模型07 将军饮马模型（解析版）.docx
大招将军饮马最值模型模型介绍一、两条线段上的能小值.冬本明帝解析：(一)»巳*两个走段：1.在一条出城m上，求一点P.使PA”B最小:(1)点A、B在巨线m两侧：(2)点A、B在直线河侧:A、A'是关于出线m的时称点,2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小.<1R<2)一个点在内例,一个点在外侧：H(3)两个点都在内例：一Bn(4)、台球两次碰壁模型变式-：已知点A、B位于直线m,n使得围成的四边形ADEB周长最短.-R,R9A1»l的内例，在直或n、m分别上求点D、E点,(I)两个点都在直线外侧，MnH变式-,；已如点A位于Ilifim,n的内侧，在直规mPA+PQ+QA周长最短.B,n分别上求点P、Q点n二、孝两级Iu1.的最大僮用题(运用三角彩两边之左小于第三边)*本网力解析：1、在一条出城m上，求一点P.使PA与PB的差最大：(1)点A、B在曲线m同蒯：裤：延长AB交直线m于点P,根据：.角形两边之差小于第=边,P%-PB<AB.而PAPB=AB此时最大.因此点P为所求的点.(2)点A、8在11m异侧：解：过B作关于出线m的对称点B二连接AB，交点直线m于B此时PB=PBlPA-PB显大值为AB'国W例题精讲考点一、两定一动模型【例1.如图，在AABC中，AB的垂直平分线OEl交BC于点。.垂足为AM为。月上任意一点，HA=3,AC=4,BC=6,则AA,MC周长的最小伯为()A.7B.6C.9D.IO解：如图所示,连接8,是八8的垂直平分线，.,.AM=BM.：.AMCM=BM+CM.当从f.C在IfiI一直峻上时,WCAf的最小值为BC的长.又：AC=4.BC=f>.用长的址小值=6+410.故选：D.A变式训媒【变式1-1.如图，Rl4C'P,AC=BC=4,点)E分别是AB.AC的中点，在C"上找一点尸.使解；如图，连接8E，则就是用+尸E的必小佛，.RtC.C=BC=4.点。，E分别是A8,AC的中点.：.CE=2ctn,E-20-25.M+PE的公小值是2«.故选：C.【变式1-2,如图.在坦形48C7）中.A8=5,AD=3.动点。满足S,.8=S）Mu&a则点。到A、BW两点距离之和P+PB的破小值为_VZ1_.解：设中A8边上的高是力.""S'a=s：h<i><t-D.23二八=晟八。=2,.动点?在与A8平行且与A8的即禹是2的直线如图,作4关于出线/的对称点£连接AH连接8E.则HE的长就是所求的做短即禹.在Rl½8E1中.V=5.£=2+2=4.'fe-AB2+AE2=52+42=VZl.叩尸8的以小tflIl故答案为：41【变式1-3.如图，NAO8的边08与K轴正半轴重合，点P足。4上的一动点.点N（S,0是08上的一定点，点M是CW的中点，AOH=30°,要使PM+/W最小，则点。的坐标为备至咨）一解；作N关JO的对称点N.进接NM女OfP.则此时.QW+FN最小.,：OA承出平分W.()N=ON,.NNoN=2NA0N=tMy.，ZiNtW是等边三角形.；点M是ON的中点，AVMIo1V.VjJV<5,0),ON=5.V?.''.M是ON的'点.,.0M考点二、一定两动模型【例2】.如图,在RI八8C中，ZACB=W,AC=3.BC=4.A8=5,D平分NCA8交SC于D点,£.F分别是AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为VZCAD=ZBAD.AE=AE,.'.A1.AEGCSAS).：.I-E-EG.：.CE+EFCE+EG.则以小值时CGIltrt-Aftilj.CG的长度.A变式训练【变式2-1.如图，在Rl八8C中，Z=90,Z=60,.BC=4,若E是8C上的动点，F是AC上的动点，则4E+EF的最小值为3.AZC=30".作A关千8C的对称点“HCiH.过。作DR1.AC于A交8C于£.则此时E+EF的值输小,且E+EF的朵小值=OR连接CD.Hl4C）是等边三角形.V5ik=4-ACDF=4-DCH.22'JAD=C,：.DF=CH,VZAC=90,ZACfl=30".：.ABC-2.2同理BH-.CH=HC-R=3.DF=CH=3.AE+H的最小值为3.故答案为:3.【变式2-2).如图，正方形ABCD的边长为4.NZMC的平分战交DCF点E,若点P.Q分别是AD和AE解：作。关于AE的对称点。',再过作"P'A"于P'.V/W±AE.XZAhD=ZAI-D','：AF=AF.ZDE=ZCAE.DAFD,AF.D,是。关于AE的对称成，A。'=4D=4.：.D''即为D+PQ的最小值,；四边形AHC是正方形.INDAD'=45".：.AP'=P,D'.三R(P,D,.P'D't+AP'i-AD,2.AD,2=16.'：AP'=P'tr.2P,D,2AD,2,即2P'D,2=16,：.P'D'=22邛)0÷>Q的G小侑为2a，枚答案为：22【变式2-3.如图，四边形A8CC中，NftW=130°,ZB=ZD=90t,在8C、C。上分别找一点时、M使八MV周氏最小时，WI/4MN+ANM的度数为100'解：如图.作点A关于BC的对称点A',关于(7)的对称点A"连接A'A”与BC、C7)的交点即为所求的点M、N.8AZJ=130°.NS=/。=90”.Z4'+NA"=180°-/130°=50".由轴对林的性施得：NA'=ZA'M.A"=Z"N,：.NAMN+NANM=2(NA'+NA">=2×5O*=IO(T.故答案为：100'.【例3.如图,Afi=AC.AC的承出平分线交AC千点M殳AB于点M.AB=2an.ABMC的周长是20cm.若点P在直线MN匕则PA-PB的最大值为.解：；MV垂直平分AGM-C.又；Cb.wc=8M+MC+8C=20on,BM+MA=AB=2cn,C=20-12=8(cm).在AAY上取点P，:MN承H平分AC连接M.PB,PC.".PC二用-PB=PCPB在ZSPSC中PC-PB<BC当尸、B、C共视时，即P运动到与产电台时,（尸C-尸历有依大（&.此时PC-PB=8C=8cm.,变式训练【变式3-1.如图.已知点4的坐标为（0.1.点8的坐标为（.-2），点P在直线F=-X上运动.当网-。用最大时点P的坐标为解：作A关于百战产-X对林点C易得C的坐标为（-1.0）：连接8C,可得出设8C的方程为F=4 .45 5'求SC与直战y=-X的交点，可得交点坐标为（4.-4）：此时I阴-/W）=IPC-PBT=BC取行用人假，其他BCP不共线的情况，根据三角杉三边的关系可得IPC-PB<BCt【变式3-2.如图.两点A、8在直线MN外的同恻,A到MN的距离AC=I6.8到MV的距离80=10.C。二心点。在出线AfN上运动.则|出一N曲的授大值等于10.解；延长48交MN于点片.VfA-P'B=AB.AB>PA-PflJ.二当点P运动到P'点时,I网-尸研她大，CD=8.AC-16.过点B作HE1.AC.则BE=CD=8.AE=AC-BD=16-10=6.,.=AE2+E2=62+82r,0m-PeI的最大值等于1().故答案为：10.【变式3-3.如图.在菱形八8。)中，C=6,8。=8,点£为八8边的中点，点P为时角城8。上一动点，连接PC,PE.求IPC-尸El的最大伯.解：由菱形性旗可知.C点关于8。的时称点A,连接W>.则AP=CP,MPf,PE-PA<1.则当点RE、A:点共线时，PE-M取被大伯，鼓大怅为AE.PC-阳的最大值为4£：菱形ABCD中.对角线AC=6.BD=8,.,.OA=3.08=4,J.B=5.；点E为AB边的中点：.AE=2.5.>C-阳的最大值为2.5.模型四、造桥选址模型（即动线段类型）【例4.如图，在矩形ABCC中，AB=5,BC=4,E、F分别是A。、8C的中点，点尸、Q在EF上.且涵足PQ=2,则四边形APQ8周长的以小做为12.解：'JAB=5,PQ=I,二四边形.XPQB的周长为AP+*BeABAP+80+7.则要使四边形APQB的周长以小.M要AP+BQm小即可.在八8边上破取AAf-。，；点尸足8C的中点，二点B关TEF的对称点为点C,连接C',W.交杯于点Q.则GU即为APBQ的及小值.32+42=5，四边形APQB的周长破小位为5+7=12.：12.A变式训练【变式4-1.如图，在平面直角坐标系中，矩形A灰刀的顶点8在原点，点A、C在坐标他上，点。的坐标为（6,4）,E为（7）的中点，点0、Q为8C边上两个动点.且0Q=2.要使四边形APQ打的周氏最小，则点。的坐标应为_（,0>.陋：点A向右平移2个单位到点E关fBC的对称点F,连接WR交BC于Q,此时MQ+EQG小，'：PQ=2.DE=CE=2.4E=62+22-2jQ.要使四边形APQE的周长以小,只要AP+EQ最小就行,即AP+EQ=MQ+EQ.过M作MMlRCJ'A'.设C0=x.则10=6-2-x=4-x.<4MNQS.CQ.MN-NQ"CF-CQVM1V=4.CF=CE=2.CQ=x,QN=Ax,.4_4-x解得:X=等.:8/=6-2母=看.故点P的坐标为：（看，0）.故乔案为：（卷，0）,【变式4-2.如图，正方形A8C。的边长为3,E、尸是对角戏8。上的两个动点，且EF=如,连接CGCF.则ACEF周长的最小值为+25-国8C解：如图所示，连接AC,以AE,E尸为钻边作平行四边形AEFG.则EfG,fF-G=2.ZGD-ZDF-45=NZMC.ZGC=90o,'：AK-CB.ZABE=ZCBe.BE=BE.ABE.CE(SAS).CE=AE=GF.：.CE+CF=GF+CF，.JlG,F,C在向一在线上时，CF+FG的/小值等于CG的长，此时RtCG'I.CG=AG2+AC2=7(
