Matlab在复变函数中的应用实验课(0903).docx
Matlab在复变函数中应用运城学院应用数学系>=3*exp(p5/)y=2.4271-1.7634/.yl=3exp(p5*/)>'>=2.4271+1.7634/.yanx=1.2181-0.5423/xyans=0.1394-1.3260/由此例可见，S)5i相当于()(5*i),和()5*i不相等。5 .复数的平方根复灵敏的平方根运算由函数即实现。调用形式SPmX)返回复数X的平方根值6 .复数的幕运算复数的麻运算的形式为叱，结果返回复数X的”次显。例求下列各式的值(-)(16)数值值tan(.r)返回复数X的正切函数值atan(.r)返回复数X的反正切值COt(X)返回复数X的余切函数值“cotCO返回复数X的反余切值sectv)返回复数X的正割函数值6secr)返回复数X的反正割值csc(r)返回复数X的余割函数值ucsc(v)返回复数X的反余割值Sinh(X)返回复数工的双曲正弦值coth(.r)返回复数X的双曲余切值CoSh(T)返回复数X的双曲余弦值scc(x)返回复数X的双曲正割值tanh()返回复数X的双曲正切值cscA(-)返回复数X的双曲余割值9.复数方程求根复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。见下面的例子.例求方程'+8=0全部的根(参见参考资料4P.32.1-16)owwS3+8=()I-21-*3(I2)H+i*3(l2)3留数留数定义：设。是/的孤立奇点，C是。的充分小邻域内一条把“点包含在其内部的闭路，积分2川，称为/在“点的留数或残数，记作ReMf(Z)M。在MAT1.AB中，可由函数residue实现。residue留数函数(部分分式I绽开)IRRK=residue但A)函数返回留数，极点和2个多项式比值B(三)H(三)的部分分式绽开的干脆项。&=4+j+KA(三)s-P(I)S-Ps-P(n)假如没有重根，则向量B和A为分子、分母以S降曷排列的多项式系数，留数返回为向量R、极点在向量P的位置，干脆项返回到向量K。假如存在M重极点即有"。("，"-。则绽开项包括以卜.形式Rj)+Wj+1)+m"，1.l)s-P(J)+(S-P(J)2",(s-P(j)n,WM=侬汕MRmK)有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式绽开还为系数为B和A的多项式比的形式。例求如下函数的奇点处的留数。z+1z2-2z在MAT1.AB实现如下r,pfkresidue(t1J,I,-2,0)I1.50-0.50P=20k=U所以可得Re4/(z),2=1.5;ReSt/(z),0=-0.5。例计算下面的积分f-dzj<,z4-I其中C为正向圆周IZl=2。解：先求被积函数的留数r,p,k=n>sidue(,0,l,0,0,0,-1)0.25(X)0.25(X)-O.250.0000i-().250+0.(XX)()iP=1.00001.00000.0000+1.OOOOi0.00-1.0000/A:=0U可见在圆周z=2内有四个极点，所以积分值等于2*pf*/(0.25+0.25-0.25-0.25)=0。4TayIOr级数绽开Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。函数M在X=句点的Taylor级数开展为f(x)=x+/(.VOXx-.t)+/'(AOXx-K)'2/2!+,<(.vOXX-0)*33在MAT1.AB中可由函数taylor来实现。Iaylor泰勒级数绽开返回/函数的五次某多项式近似。此功能函数可有3个附加参数。S妨”)返回1次辕多项式。的。人返回点旁边的哥多项式近似。Iayim)运用独立变量代替函数fi>dsyt>if)。例求下列函数在指定点的泰勒开展式(参见参考资料4】)。(J)lz'z.O=-I(2)igz,0=p4；MAT1.B实现为：tayloMx2t-3+2*x+3*(A+l)A2+4*(x+l)A3+5*(.r+DA4+6*(.r+l)A5IaWWIHn(),p4)uns=l+2*x-l/2*/n+2*(x-l/4*/>/)A2+8/3*(.v-l/4*p/)A3+10/3(-14p04÷6415*(-14*p)5例再看下面的绽开式taylor(sm(x)/x,10)anx1-I6*.v2+!I20*.v4-1/5040*.v6+1/362880«.v8绽开式说明x=0是此函数的伪奇点！这里的S而绽开式运算实质上是符号运算，因此在MAT1.AB中执行此吩咐前应先定义符号变量W3z,否则MAT1.AB将给出出错信息、！51.aPIaCe变换及其逆变换1.1.aplace变换1.=F)返回以默认独立变量T对符号函数F的1.aplace变换。函数返回默认为S的函数。假如尸=P(三),则1.aplace函数返回t的函数A=1.S。其中定义1.为对/的积分1.(三)=int(f<0*exp(-f/).0.inf)。1. =l<acfF,t以，代替S的1.aplace变换。等价于1.(t)=int(F()*exp(-r*a).0.inf)01.=F,w,Z)以Z代替S的1.aplace变换(相对于W的枳分)。IaplacciF.w,Z)等价于1.(z)=int(F(w)*exp(-z*h,).0.inf)o例如：synsastwxlaplace(x5)ans=I2056q”ac«exp3.v)ans=!(t-a)l(lace(sin(wx)9/)cuts=¼(2+m2)laplacc(consx¼).w.t)/(2+a-2)lapiace(xsyn(32)./)aits=34*11(12)(52)laplace(.diffsyin('F(.t)f)ans=lplaceF(x),x,s)s-F(O)2. 1.aPIaCe逆变换F=RaPH返回以默认独立变量S的数量符号1.的1.aPIaCe变换,默认返回f的函数。假如/,=，)，则ilaplace返回X的函数&x)定义为对S的积分F()=int(1.(三)exp(.s/),.«,e-i*Ef,c+*inf).其中C为选定实数，使得MS)的全部奇点都在直线S=C的左侧。F=ilaplac1.y)以y代替默认的f的函数，且有加MgaA等价于尸Cy)=int(1.(y)*cxp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf)j这里y是个数量符号。F=ilaplac1.,y,x)以x代替t的函数，/MaCdA,y,x)等价于(y)=int(y)*ex(xy).>,c-inf.<?+/inf),对y取积分。例如：synstM,yiIaplacf(/(-I)ans=ex()iklace(t2+)ans=sin(.v)iIaplace("-syM52>),x)ans=43pP(l2)*x(32)ilaplaceU/U2+").Fa)s=COS(W*x)ilaplacc(5"(q""<Hz(),.r,$)'),门,)ans-F(r)6Fourier变换及其逆变换1.Fourier积分变换F=fourier(D返回以默认独立变量x对符号函数f的FoUrier变换,默认返回W的函数。假如/=/"),则forier函数返回t的函数F=F(t)o定义F(W)int(f(x)*exp(Tw*x),X1.inf,ind为对r的积分。F=fourier<M以V代替默认值W的FOUrier变换，且有fourier(/')等价于F(、')=int(/(-O*exp(-zp*).v-i11f.inf)ofouricrf,'v)以V代替X且对“积分,且有fourier(<=>F(U)=int(/(")*exp(-i*v*“)，"1.in,in。o例如：sytnstvwxfourier(Mt)QnS=i,p产(Heavisidc(-w)-Heaisidc(v)fourietexp(-.r2).xj)ans(l2)*cxp(-l4*2)fourier(exp()*SymeHeaViSid4)'),V)ans=1/(1+*v)fourierW打*Fa)xw)ans/*H'*JourieKFM9X.h,)2Fourier逆变换f=ifourieKF)返回以默认独立变量W对符号函数F的Fouricr逆变换，默认返回X的函数Fouricr逆变换应用于返回X的函数,即由F=F(W)推出/=/*)。假如F=FO),则if。Urier函数返回，的函数f=/(Oo定义/(x)=1/(2*pi)*int(F()*ex1X*m*x),w,-M,inf),对卬的积分。f=ifcurie(F,u)以"代替X的函数，且有ifouricN尸M等价于fu)=1/(2*pi)*int(F(卬)*ex(*w*u,W-inf.inf)对W积分。f=ifourie,iF.V.U)以V代替H-的Fouricr逆变换，且有ifourieKF,v,u)<Z=>/(«)=I/(2*pi)*int(F()*exp(*v*u,v-mf.m11,枳分针对例如：wavIUIVXMmlrieNwexp(-3*W)*sym(,Heavisid(wf)ansl2>r(3-f*r)2ifouriertI/(1+w2).uGlS=1/2*exp(-x)*Heavisiddu)=1/2*exp(x)*Heaviside-u)ifourier(v(l+w2>.u)ansi(1+w2)*Dirac(1,u)ifouier(sym('fourier(f(x),x,w)'),w,x)ans=f(x)Matlab中复变函数吩咐集位表表部部ffi角单数数实虚共模岫虚复指求求求求求定义符号变量Symsz=Sqrt(-1)z=x+y*iz=r*exp(i*a)Real(Z)Imag(Z)Conj(Z)Abs(z)Angle(z)三角函数z=sin(z)Z=COS(Z)指数函数z=exp(z)对数函数Z=Iog(Z)曷函数Z=ZAa解方程expr='方程式'；Solve(expr)泰劳绽开Taylor(e,z)求留数r,.k=reside(p.q)傅立叶变换Fourier(e,z,w)
