8个无敌模型—全搞定空间几何的外接球和内切球问题.docx

八个模型搞定空间几何体的外接球与内切球1.1球与正方体如图1所示,正方体/VJCQ-AAGR,设正方体的校长为E,E”,G为梭的中点，。为球的球心,常见组合方式有三类一是球为正方体的内切球.截面图为正方形E/P和其内切困,则0J=r=3;二是与正方体各擅相切的球,低面图为正方形E/PH和其外接回.则IGa=/?=*“；三是球为正方体的外接球,载面图为长方形ACIIG和其外接圆，则IAa=*长方体各项点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的极长为b.c.其体对角线为/.当球为长方体的外接球时.截面图为长方体的对角面和其外接圆.和正方体的外接球的道理是一样的.故球的半径R=I=立+：+'.1.3球与正梭柱球与一般的正梭柱的组合体,常以外接形态居多下面以正三梭柱为例，介绍本类短目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱八3。-346的高为九底面边长为”.如图2所示,。和。分别为上下底面的中心.根据几何体的特点.球心必落在高。的中点。,。=14。=凡八。=乎”,倡助直向三角形AOO的勾股定理.可求/?=他尸+(gG1.2.1球与正四面体正四面体作为一个规刖的几何体.它既存在外接球,也存在内切球.并且两心合一，利用这点可顺利掰决球的半径与正四面体的棱长的关系如图4设正四面体S-/ViC的棱长为。,内切球半径为匕外接第1页共12页球的半径为R.取AB的中点为。，E为S在底面的射影.连接CO3DSE为正四面体的高.在截面三角则有形SQC.作一个与边5Q,和力C相切,Sl心在高SE上的圆,即为内切球的於面因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球6同为。此时,CO=OS=R.0E=JSER+r=R,霜_/=.肝=!解得：R=叵,r=&a.V33412同时我们可以发现，球心。为正四面体高的四等分点.图4类型一、墙角模型（三条侧梗互相垂直的三棱雄组合问题，基本方法是补形法，即把三棱错补形成正方体或者长方体）例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(C)A.16B.2()C.2411D.3211(2)若三棱锥的三个仰面两垂直，且侧核长均为6.则其外接球的表面积是9"解：(1)V=A=16,=2.S=24,选C;(2)4/?:=3+3+3=9.S=4成二=91(3)在正三棱惟5-A3C中.W、N分别是棱5C、8C的中点.且AM_1.AfN,若恻授S4=2、6，则正三梭锥S-AZJC外接球的表面积是.36;T斛：引理正三校11的财检互蜜，证明如下如图(3)-1,取AB.8C的中点O.E,连接A£8.AEC。交于连接S”.则H是底面正三角形ABC的中心.SHJ_平面A3C.SH1.AH,.AC=BC1Af>=8Z.8_1.A3.，43_1.平面SCD,AH±SC.同理：BC1.SA.AC±SB1即正三棱钳的对蛾互垂直.本题图如图(3)2.AM1MN.SBHMN.AM1SB.AClSfi.a581平面SAC.；.SB上SA,SB±SC.SB±SA.BC±SA.SA_1.平面SRC.:.SA1SC.故三棱ItS-ABC的三棱条侧被两两互相垂直.(2)i=(23)j+(2J5)2+(23)i=36,即=36.正三核镣S-A3C外接球的表面积是36加(4)如果三棱铤的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是斛：(4)三条IH棱两两垂直，设三条侧蝮长分别为b.c(a,b.ceR),则就=12be=8,(ibc=24,:.a=3,b=4,c=2.ac=()(2/?):=+b2+c2=29.5=4=29.(5)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰包角三角形和边长为I的正方形.则该几何体外接球的体积为(2R)'=a2+h-+ci=3./?'=-,R=昱p424=一成3类型二、瓯面模型(一条直线雳直于一个平面)1翅设；如图5,PAJ平面A8C解题步骤:第一步：将/VlAC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小国的直径40,连接PO.则P。必过球心。；第二步：。为A8C的外心，所以OaJ.平面A8C豫出小EQ的半径。P=r(三角形的外接四直径算法：利用正弦定理.得=-=2r),OO1=-PA;sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱倍的外接球半径：(2/?-=PV+(2r)2O2=7¼球的表面积为(D)AlbrB.711C.-11D.-113解析：(4)在4BC中，BC'=AC1+-2BBCcosl20=7,Rr例7=f.A8C的外接球直径为2r=丁与一二SinNBAC+(2r)2；R'=r(1)在四面体S-ABC中,SAl5FffifAfiC./MC=120；SA=AC=2,八G=I,则该四面体的外接+OO'OR=M+Oq2(2R)2=(2r)2+5A2=(2较设：如图6,7.8.P的射影是MBC的外心。三棱IttP-ABC的三条恻蝮相等。三棱锥。-A8C的底面AABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆钳的顶点解题步骤第一步：确定球心。的位置,取A3C的外、。则RO,Q三点共线；第二步：先算出小圜。的半径八。=1.再算出援铤的高Pa=（也是脸钺的高）第三步：勾股定理：o=/+</=（一底尸+/解出R类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）I题设：如图9.平面PAC，平面ABC,且(即Ae为小圆的直径)第一步：易知球心。必是APAC的外心,即APAC的外接圆是大圆.先求出小版的直径AC=2r,第二步：在ZHC中.可根据正弦定理;7=7=-7J=2e,求出KsinAsinBsinC2如图,平面PACj_平面ABC,且A8J.8C(即AC为小圆的直径)OC2=O1C2+O,O2e>/?2=/+O1O2OAC=2,R二OQ?3如图9T,平面PAC，平面A8C.S.ABIBC(即AC为小四的直径).且PA1.AC.则利用勾股定理求三极锥的外接球半径：1(2R)2=P'+(2r)*IR=>42+(2)2;2Ri=r2+(X)i2oR=yjr2+OO'例3(D正四蝮钳的顶点都在同一球面上,若该梗镀的高为1.底面边长为2、行，则该球的表面积为,(2)正四极锥5-A3C。的底面边长和各级梭长都为、行，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一解：(I)由正弦定理或找球心都可得2R=7.S=4Mf'=49".(2)方法一：找球心的位置,易知，=1,%=1.a=1.故球心在正方形的中心ABCD处./?=1,V=方法二：大圆是轴数面所的外接圆,即大圆是5AC的外接圆,此处特殊，m5AC的斜边是球半径.2R=2,R=1.V=3(3)在三棱椎P-ABC中.PA=PA=PC=5,恻棱尸A与底面ABC所成的角为60二则该三接键外接球的体积为(A.*B.C.11D.43解：选D,圆钺A.3.C在以r=、-的圆上，R=I(4)已知三棱惟S-ABC的所有顶点都在球。的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球。的直径,且SC=2,则此棱钳的体积为()A类型四、汉里模型(直梭柱的外接球、HI柱的外接球)<.C,题设：如图IO-1,图10-2.图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于回柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心。的位置,是AA8C的外心,则凶I1.平面A8C；第二步：算出小IEa的半径Aa=r,Oa=5人4=5（AA=力也是圆柱的高）；第三步：勾股定理QT=OQaO=尿=（夕+/nR=+（乎.解出R例I（I）一个正六棱柱的底面上正六边形,其他模垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为底面周长为3.则这个球的体积为O解：设正六边形边长为“，正六棱柱的高为"底面外接园的关径为MOfl=-.底面积为5=6-乎一（；）;:=3,%=SA=注小小S心净W）F?=1.球的体积为丫=丁（2）直三棱柱ABC-A4G的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,NBAC=12".则此球的表面积等于。解：BC=25.2=v=4,r=2,R=M、S=20兀Sin120,(3)在宜三棱柱ABC-A4G中,AB=4.AC=6,A=g.AA=4则直三棱柱ABC-A同G的外接球160的表面积为。苧不斛析：8C,=16+36-246,=28BC=141.2r=平=箪，r=纯.233322,AA、228,40。160R=r+(T)=y+4=y,S=-11类型五、折要模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折（如图ID第一步：先画出如图所示的图形，将ABa）画在小四上，找出fiC0和A'8D的外心和;第二步：过乩和“2分别作平面8C。和平面A'4。的垂线,两垂线的交点即为球心。,连接。EOC；第三步：解AQEH算出0%,在RAoc73中.勾股定理O+CH；=OC，（1）三棱锥。一八BC中,平面PAC_1.平面八8C,/MC和aA8C均为边长为2的正三角形,则三擅锥P-A8C外接球的半径为.2421解析：2"24=诋=忑，47=耳，°出=忑.2145_15R-=OjH+4=-+-=-.K=-i法二：OJ/=K,0,H=,A=l,R2=AO2=AH2+O1H2+O1O2=-,/?=33（2）巳知的3所在的平面与矩形A8C力所在的平面互相垂直,E,=EB=3.D=2.EB=«）则多面体E-A8C7）的外接球的表面积为6解析:折决型.法一：E48的外接圆半径为/;=3,OO1=I.R=4M=2;法二：0附=§,r2=O2D=-,/?2=-+-=4.R=2,S=16”44类数六、对梭相等模鞭（补形为长方体）题处三棱馋（面四面体）中,二知三组对粳而J相等,胸接球半径（A3=CD,AD=BC,AC=B山例6(1)梭长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个板面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.(2)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为I的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大版上，则该正三棱惟的体积是()A.也BJ5c.?"&解：(1)截面为A,c,面积是J5；I!.JBWffB43412设底面边长为则2R=就h2,ES/W(2)高=R=I.底面外接回的半径为R=I,直径为2R=2.三梭他的体积为£=3/，=日(3)在三棱钳八一88中,A8=a>=2.AD=BC=3.AC=8£)=4,则三棱锥人一88外接球的表29面积为0-112翻析：如图12,设补形为长方体.三个长度为三对面的对角线长，设长宽各分别为b.c,则<+=9.b:+c2=4,c2+2=16.2(/+C)=9+4+16=29,2(«*+/)=9+4+16=29.2,29田29t.29a'+b'+r=.4R-=tS=11222(4)如图所示三棱