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基本几何模型一、对角巨辛檄型(构造全等I1.)双90。型(1>条件:(乙AoB=4DCE=90。;:OC平分41。&i<D.(2)当/DCE的一边与AO的延长线相交时，条1牛:/AOB=ZDCE=90。eOC平分.乙408.结论:.例题讲解如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点0是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点。旋转.证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形变叠部分的面积总是Y定值，并求这个定值（二）（60。,120理（I）条件:（/AOB=2DCE=120°OC平分.AOB.结论:G）.当/DCE的一边与AO的延长线相交时，条1牛:/AOB=2DCE=120。;OC平分A0B.结论：'起）:.例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD（如图）.有一个含（60。角的三角尺，使三角尺的60,角的顶点与点A西合，两边分另后AB,AC重合.（I将三角尺绕点A按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时（如图），通过观察或测AE,AF的长度，你能得出什么结论？证明你的结论；（2位旋转过程中，四边形AECF的周长是否发钗化?如果没有变化，请说明理由；如果有变化，谙求出周长的最小值；（3君将d）中三角尺的60。角的顶点P在AC上移动且与点A,C都不重合，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC1CD相交于点E.F时（如图）,那么PE,PF之间又有什么数量关系?并证明你的结论.D二、角含半角模型（必旋转I1.如图五方形ABCD中,NEAF=45,线段BEDF.EF之间的关系是:图:冏：.例题讲解如图,在平面亘角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A,C分别在y轴、X辆的正半岫上，O在原点.现将正方形OABC绕点O恻颈时针方向旋转,旋转角为。，当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中,AB边交直线y=x于点M,BC边交X轴于点N.（1）当点A第一次落在直线y=x上时，求A,B两点坐标（直接写出结果）；设AMBN的周长为p,在旋赭正方形OABC的过程中，P值是否有变化?请证明你的结论.变式I:如ISaABC是边长为3的等边三角形qBDC是等腰三角形.BD=CD.NBDC-I2O",以D为顶点作一60。角，使角的两边分别交AB,AC边于点M,N,连接MN则AMN的周长为.D变式2:如图.在四边形ABCD中.AD/7BC.ZBCD=900.AB=BC+AD.ZDAC=45。.E为CD上一点且NBAE=45。.若CD=4.则AABE的面积为一.2.条件:等腰RtBC;NOAE=45°.变式I:已知在ABC.1.HAC=45。,AO1BC于点D.若BD=6,CD=4,求AAA8C的面积.变式2：如图，在等边.A8C中.点RQ在BC边上且."AQ=30。若BP=2,QC=3,求AB的长.三、一线三等角模型如图,ZABC=ZACE=ZCDE=90"如图,ABC=UCE=VCDE=60。;如图,ABC=1.ACE=CCDE=45°.例题讲解1 .（1【发现】如图.已知等边AABC.将一百角三角板的60。角顶点D任怠放在BC边上（点D不与点BC合）,使两边分别交线段AB.AC于点EF.图.V若AB=6AE=4.BD=2.则CF=:求证:aEBDsdCF：【思考】若将图冲的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角扳与AB.AC的两个交点E1F都存在，连接EF,如图所示,问点D是否存在某一位置,使ED平分/BEF且FD平分/CFE，若存在.求出那值；若不存在，请说明理由；（3）【探索】如图.在等股AABC中、AB-AC.O为BC边的中点.将透明的三角形板的一个顶点放在点O处（其中/MON"B）.使两条边分另狡边AB.AC于点E,F4点E,F均不与AABC的顶点击合）连接EF.设/B=,贝必AEF与AABC的周长之比为.（用含的表达式表示）.2,如图,将等边/18C折鼓,使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF,点E,F分别在AC和BC边上.若AC=8.AD=2.8JCF:CE的值为变式I：如图，在等边A8C中，D是BC边上一点,且BUtOC=I:3,把AA8C折Ii,使点A落在BC边上的点D处.那么AM:AN的值为变式2:如图.在平面直角坐标系中点0(0.0),A(6.65).B(12.0).将048沿直线CD折,使点A恰好落在线段OB上的点E处若OE=a则CE:DE的值是四、K字模型探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和恂造基本图形，将几何'馍块'化例如在相似三角形中，K字型是非常壬要的基本图形，可以建立如下的“模块”(如图)：图(I，已知Z.A=Z,D=BCE=90°,则/18CdDCE;请就图证明上述模块”的合理性；请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问画：G)如圄,已知点.4(-2,1),点B在直线,y=-2x+3上运动，若AOB=90。,，求此时点B的坐标；(ji)如图.过点.小一2,1)分另蚱与X辄y轴平行的线,交百线y=-2x+3于点C,D,求点A关于直线CD的对称点E的坐标.归纳若知道百角三角形的两直角边的长度(比值，可通过两个锐角顶点作过百角顶点的直线的垂线段构造K字型全等或相似.结论应用1.如图在AoH中，0为坐标原点，UOB=90。,04:OR=上运动，那么点B在函数（填函数解析式）的图象上运动.尽支式1B变式I：如图、在AAOB中,0为坐标原点,A0B=90。/B=30,运动,那么点B在函数（填函数解析式）的图象上运动.变式2：已知A是反比例函数y=海图象在第一象限上的T1:2,如果点A在反比例函数y=:（x）0）的图象如果点A在反比例函数y=；（幻0）的图象上力点，连接AO并延长，交另一分支于点B,以AB为边作等边点C在第四差限.已知点C的位St始终在一函数图象上运动，则这个函敌解析式为变式3：已知/18C是等边三角形,点A与点D的坐标分别是A(4.0),D<10.0).(I)如图.当点C与点O重合时.求直线BD的解析式：如图，点C从点。沿y轴向下移动，当以点B为圆心、AB为半径的。B与y轴相切(切点为C)时，求点B的坐标；如图，点C从点O沿y轴向下移动,当点C的坐标为C(O，-25)时，求4。的正切值归纳只要知道等边三角形两个点的坐标，经过定边的中点构造K字型.变式4：如图，在等腰OAB中,1.OAB=90。,，顶点。为坐标原点，顶点A,B在某反比例函数的图象上，点A的横坐标为2,则SOAB=Ol2 .如图.直线AMih且八与IZ的距离为与人的距黑为3.把一块含有45：角的直角三角板按图所示放翼.顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上，AC与耳线&交于点D,则线段BD=.3 .如图，P是正方形ABCD的BC边上的动点，以AP为斜边在正方形内部作一等腰RtPQ,"QP=90。,AQ=PQ.求乙WQ的度数；若正方形边长为4,8P=1.求DQ的长.变式：如图，以IIogramABC。的边CD为斜边向内作等腰Rt。匕使AD=DE=CEZDEC=90。,，且点E在平行四边形内部.连接AE,BE,则/AEB的度数是4 .如图,在平面直角坐标系中，直线y=-+b分别与X轴、y轴交于点A,B,且点A的坐标为用0),四边(I)填空:b=：求点D的坐标(3)M是线段AB上的一个动点(点A,B除外i,试探索：在X轴上方是否存在另一个点N,使得以O,B,M,N为顶点的四边形是菱形,，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标.变式：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,B在双曲线y=§(x>0)±.BC边与X轴交于点D.若点A的坐标为(2,4),求点D的坐标.orD五、双子型(一)全等双子型如图,A4BC和CEO均为等边三角形，C为公共点，月%,在下图中，我们能得到哪些结论呢。常见结论：三角形全等：；线段相等：；角的结论：.(2厢微变形一下，如图，ABCCED均为等腰百角三角形，C为公共点.常见结论：三角形全等：；线段相等：；角的结论：(3)再稍顺形一下，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗?常见结论：三龟形全等：；线段相等：；角的结论：.(4激们拓展到一般情况，如图，八"和八OE均为等腰三角形，A为公共顶点，目满足NBAC=ZDAE.三角形全等：；线段相等：；角的结论：.（二）相似双子型上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相1以，那相似肯定也是有的！如图，ABCCEO均为省角三角形，C为公共点，目满足,乙BAC=CDE仿照上面结论，有：三角形相似：；相似比为线段关系：；角的结论：.（若命题人将上面的图形补成矩形，可要慧眼识珠哦！）归纳若AABCsaABC;且A-BTC与/V一夕-C'排列顺序相同，要么都是顺时针，要么都是逆时针，则称这两个三角形构成项相似.反之，若排列J质序不相同，一个是顺时针，另一个是逆时针，则称这两个三角形构成逆相似.若两个共顶点三角形构成顺相似，连接另两组对应顶点，则产生新的相似（包含全等”情况,这就是通常所说的,旋转相似，一转成双'的含义.在这样的图形中，常常利用图形中咋字形”进行角的计算.练一练1 .已知:如图.在408和Co已中.OA=OB.OC=0D.1.AOB=1.COD=50°.(1)求证:AC=BD:NAPB=50。：(2)如图,在AAoB和ACOD中,OA=OB.OC=OD1ZAOB=ZCOD=.则AC与BD间的数量关系为.Zl«X图2 .【提出问题】如图，在等边八BC中，M是BC上的任意一点（不含端点B,G,连接AM,以AM为边作等边AMM连接CN.求证:1.ABC=1.ACN.【类比探究】如图在等边48C中，M是BC延长线上的任意一点（不含端点G,其他条件不变，中结论ABC=、,A乙/1CN还成立吗？请说明理由.【构造双子型】构造思路T在顶点处缺啥补啥.1 .如图.在四边形ABCD中.连接ACBD.已知ABC是等边三角形.NADC=3/.并且AD=4.5,BD=7.5.则CD2 .如图.在AABC中.1.ABC=45',AB=竽,BC=12以AC为直角边、A为直角顶点作等腰RIAACD,则BD变式I:如图.在AABC中ZABC=6(,B=2g.BC=8,以AC为腰*A为顶点作等膜AACD.且/DAC=120".则BD=.变式2:如图.P为等边AABC内一点.且满足/APB=15(.ZAPC=9伊.PB=1.则CP=.3 .如图.在四边形ABCD中,D=3,CD=2,418C=UCB=ADC=45。,则BD=