模型18 奔驰模型（解析版）.docx
大招奔驰模型因为像弃Ifc车标，所以叫弄It模型.EI【结论】如图，等边ZkABC,PA=3,PB=4,PC=5,则NAPB=I50*,SX=FAtf=至等El知I旋转可以让线段动起来证明：过点B作BQ1.AP与点QVNAPB=I50'NBPQ=30°BP=4BQ=2：.Pd=JBP2-BQ2=23：.AB2=AQ2-F2=25+123JflC哼用在咨以AP为边向左侧作等功ZAPD,连接BDVABC,ZsADP为等边：角形.*.Z0AB=60°-ZBAPNPAC=60"-ZBAP：.Zdab=ZPAC易证4DAB<ZPAC(SAS)DB=PC=5VDPj+BP2=DB-，ZDPB=90jZAPB=150'各种旋法，EJ超酷炫又实用I例题精耕【例1】.如图，点。是等边ZiABC内部一点，BD=,DC=2.D=3,则/ADB=150解：将次7)绕点R逆时计旋转60”得到ZUBO.：.HD-Hl),.AIJ=CD.；.NDBD=60*,.8。足等边三角形，工NBDD=60°,;BD=l,DC-2.AD-V3.D=l.W=2.在/»/)中，ADf2=ADDf2.二/八"=90°.ZADB=60'+90*=150.故答案为150.6A变式训练【变式1T1如图，点。是等边ZA8C内一点，八。=3.ZJD=3.=32.ACE是由AABD绕点八逆时针旋转得到的.则NAoC的度数是（>D.55,A.40"B.45"C.1051解：连接CE二八£=八。=3,CEHBD=3,CD32.ZftW=ZCAt.,.,A8C是等边三角形.ZfiC=601,.Z4HZDC=60i.,.ZCE+ZDC=60",即NOAE=G(T,二/)AE是等边：的形，：.DE=AD=3,.32+32=(32)2.：.DE2CE2=CD2,.DEC金包用三角形.ftZDEC=W.".DE=CE,NEDC=45'.ZADC=ZADEZCDE=105".故选：C.CP.若AP=6,WP=8.CP=IO.则变式1-2.如图.等边三角形ABC内有一点尸.分别连接AABP、SmBrS-BPC=24+16V§.耨：如图.将火.烧点8逆时针施转60°后得ZXA从连接根据旋转的性廉可知，旋转角NPBP'=NC8=60".BP=BP'.:ZPP'为等边.用形，：.BP'=8/=8=尸产:Ih旋找的件版可知.AP'PC=Id衣.ABPP'中,PP'=8.AP-6.×Ply×AP24+lf3由勾股定理的逆定理得.PP,是R角三角形.-SAt-+SB>C-S1l.u-S-BgSRP-故答案为：24>lf3【变式1-3.如图,点P是正方形八BC。内的一点，Fl¾=1.PS=PC=亚，则NMW的度数为IOU耨：如图,将ZXAHJ烧点A逆时针旋转<X)'f<JADE.连接上r,.,.4P4ED.：.AE=AP=i.>B=DE=2.N用£=90°,NAM=NAPB,.,E=2AE-2.NAEP=Nw1.H,：.DE=DP=PE=®,.OEP足等边三角形，ZDCP=60,.ZAED=IO5=NPB,故答案为：IOU.实战演练1 .如图，点。是等边三角形A8C内一点，OA=2.08=1,OC=近，则八OB与A8OC的面积之和为解：将八08绕点8地时针版K60'fiCD.连接OC,1.OB=BD,NO8。=60°,CD=O=2,，雨）/）电等边：.角形,J.OD=OB=."OD2+OC2=I2+（3>2=4,CD2=22=4.od2+oc2=cd2.-×i24-×1×3=-ZDOC=9(),.：,AOBijBOC的冏积之和为S,oc+5,W7)=S故"”SCOW)=故选：c.2 .如图，P是等边三角形A8C内一点，将戏段AP绕点4股时针旋转60“得到跳段4Q,连接BQ.若出=6,PB=8,PC=IO,则四边形AP8Q的面积为()A.24+93B.48+93C.24+183D.4S+I83耨：连接PQ.如图.,.,A8C为等边三角形.C,ZfiztC=60",.段段AP绕点人顺时针版转60得到段段Q.：.AQ=AP,N¾Q=60",.APQ为等边1角形，PQ=AP=6.'：APAQ-ZRMi-NCA8-/阴8.".ZCAP=ZBAq.i.APC和人。8中AP=AQZcap=Zbaq.AC=ABAPCAQR(5>*5).CP=SQ=IO.在Z800中,IPQ=6.BP=8.BQ=1().而62+82=IO2.：.PgPBl=B*为出角：角形.N8P0-<X，四边形AP8Q的面积=SIMSSMV=X6X8近X6，24=24+'3-3如图，O是正AABC内一点，0A=3,OBM,0C=5,将线段Bo以点B为旋转中心逆时针旋转60*汨到跳段BO',有下列站出：4B0'A可以由ABOC绕点B逆时针旋转60°得到；点0与。'的距离为1：NAOB=I5。°卷SX边对mb。=6+35:SMOC+Smob=6+g5其中正确的结论是（）A.©©©B.C.(3烦D.解：如图,连接00'.由奔驰模型推存过程可知0=6(,B()C4H0A./A()H=150°,ZMMK).为等边三角形,所以(M)-OB1故货:正确S用-o=4wo+%8。=33*1+9心6471故描洪如图,将AAOB绕点A逆时针旋转60',使得AR与AC我合，点0旋转至点0”.易知*）（）"足边长为3的等功V角形,axr是且用三角形,则SIiAOC+$M08=S/WOBO=SliCOOTSgOO=i×3×1+y×3=6+J3.故正确.综上所述,正确的钻论为.故选A.4 .如图，在受形ABCD中，NABC=60",触角线AC平分NBAD,点P是AABC内一点，连接PA,PB,PC.若PAW,PB=8,PC=IO,则菱形ABCD的面积等于.解：过A点作Al1.1.BP,交BP的延长镂于H.由仰驰模型可知APB=150°,ZAMI=30,AH=PA=3,PH=33,WI=8÷33,.*.AB1=H,+BH,=10O+183.：:=2Sc=2×fxAB=53G+725 .如图，点。是正方形ABa）内一点，若PA=,PB=2.PC=I,则/8PC=13是解：.四边形A8CC为正方形，二/八SC=90",BA=BC.把AHAP绕点8顺时计旋转90°将到zBCE连接"如图,：，BP=BE=®'CE=AP=遥,ZPBE=W.；.户BE为零腰耳角:.角形.N8PE=45,E=2,=2×2=2.PCT',.VPC=I.PE=2.CE=yS.,.I1C2+PE2CE2.二尸CE为口角三角形，NCPE=90°,.,.ZHPC=ZBPE/CPE=45,+90"=135".故答案为：135'.6.已知P是等边AABC内一点，若用=3,PB=5,PC=4,则AABC的面积=36÷2534解：.八BC为等边三角形.：.AB=AC,ZBAC=Wo,把AAPC烧点八顺时叶旋转60可得到ZAW),如图，：.AD=AP-3.BD-PC=4.OW=60'.NADB=NAPC.八DP为等边三角形，：.DP=AP=3,NAoP=60”，在48DP中，VDP=3.DB=A,BP=5,而32+42=52.：.DP1DB1=BP2,为五角加形.NBQP=90；.*.ZDB=ZADP>ZDP60+90°=150,ZPC-I50,:VZlD=150w.ZfiDE=304.在R心BDE''.HE=Rf)=2.J=3BE=23：.AE=Al)+DE3+23.在RAE,p.=BE2+AE2=V22+(3+2>3)2=25+12V3.Sw=4x(25+123)2：返.44故答案为：3吐47.如图，P是等边三角形A8C内一点，将线段4。绕点4地时针旋技600得到规段AQ,连接BQ.若布=6,PB=8,PC=IO.则四边形八尸8。的面积为24+95.；八8C为等边三角形，ZJAC=60,AB=AC.V线段AP绕点A顺时针故转60°得到线段Aa：.AP-PQ-6./¾Q=60'.AAPQ为等边三角形.Q=A尸=6,a：ZCAPZBAP-(M,NZMr÷84。60°.ZCAPZBQ.花八PC和八HQ中，AC=AB<Zcap=Zbaq.AP=AQ.".APCARQ.PC-QB=IO.在PQ中,VF2=82=64,PQ2=62,而64+36=100.JWQ为g角三角形,/BPQ=W,SH4.APH(»-S.,H>+S.APif-×6×8+故笄案为24+9l8.如图，P是等边三角形A8C内的一点，(=IO2.X62-24+*3.4且阴=3,PB=4,PC=5,以8C为边在AABC外作ASQCPBA¾.连接PQ.则以下结论中正确有（填序号）48PQ是等功-：角形CPCQ是宜角：角形/APE=150'冬耨：TZA8C是等边三角形.：.ZABC=My./APC=120。8。一占例.：.NCBQ=乙BPPB=QB=4,=QC=3,ZB!4=ZC./PBQ=/PBC+/CBQ=/PBC+NABP=/ABC=W.ABPQ是写边.用形.所以正确：PQ=尸B=4,PC2*OC2=42+32=25,P('2=52=25.PQ1QC2=PC2.>QC=9(.APC0是直角V角形，所以正确：.Z8PQ足等边二角形.：.乙PQB=4BPQ=工NAPB=N8QC=NBQP+NPQC=W+90°=150",所以正确：APC=360'-150°-60'-/QPC=150'-ZQPC."：7PQC=90a,PC2QC,二QPC30°,ZPC120.所以错误.所以正确的有2通.9.如图,户是正三角形八8C内的一点，I1.=6,P8=8,PC=10,若将4¾C绕点八逆时针抗转后，得到尸A
