模型20 加权费马点模型（解析版）.docx
加权费马点模型模型介绍对于费马点问题，火案已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最像中三条线及的系数有不为1的情况，我们把这类问题购为加权费马点问超，费马点问蹈属于权为1的特殊情况.加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的放转或放缩方法.【矣型一单系数奏】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为荷单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度，一种是旋转放缩.【矣型二多系数臭】其实当三条级段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的.经过费试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三用形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：E31.将最小系数提到括号外：02.中同大小的系数定放附比例：03.最大系数项定於转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为载樽中心），於臂系致不为1的两条微段所在的三角舱.01例题精讲¢111己知，如图在448C中，NAC8=30°.BC=5,C=6,在AA8C内部有一点。，连接。A、DB、OC则。4+08+OC的最小值是收_.解：如图，过点C作C&1.CC.JlCE=CD,连接。£,将AM)C绕点C逆时针旋转90'fffJEC.连接FT?,过点尸作FHHC.交Be的延长线于，.VCElCD.CE=CD,>E-2C>.VAZ绕点C逆时针旋转90得到江CEF=D.NACF=90",CF=AC=6.：.DADB*2DC=DB«EF+DE.当点F.点£,点。.点B共线时,DA+DB用DC仃最小值为IB.VZFCH=180i-ZACF-Z4C=60j.二/CF"=30°,：.CH-Cb3.FHMcH.32：.W=Vfh2+BH2=IV27+64V91.放答案为：91.A变式训练PC的最小也.【变式17.如图，P是边长为2的等边448C内的点'.EBDBP.CE.作EE1.CB于F.嚼嘿啮H=3A23BD-MPB.DE34P.，w=bp2+bd2=2PR'二当CAD.V共线时.PC+PD+Dtid'.UII：PC+2P8+最小为(：£Rtfc-F.HE-243.ZEF=ISO,-ZA«£-/.AHC-180-90-M)t-30'.fc-j-BE3BF23cos30023义隼=3.fl：Rtct'P.EF3.CkBF+BC3+2=5.EF2<F27(3)2+522V7二号阳+以吟Pci(3PA+2pw+/>().变式1-2.己知：AC=4,BC=6.AC8=6(,P为AABC内一点,求8j+2AP+>C的般小伯.符aACP饶力:八逆时针旋转90°,并使各边扩大加倍至&«?'P'.：.PP'2AP.P'C'4ZPC.AC'3-AC43.BP+2jP+3PC-BP+PP'+/»,CBC,，当8、P、P'、C共战时，BP+2.AP/PC垃小,作占£_1.AC于£作C'DlAH.交8A的延长线于£>.fl:RlBE.RE.,.AE=C-CE=I,：.=<7(33)2+12=.lAC,A。得.AE_BE_ABCyDADAC'.8P+2WSBpC的最小值为：N,'.【变式1-3.如图，正方形A8C。的边长为4,点P是正方形内部一点，求阴+2P8+PC的最小值.解：延长。C到从使褥C"=28C=8,W.W=45,在/C8，的内部作射战AA使得NPBJ=NaiH.使得BJ=烟BP,连接PJ,JH,H.里J1.BCBHIdJBPsdHBC,：./BPJ=/BCH=Xy.P-BJ2-PB2(5PB)2-PB2=2PB.；“BC=ZJBH,爵嘴,；.APBCsZBH,.PCPB.5.-JHBJ5.7-5A,C.,.+2,+5PC=l>+PJ+HJ.：.+2P+5PC42+122.用+2PJ+5,C的值以小,G小俏为10.实战演练I.已知ZSA8C中，BC=a，AB=C/8=30°,产地A48C内一点，求用+P8+PC的最小值.(I)若Z48C每个用小于120°时,只辐梅AB尸C绕点B按逆时竹旋传6)得到48P'C：易知此时有8P=PP'.PC=P'C.从而出+P8+PC=八P+>P'+P'C'AC=a2+c2111.1.I-.ICl'i'；'；,呆小俏为九2+。2：<2)若有一个角大于I大,时,此时以该点为中心,以1X0°减去该角大小为旋转角进行旋转.1/八T2(),时,当11八正/八+P8+PC足小,"*Va2+c2-2accos30:/CK20”时,当。点与C用合时，例+P8+PC呆小.最小价为Wa2+c2-2accos30。植谷案为：a2+c2/<7a2+c2-2accos3002 .y=2x2-2x+l+2x2-(3-1)x+1+2x2+(3+1)x+1的最小成,愀囚为y=2c+l+2x2-(3-l)x+l+2x2+(3+1)x+1Vx2+(x-1)F(X坐)lij)24(吟)2+(g'!lHtIA1A(.r.).O.I).B(-C(-uy=TA+TB+TC.容易,盼匚X8C是中心为(0.0).边长为5的券边C角形.根据黄马点原理.当7在。点处时、力+T8+7T有鼠小MMn=3.3 .已知：等腰RlZlABC中,ZC=90.AC=BC=I,。是八8C的费马点(/八DC=/BDC=NAOS以8C为边作等边A8CE,连接/)£,ICE=BC,NCEB=，BCE=CRE=5°,；NBDC=I20".二点£、从C.。共同.ZCDE=ZCBf=M).VZ4DC=120°，：.ZADC+ZCUE=ISO*."、D、£共战，在OE上截取DF=CD,.4DF是等边三角形，"BCE=NDCF=W,CF=CD-：.ZDCR=Z.FCE.CfcACtfD(&4S).'EF=BD,；N八。£+N八。8=60”+120*=180,.ADCD+BDAl>DF+EF=AE.在八CE中，CE=AC=I,ZACE-ZACH+ZBCE=W+60'=150.作EGlAC干G.fl：RtCGE,ZGCf=ISO-ZACE=W.G=-CE=.CG=C尸COS30°=喙.aRtGE.AG=C+CG42+32GE-4-.2aeag¼e2=()2÷()2=23-2-'4.如图，在八8C中，ZCB=60,C=6,8。=小行，点。是八8C内的一点,则/M+PB+&PC的以小俏是_/39_.招烧力:。购时针旋转90'至"?»连接也.BdEhBC.交8C的砥长线于点匕,D=2PC.DE=P.：.PA+PB心PC=f¾PD*DE.：.当B.P.I).E共觇时.隙+尸8啦。C最小.t小值为BE的长.在Rt(?£户中.ZtCF=ISOo-ZACB-ZACE=180-60'-9<)'-3(.CEAC-4-j3EF-43sin3023.C-43cos30=-3×6：.BF=BaCF='2,在RtZSBW中,8EBF¼F2"-122+(23)22V39m+*+2,c最小值，为239.故答案为：239.5.法国数学家费马提出：在内存在一点尸.使它到三角形顶点的距黑之和最小.人们称这个点为费马点.此时¼+P8+。的值为费力即肉.经研究发现：在锐角A8C中,微巧苴P满足NAPB=NBPC=ZC¾=120",如图，点P为锐角4A8C的费马点，FIHt=3,PC=4,BC=W.则由马距离为7+亚一VZAPR=/RPC=ZC=12()./ARC=Wv,.N1+N3=6().Zl+Z2=60t,.N2+N4=60°.ZI=Z4.Z2=Z3.：.2BPg4NPB.PCPB"PBPA'即P3=12-23.M+PH+PC7+23故答案为：7+2«.6.已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费丹点.如果4A8C是蜕角(或直角)三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足NAP8=N8PC=N0¾=120”.(例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点.若AB=AC=Gjc=23.P为Aabc的取马点,则用+pb+pc=5:若A3=25HC=I.AC=4.P为色ABC的费R点,则R+PB+PC=q一解：如图，过A作八。IAC.垂足为4过8.C分别作N/)8P=NDC夕=30'.则PB=PU。为ZUBC的费勺点.A8=AC=7,C=23.-'BD=DC=yBC3Fn30。喘辱，AMJ=I.PB=PD。=2.rDsin30NAD=AB2-BD2=73=2.M+P8+PC=5：如图:VAH=23BC=2AC=4.aM+8C2=16.Ci=I6."炉+8-NABC=90”，Bf1VsinZBAC=sin30v/ZffAC=300，将aAPC烧点A逆时打旋转6(),市旋状可得：APCAPC.：.AP=AP.PC=P,C.AC=AC.ZCAC=ZtjAPt=Mo.二八/平'是等边：角形，：.NBAC=90”,.为AA8C的费马点，SP3,P.产,CPl点共线时候.M+PB+PC=BC.3P8+P1.8P+P。=BC=QhB2+hC'?W(23)2+42=27-故答案为：5,27.c7.数学上称“费9点'是位于三角形内且到三角形三个蹊点即离之和最短的点.现定义：菱形对角线上一点到该对用线同侧两条边上的两点距禹最小的点称为类费/点.例如：菱形AW/）.。是对角线BDI-点，£,尸是边8C和CO上的两点，若点P满足PE与。尸之和G小，则称点P为类费马点.<1）如图1,在变形ASC。中，AB=4,点P是8C上的类费马点E为8C的中点，广为C。的中点，WlPEPF=4.后为比*上一动点，/为CD上一动点，aZAfiC=601.则PE+”=-3-.（2如图2.在菱形A8C/）中.A8=4.连接AC.点。是aASC的费马点，（即叫PB."之和最小）.当NA8C=60°时，BP=_-_.当NA8C=30°时,你能找到4A8C的费T点。吗？画图做简要说明,并求此时用+P8+PC的值.解：（I）取AB的中点E.连接PE.：四边形A8C。足芟形.IBC=AB=CD./ABP=NCBP.:点£E分别是A8.8C的中点.：.RE=RE.住也8EP和4BEP中，BE=BE,NEBP=NE'BP.BP=B
