专题71 函数中的新定义问题（解析版）.docx

函数中的新定义问题才点1一次的It薪定义问题【例1.定义：我的把一次函数（0>与正比例函数F=X的交点称为一次函数,=h+>（O）fy=2xl（=l的“不动点例如求y=2rI的“不动点联立方程.解得1.则y=2xl的“不动Iy=XIy=I点”为（1，1）.I的定义可知，一次函数y=3x+2的“不动点”为<-1.-D:<2>若一次函数产皿+的“不动点”为（2,n-1）.求m“的值：（3）若真线y=H-3d0）与X轴交于点A,与F釉交于点8,且内城F=H-3上没有“不动点北若。点为X轴上,个动点，使得S"85=3SEAB。，求满足条件的P点坐标-y=3x+2y=解醇x=,Iy=-I.一次函数）=3x+2的“不动点”为（7,-I）.故答案为：（-I,-I）；<2）；一次函数y=mr+”的"不动点”为（2,»-I>,.,.n-1=2»n=3.；“不动点”为<2,2>.2=2w+3.解得，”=-:2（3）,/百线y=jtr-3上没有“不动点:直战）=x-3与直线V=X平行.A>,：，I，；化函软,Tk-3+中,',.v2：l-|.v-4：.<)IJ.(2k-3+b=-4tI-3I+b=-1b=-4.这个加数的衣达式是.v=F-31-4；<2）O=rx-3-4."y=-x-l（x<2）'二的数尸吴7过点（27）和点（4,-I）：函数y=-T过点（0.-D和点（-2,2>,该函数的图锹如图所示，性质：当x>2时，的他帧K的增大而增大:用函数的图般可得.不等式kx-3+b<x-3的解集通1金这4：<4)由-61-a=。得“=l?-6巾作出F=N-6”的图象，由图象M知,要使方程H-31-a=0有四个不相等实数根，Wl0<w<9,故答案为：0<o<9.考点2反比例的数新定义向题【例2】.探究南散性质时，我们经历了列表、描点、连战亘函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数F=XY-2r+6+m性顺及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.V6542Ib7<1)写出函数关系式中，”及表格中小，的值；m=-2,a=3.b=4;<2)根据我格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象：<3已知函数y=-(X-2)2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式xH-2什6|+”?>-(-2)?+8的解佻为<0或x>4.将点3,D代入点数解析式可入；l=3*-2X3+6Hw,解得：M=-2.二原函数的解析式为：y=.v+-2r+6-2：当X=I时,y=3s当x=4时.>=4：.nt2»=3.b=4>故答案为:如图所示;<3)要求不等式T-2+6i+m><-2)?+8的解综实际上求用函数y=*+-2x*6+，"的图象位于函数,=-(-2>。8图象上方的自变假的衽阳,由图象可知.当XVO或*>4时,满足条件.故答案为：x<0或x>4.A变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距围的最小值，称为这两个图形之间的由博，即48分别是图形M和图形N上任意一点，当八8的长最小时，称这个最小值为图形时与图形N之间的距离.例如，如图1.AB1.lx.线段B的长度称为点A与出线人之间的距离，当hh时,城段AB的长度也是，与母之间的距离.【应用】<1)如图2,在等腹Rt48AC中，NA=90",八B=AC,点。为八8边上一点，过点。作0£8C交八C千点£若AB=6,W=4.则OE与8。之间的距离是_6_：<2)如图3,已知直观=-x+4与双曲税C1：),=(x>0)交于A(I,WI)与8两点，点A与点BX之间的距离是二点。与双曲线。之间的距离是_Ve_：【拓展】(3)按规定,住宅小区的外延到高速路的距离不超过80，”时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔青群障(如图4).有一条“东南-西北”走向的笔宜高速路,路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状.它们之间的跑离小于WM.现以高速路上某一合适位置为坐标原点.建立如图5所示的直角坐标系.此时高迷路所在百线的函数表达式为Y=x,小区外延所在双曲线G的函数表达式为Y=Z"(x>0).那X么需要在:高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？图4解：U）如图.过点D作MjBC于点AZ=90°,B=AC.VDHlfiG.8。，是等股H角三知形,：.DH一考-BD.V4H=6.40=4,JD=-D=6-4=2.D/-×2-2;故彳案为：2:<2)把A(1.n)代入f=x+4中.ft|：/M=-l÷4=3.把A，I.，代人尸K.劭3-4X1*=3,.双曲线G的解析式为F=S,X联立.得：-+4=-.X即r-4+3=0.解得：Kl=1.X2=3,：.B(3.I).=(1-3)2+(3-l)2=22;如图.作FGAB,IlFG与双曲戏r-l有个交点，设宜城FG的解析式为F=-.v+fe.则-x+b->X整理褥：xt-ftr+3=0.=(-)2-4x1x3=M-12=0.：.b=lM或b=-NI(不符合遨意，舍去)，直线Ki的解析式为y=-.k+23.h-+2>3=-X耨褥：XI=X2=6,K(3.3>.,ok=7(3)2+(3)2=6:枚答案为：>2.6:<3)如图，设点SGr,一是双曲线v=2%<><)上任意一点，11"二/».以点S为Hi心，80为半X径作0S交于E过点S作SE1.直线于R交)轴于W.S±xftllF/.SG_1.y轴干G.则SG=q.SH=h.ab=24(×).I5找y=-X平分第二、四象限地，.FOW=45".VZOHV=ZSGW=Wi.ZOHzF=90-45=45°ZSWG-ZOVVF-45.woF和aSRG是等腰n角:三角形.S=25G.WF=喙。卬，d>=O(+ft),22.-J1.三,l22OU-(«)2(ba)-1600(b-a)2Vf=g2-gp2=400-y(a+b)2=z-6400-2ab-(b-a)216001(b-a)2设力-am(m>0>r则ocy,l1600.l1122(m2+1600-ym2)-M2.需要在高速路旁修建隔访屏障的长度2OE=2×4O2=802.布需要在高速路旁修建隔音.屏障的长度802*.才点3二次*或新定义问题【例3】.小爱同学学习：次函数后，时函数=-(M-I)2进行了探究.在经历列表、描点、连跷步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象，何咎下列问题:<1>观察探究：写出该函数的一条性质：函数图皴关Ty粘对称：方程-（M-12=-1的解为：X=-2或K=O或X=2:若方程-（H-I>2=,”有四个实数根，则m的取俏范困是-IVmyo.< 2>延伸思考：将函数Y=-（国-D2的图象经过怎祥的平移可汨到函数V=-<k-Il-D2+2的图象？写出平移过程，井宜接写出当l<yW2时，自变MX的取俯范|机解：（1）视察探究：该函数的条性用为：函数图象关于轴对称：方程-（闻-1）2=-1的解为；K=-2或K=O或X=2:若方程-（国-”2=“,有四个实数根.则“的取值范围是-IVWl<0.故答案为：晅数图象关于F轴对称：X=-2或X=O或x=2:-l<m<0.< 2）将函数），=-<M-I）2的图望向右平移1个单位,向上平移2个电位可得到函数W=-（1.1.Il< I）42的图象.当IVWW2时，自变Iln的取值范例是-IVxV3且I,A变式训练【变3-1】我们定义一种新函数：形如F=Ia+,*+d（a（）.tr-4ae>0）的函数叫做“船桥”函数.小丽同学画出了“鹄桥”函数F=Iat2+於+d的图象（如图所示，下列结论正确的是（）A.图型具有对称性，对称轴是直线X=1.5B.有且只有-IWxWl时.函数值丫随X值的增大而增大C.若VO,J8+r>OD.若V0,则a+bHm<an+b）（m为任意实数）解：由图像可得,图旬：,1对称性.：FHI，'"【线K=33=1.故选项4错误，不符合JB意：当-IWKWl或43时，函数依值的增大而增大，故选项8错误，不符合题童:b=-勿，当X=-2时，y=4a-2>+<<0.：.4（i-2h+c4a-2×<-2«）+c-4<r+4+8+<<O.故选项C错识.不符合核意：V>=r2+u+c开11向下，对称轴为直线X=1.：.a+b+cNam2+bm+c（，”为任意实数）.,.a+bm<an+b）+c>故选项Z）正确，符合胭:痣：故选：D.【变3-2.已知桃物线了="+<过点A<-2.0）和C（-I,3）两点，交X轴于另一点B.<>求枪物线解析式：<2）如图1,点P是8。上方抛物战上一点，连接A。，BD.PD.当8。平分N八。P时，求户点坐标;（3）将他物战图象绕原点O股时针旋转90”形成如图2的“心形”图案，其中点M,N分别是旋转前后拊物线的顶点，点E'F是旋转前后搬物践的交点.H线EF的解析式是Y=X;点G、H砧“心形”图案上两点且关于61.对称,则城段G”的最大值是_空巨_.图1图2解；（I）；财物/，=“+<过点八（-2.0和。（-I,3>两点,.4a+c=0Ia+c=3二搬物设解析式为N=-+4<2）过点B作HElx轴父DP延长线于点£过/）作DFlx千点匕Ihy=-.r+4,令=0,则-+4=0,解得：Xl=-2,m=2,则B(2.0).VDF=3.BF=2-(-I)=3.：.DF=BF.二/W=45：.工/DBE=.XVD-Dfi.8。千分NAOP.".DAti,DEB(ASA).1.BA=BE,设出我DE的解析式为y=v÷.也”OE的解析式为v=XU?33联立则.等)：<3)撇物找关于柏对称，所以旋转后图形关于X轴对除，-«)在版刊后图形上,二时于衲物线上任.演一点P(“，&)关于原点版转90"后对应点为Pl(EPi(b,-a)关于X轴对称的点P2(儿。)在旋转后图形上，YP(a.b)与巴(b,«)关于y=x对际，二图形2关于y=对称，出城"的解析式为y=x,故答案为：.=x:如图，连接GH,交F：尸与点K,WJGH=2GK,乂VS，、GFE=-G(XE-KF),iG(m.-i2+4).M/(m9m)9G=VG-W=m2÷4-m=-(.、，"=-lff