立体几何知识点.docx
立体几何一'根本知识点:1、空间直线与平面(1)空间直线平面(3)直线与平面的位置关系14)平面与平面的位置关系2、空间几何体1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形E互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.棱柱性质：梭柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧楂都相等：梭柱的两个底面与平行于底面的威面是对应边瓦相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的鼓面都是平行四边形.体积:V01.1.=Sft(2)棱雄：行个面是多边形，其余各面都是有个公共顶点的三角形，由这些面所用成的几何体叫做棱徘.棱惟性质：底面是多边形：IW面是以棱性的顶点为公共点的三角形：平行于底面的技面和底面是相似多边形，相似比等r从顶点到技面和从顶点到底面距离的比.技面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方.正棱锥:底面是正多边型,(W面全等:正四面体：底面是正：.角形,侧面也是正三角形.(正四面体内切球的半径是外接球半径的1(3)校台：用一个平行于榜锥底面的平而大截杨饰.底面与截面之间的局部是楼台.体枳：½fft=I(5+5+5)(4)圆柱、圆锥、圆台、i圆柱：外表枳：s=Sg+2sIf1.I锥：外表枳：S=S他+S应=兀+n/=nr(r+/),体积：=-nr2h.3圆台：外表枳：S=Stti+S+s,1.5=11(r,+r)/+11r,2+11r=11(j2+r+r'1.+H),体积：V,=-11(r2+RrR2)h3球：外表枳：S=411*.体积：V=±就1.3二、考点剖析考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图例1、(2008广东)将正三板柱截去三个角(如图1所示4B,C分别是ZkG4/三边的中点:得到几何体如图2,那么该几何体按图2所示方向的侧视图1或称左觇图)为()解：在图2的右边放国心中有墙).可得答案A例2、12008江苏模拟)由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如下图,那么该几何体中正方体木块的个数是.国图版为主,吗曲图,两层.看“视图，可得木块数如才，图所示，因此这个几何图中左边最多仃两个的静体木块数的个数为木块,再个.考点二，空间几何体的外表枳和体枳例3、(2007广东)某几何体的的视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、离为4的等腰三角形，恻视图(或称左视图)是一个底边长为6、将为4的等腰三角形.(I)求该几何体的体积V：(2)求该几何体的恻面积S解：由可得该几何体是一个底面为矩形.玛为4.顶点在底面的射膏心的四棱锥V-ABCD.(1)V=(8×6)×4=64据视因是矩形中(2)该四极锥行两个侧面VADVBC足全等的等腰三角形.旦BC边上的高为%另两个侧面VB.VCD也是全等的等眦.角形.AB边上的高为色=因此S=2(-×6×42+1.×8×5)=4()+24222例4、(湖北卷3)用与球心用肉为1的平面去的球.所得的截面面枳为尸,那么球的体积为(»：截面面枳为尸=微面圆半径为1,又与球心距离为I=球的半径是0，所以根据球的体积公.4不R'8y2,.式知匕4=-=；-,故B为止确答案.考点三：点、线、面的位丑关系例5、如图1,在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB>CFCG2AAD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且匕=U=£,A.磨么CBCD3(A) EF与GH互相平行(B) EF与GH异面(C) EE与GH的交点M可能在宜城ACJ.也可能不在直AC±(D) EF与GH的交点M一定在C1.战AC上:依题解，可得EHBD,FGBD,故EHFG,由公司2BD3知.E,F.G,H共面.因为EH=IBD,-故EHTtFG,以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M,因为点M在EF上，故戊M在平面ACB上，同理.点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知.点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选(D).例6、(2008全国二10)正四棱椎SAZiCQ的测核长与底面边长都相串E是58的中点,那么AE,SO所成的角的余弦位为(1n232A.-BC.D.一3333解：连接AC、BD交于0.连接OE,因OESD.所以/AEO为异而直线SD与AE所成的角.设侧棱长与底面边长都等于2,那么在/AEO中，OE=1.AO=2,AE=JF=T=3.于是COSNAEO=+I=（近匚=3=立,应选C,2×31.、行3点讦：求异面出城所成的地，-殷是平移异面宜城中的条与另一条相交构成三角形，再用：角函数的方法或正、余弦定理求解.考点四，直线与平面、平面与平面平行的判定与性质例7.,2008安徵)如图，在四极锥O-ABC。中，底面人BC。四边长为1的菱形，ZABC=-.OAJ.底面ABC。，OA=2.,W为。4的中点，N为一0BC的中点Z(1)证明：电线MN”平面Oa)s/(II)求界面S1.战AB与MD所成角的大小；/N(III)求点B到平面OCD的距离“/(1)证明：取OB中点E，连接ME.NE/4NSyD又.NE/OC平面MNE/平面OCo/XyZVcd/JftBNC.,.NMDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)作人/>>1.8只连接仞MD=-JMAi+AD'=2.cosAMDP=1,ZMDC=NMDP=-MD23所以AB与Mf)所成角的大小为三3(3) VABH平面欢次J.点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OH过点A作AQ1.OP于点Q，：AP_1.CD,OA1CD.'.CD1平面。AP.工AQ1CD又;Q±OP.：.八QJ_平面OCQ.线段AQ的长就是点A到平面OCD的距商*/OP=>1OD1-DP2=>OA'+AD2-DP1=4+1.-=.AP=DP=42立()A,AP/-T。2人。=Rr-=k=7所以点B到平面OeD的跟离为=OP32332考点五，直建与平面、平面与平面蠢直的只定与性质例8.(2008广东五校联考)正方体八SCQf/Bm中O为正方形ABCD的中心，M为BB1.的中点，求证：JG(1)功。平面A用。；4.(2)OQj平面MAe11I/证明:连结8。再。分别交AeAG于0。mI'在正方体ABCO-ABCA中网角面BBRD为矩形I0=JV<JJO.O1分别是BD.B1.Di的中点BOgD1O1：.四边形BqRO为平行四边形.BOt/D1O.Roa平面A,BCt.BQU平面A"G.D1O/平面AfBCt(2)连结M0,设正方体八8CO-A4Gq的楼长为4.在正方体ABCD-A1BiC1。中.对角面BBRD为矩形且BBI=«BD=1.O.M分别是8D84的中点在RfAoDD1.中,ZDD1O+ZD1OD=90.ZO+ZD1OD=90,即。Q1.WO在正方体八BCD-ABCR中VDD1±平面ABCD：.DD11C又.AC1.BD.DD1.nBD=DACJ_平面BB1D1D.DtOU平面BB1D1D：,AC1D1O又AC,WO=Or.RO，平面AMC点讦：证明线面垂在，关键是在平面内找到两条相交直戕与H或垂出,由线城垂点推出线面垂证明线线垂直仃时要用勾股定理的逆定理.例9、(2008广东中山模拟)如图，四棱惟P-ABCD中,PAJ_平面ABCD,底面ABCD是直角悌形，AB1D,CDJ.AD,CD=2B,E为PC中点.(I)求证：平面Pr>C_1.平面PAD：(II)求证：BE/平面PAD.CDkADf己知，证明：(I)由PAJ.平面ABCDnf>,Ci)PAoD=(7。1.而夕皿COu而R4j=>平面PDCj.平面PAD：(2)取PD中点为F,连结EF、AF,由E为PC中点，得EF为ZSPDC的中位线，就么EF"CD.CD=2EF.又CD=2AB.那么EF=AB.i1.1.AB/.CD.那么EFAB.所以四边形ABEF为平行四边形，那么EF/AF.由AFU面PAD,那么EF面PAD.点W：证明而面垂直，先证明线面垂直,要证线面垂直，先证明线线垂克.例10、(2(X)8广东深圳模拟)如图,四枝椎S-八8(口的底面是正方形,54_1_底面八88.E是SC上一点.(1)求证：平面EBZX1.平面SAC：(2)设%=4,AB=2,求点A到平面S8D的距离；(11£明.SA_1.底面BCD:.SA±BD且8DJ.ACBD1jF1.f1.iSAC.平面EBZX1.平面SAC(2)解；因为VASm)=Vsi。，且SASWJ=g2i3,可求得点A到平面S3。的距离为I点W：求点到面的即离,经常采用等体枳法.利用同一个几何体,体积相等.表达了转化思想.
