形1衽个点都是正.角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四而体后，直线MN与P。是异面出线的是（）C.60"D,90,）第11题困5.（06山东卷）如图.在等腰梯形A8CO中,AB=2DC=2.OA8=6（）c,E为AB的中点，44DE-EC分别沿ED.EC向上折起，1st!4.8五合于点H加么一。CE三极锥的外接球的体枳为24ABe-A1.BIG中，底面为直角三角形,ZCB=9(,C=6,BC=CCi=2,P是BG上一动点，那么CP+PABK7C的最小值是/7.用一张正方形的包装纸把个梭长为a的立方体完全包住,不能拘正"形域区>需包装纸的最小面积为C1.A.9a2B.82C.7«2D.(x2【能力调练】例1.点。是边长为4的正方形ABC。的中心，点£,广分别是八O.8C的中点.沿对角城AC把正方形八8。折成直二面角。一AC-8.(I)求NEO”的大小：（三）求二面角七一。尸一A的大小.例2.如图，在正三极柱ABe-ABG中，AB=3,AA=4.M为AAI的中点,BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过极CCi到M点的最短路线长为V药.条/短路线与C1.C的交点为N.求m/D该三棱柱的恻面展开图的对角线长：卜7、J2) PC和NC的长；3) Y1.ft1.NMP和平向ABC所成二面狗(悦知的大小(用B反三角函数友示)例3.AABC的边长为3,D、E分别是边BC上的三等分点，沿AD、AE把AABC折成A-DEF,使B、C两点重合于点F,H.G是DE的中点(1)求证：DEj_平面AGFZ(2)求二面为A-DE-F的大小：加(3)求点F到平面ADE的距离./例4(江苏卷)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC.W/湎足AE:EB=CF:FA=CPTB=1:2如图I).将AAEF沿EF折起到EF的位置B.直二面角，连结AiB,AP(如、2)(I)求证：A1EiBEP：(13求出线A1E与平面A1BP所成角的大小：UH)求二面角B-A1.P-F的大小(用反三角函数表示)例5.(辽宁卷)正方形八F分别月AB、CQ的中点4%叱沿。E折起,如下图,记二面用A-QE-C的大小敢g*<).R证明8尸平I必i11?''(I1.)假设.CD浓：.角形,沙硝嘛A在平面HCDE!;GJ<rtEF上,证明你的结论,并求角。的余弦&£一bpcA【达成试】1.长方形中，AB=25BC,把它折成正三棱柱的侧面,使M）与BC重合，长方形的对地线AC与折痕线EF.GJI分别交于M、N.那么故而MNA与桢柱的底面D111.所成的用等于（）A.30'B.45"C.60"D.902.如图9一99是一个无益的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，NABC的值为（）图9一99.180°B.120°C.45"D.60"3.如图.在正三角形ABC中，D,E.F分别为各边的中点，G,H.1,J分别为AF,AD,BE.DE的中点,将AABC沿DE,EF.DF折成三粳锥以后,GH与IJ所成角的度数为OA.90°B.60'C.45°D.Oa9-100龙示一个正方体外表的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有时.图9100图9101【分析】平面图形的翻折应注意翻折前后各元索相对位置的变化,AB、CD、EF和GH在原正方体中如图9101.有AB与CD、EF与GH、AB和GH三对片面直线.5.如以下图，在以下六个图形中，每个小四边形青为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折总能够国成正方体的是（要求：把你认为正确图形的序号都填上）（Ddxs）A八N是直角梯形AHC7）两腰的中点，QE一八8于双如图）.现将4/）E沿/小折起，使二面知八-DE-B为45%此时点A在平面8CCE内的射影恰为点B,那么V、N的连线与AE所成角的大小等于.6.解：如左图.在平面AED内作MQ/7AE交ED于Q.那么MQ_1.ED.且Q为ED的中点.连结QN.那么NQED.QN/EB,QN=EB,ZMQN为：面角八一。石一8的平面角.MQN=45°.,ABJ.平面BCDE,又/AEB=/MQN=45'.MQ=1.AE=!IEB,在平面MQN内22作MP_1.BQ.得QP=MP=IEB.故PB=QP=；EB.故QMN是以NQMN为白角的等腰三角形,即MN1.QM.也即MN子AE所成角大小等于90.7 .如图,正三桢柱48C'的底面边长为I,高为8,一质点自八点出发，沿着滋柱的仰面境行巧用别为2和6.高为的等腰梯形,符它沿对到达4点的城短路规的长为，8 .如图,ABCD是上、下底边长分称轴OOi折成直二面角.(1)证明：AC«1.BO”(II)求二面角Q-AC-O1.的大小.O1.Q9 .如破*,0,t*'-S-BCD,底面边长场确切%.N分别为AC、AD上的动点，求截面4B/、及此时E、F的一%，/10 .如图AQH，"叱CU1.T,A-a,RAC的中机E为BD的中点，AE的延长线交BC于F.%ABD沿BD式起.二值磔,-BD-C的大小记为».求证：平面AEF1.平面BCD：为何ff1.时A'B_1.CD?(3)在的条件K,求点C到平面ABD的距离,【认知调修】I.答案；C点评：将平面图*B2 .答案:，把所给斗匕图及康成4 .取AN的中点S,那么PN-+PT2=TS-+SN2=1:PNPC.'PN1.平面CMP.½D5 .解；易证所知:.极椎为正四面体，它的梭长为1.J/"I1.-屈f'外接球的体积为全净,=步,选C6：连AB,沿BG将ACBCi展开与AAtBG在面内，如卜图,连A1C,那么AC的长度就是所求值。通过计算:可得ACC=90。乂BGC=45)二NAiGC=135。由余弦定理可求得A1C=507.试跑背景：此起与以往把立体图简单地展开为不样的，因为正方形的纸不能撕开来，此胭情境新颖，具有较海的探索价位，类似于2002年文史类最后一道高考附加题，解析：将正方形纸如图划分.其中BC=2AB=2CD,用标U1.的同部作下底面，标II的部分作四个侧面，标I的局部正好盅住立方体的上底面.由时强知标【的局部正好盅住立方体的上底面.由他意知，标II的正方杉的边长为a,所以IE方形纸的边长为2J工，面积为8，/。应选B.评析：新世纪的高考试题的新联性越来越明极.能力要求也越来越高并且也越来越广泛.要在“创新”的大环境下来面对高考,我们应把握好平时的一些新颖试区.充分挖掘其立意，举一反三，广泛联系，以适应新课程的理会及新时代的高考.【能力调练】例1.解法一：(I；如图.过点右作EG_1.AC.垂足为G,过点/、作bH1.AC.垂足为那么EG=FH=C.GW=22.(II)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM.二面角CfC-8为口二面角，I平面。AC1.平面BAC交钱为4C，又YEG1.AC，,EG1.平面BACYGM1.OF,由三垂线定理,EMIOF.：.NEWG就是二面角£一。"A的平面角.在RtAEGA,中.NEGM=9<),EG=y2.GM=-OE=.2tan2EMG=丝=0.NEMG=arctan2.GM所以，二面角EO"-A的大小为arctang.解法二：(I)建立如下图的耳角坐标系。一种，那么E=(1.,-1.,J),OF=(0.2.0).cos<OE.OF>=°E°F=-.OEOF2.ZEOF=I20.(11)设平面OEF的法向盘为M1.=(1,FZ).由I。£=O./T1-OF=0.御黑产。,解得当又因为平面AOF的法向册为%=(0.0,1)，n.,石.不:.cos</J1.、>=j_=.<1.”、>=arccos.-In1IIwj323所以，二面角E-OF-A的大小为acos上3例2.正解，正式棱柱ABC-.%BG的例面展开图是一个长为9,宽为4的掂形.其对角线长为J9?+42=丽如图1.耨恻面Bu旋转120°使其与侧面Ae在同一平面上.点P运动到点P1.的位置,连接MP”那么MP1.就是由点P沿棱柱侧面羟过到点M的M班路线。设PC=*,那么PIC=X,在也MR中，(3+x)2+2:=29,x=2连接PP1(如图2),那么PP1.就是NMP与面ABC的交战，作NH_1.P6于H.XCC1面ABC.连结CH,M三垂线定理得，CH1PP1。例3.(I)证：由即知AD=AE.DG=CEADE1.-AG又DF=EF,DG=GEADEIFG又AGaFG=GFG=得.DEJ.平面AGE(2)由(I)E1.AG.DE1.FGZAGF为：面角A-DE-F的平面角3百AGF''.AF=3.AG=2(3)过点F作FH_1.AG于H,由(I)FHU面AGFADE1.FH又AG1.FHAGU面ADEDESiADEFH-1.YiDE.FH的长就是点F到平面ADE的跑国在RtFGH中，FH=GFSinFHG=曰J1._（；）=g点F到平面ADE的矩凄为g讦注，折我问西是考女学生空间想象能力的较好我体，如此时，不仅要求学生象解常规立几综合时一样懂得线面垂立的判定方法，二面角平面角的作法以及点面出的求法，还要正确画出正三角形ABC沿特定边折光而成的空间图形,更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关盘（边长与胸）的变化情况，否那么无法正确解即这正是折登向应的价值所在.例4解法一：不妨设正三角形ABc1的边长为3（1） 在图1中，取BE中点D,连结DEAE：EB=CF:FA=I:2AF=A>-2而NA=60'.,ZDF是正三角形.乂AE=DE=I.EF1.M）在图2中.AE±EF,BE±EF,；.NAFB为二面角A1.-