专题72 三角形中的新定义问题（解析版）.docx

例题精讲【例1】.通过学习:角函数，我们知道在上角；.角形中,个就角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的可以在等极三角形中建立边角之间的联系.定义：等IIS三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（s0d）如图.在回（?中,48=ACj更角川的正对记作SM这时sadA=底边BC腰AB.容易知道一个珀的大小与这个角的正对值也是相互唯确定的.根据上述知的正对定义,解下列问遨:<I）SWI60"=!；<2>对于O"<<I8O*,N八的正对值SWot的取值范围是OVSwMV2:<3如图，已知C。$A=£，其中/A为锐角，试求sw/A的值.解：（I）根据正对定义，当顶角为60°时，等概;角形底角为60，则：角形为等边三M形，则.vJ60"=-1=1.故答案为：I.<2）当NA接近0°时，.MdA接近0.当/人接近IWT时，等候三角膨的底接近于腹的二倍，故SWM接近2.于是.必仞的取值范附是0<uulA<2.故答案为0<swMV2.<3)如图.过8作HI)±ACT-D.4Rl八8。中，ws-4AB5iStAD=4k.AB=5k,MBD=3k.：.DC=5k-4k=k.夕RlBl)C中，C=Bp2)2=10A.【变17工定义：如果三角形的个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形若4八8C是“倍角三角形"，ZA=W,C=4,则/（？的面枳为4或2G.解：YZiABC是“依角角形”.分四种情况：当NA=28=90°时.8=45”,八8C是等腰口角三角形，VC=4,W二黄二彩=啦.4CWlfilfil=A8AC=X2X2=4:当A=2C=9O'时，同理可得：AASC的面积为4；当8=2C时，.A=9O',Z+ZC=9O,.8=2C.C=3O",/8=60”，VC-4.48=%C=2,C-3W-23.2二八8C的白枳一48AC4-×2×2>323:22当C=2E时，YA=90°.8+C=90'.VZC=2ZB.Z=30，ZC=60c,'BC=4,/.AC=RC=2.A=3-1C=23.ABC的血枳=W=×23×2=23：琮I.所述：ZkABC的面枳为4或23.故答案为：4或2«.【变1-2.定义：如果一:角形的两个内角与B满足+2R=100',那么我们称这样的二角形为“奇妙三角形”.<1>如图1.ACM1.ZACB=Siy.8。平分NA8C求证：ZXABO为“奇妙三角形”(2若4A8C为“奇妙三角形“，且NC=80°.求证：AA8C是直.角三角形；<3如图2,AC,8。平分NA8C,若Z1A8O为-奇妙三角形"，IiZA=40",Il接写出NC的度数.(I)证明：.65H>NA8CZ4BC=2Z4D.在A8C中.VZACB=SO.二/A+/ABC=180'-ZACB=180c-X0'=100".即A+2N48):100'.：.AABD为“奇妙三角形(2证明：在AASC中，.NC=8t,Z+Z=100i.48C为“奇妙三角形二.ZC+2Z=IWi或/02NA=IO0"，Z=l0oSRZA=IOe，当/8=10°时，A=90°,ZXABC是宜用三闲形.当/A=KT时.Nb=90°.AABC是直用三体形.由此证得.AABC足口箱:角形.(3)解tYSD平分NA8G：.ZABC=2ZABD.；八8。为“奇妙三角形”，二/八+2/AB/)=100"或2A+A8O=I(X)°,当A+2NA80=100"时.ZAWD=(100'-40'>÷2=30,.ZABC=2ZABD=.,.ZC=80：当2NA+/Uw)=Io0"时，ZABD=1«)-2ZA=20".,.ABC=2ABD=AQi.ZC=lo:琮上得出：NC的度数为80或100.【例2.定义：如果三角形有两个内用的差为60,那么这样的三角形叫做“准等边三角形”.【理解概念】<1)顶角为1201的等腰三角形不是“准等边三角形”.(埴“是或“不是一【巩固新知】<2>己知ZU8C是“准等边三角形二其中A=35°,/090'.求/B的度数.【解决问即】<3如图，在RlAA8C中，NAC8=90",Z=30°.BC=l+3.点。在AC边上，若48C0是“准等边三角形二求8/)的长.CDA解：(I)；等腰三角形的顶角为120',.等腰：.角形的两个底角度数分别为30'.眦，二顶角为120'的第腮.角形不是“准等边三角形”：(2) 是“准等边三角形”.NA=35'.ZC>90,工分两种情况：当NC-ZA=60,时.ZC=Z+60u=951Z=l801-Nc-NA=50”；当/C-B=60°时，A=35°.ZC+Z=18<)r-ZA=145,.*.2Z=85,.Z=42.5：燎上所述；/8的度数为50°域425°：<3>,:ZACB-W./4=30",BC=l+3.ZAIfCW-Z=60,.B=2BC=2+>J3.8CO是“准等边三角形”.分两种情况：当CC8O=60"时.,.ZCfiD=ZC-Wf=30°.：.RD=ICD.,CDi+BC1=BD2,CD2+(l+3)2=(2CD)2.解汨：CD=退至或Ce=-维史(舍去).333当/BDC-C8)=W)时，过点。作。QA8.基足为RVZC=W.：.NBDC+NCBD=W、2ZDC=15O,.,.ZDC=75,ZABD=ZBDC-ZA=45°,.8。E是等腰直加.角形：.HF：=DE.D=2W设DEBE-=x.在RIZSADE中,Z=3O,Afc3Dt3r.VRF>AE=AB.+3y=2+23.解得：x=2.,.BE=DE=2,.,.W)=2>=22:嫁上所述：8/)的K为斐+6或«5BZA变式训练【变2-1.新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中看三角形”如图所示,8C中"、BE是中城，flAFlBE,垂足为P,像58C这样的三角形称为“中垂三角形”,lJliZAfiE=30",B=6,那么此时AC的长为V7_.RlPlj.VZWP=30,.,.AP=-B=3.2hp=43p=t43；AF、BE是中ta,：.AE=CE,久P为AABC的R心,故答案为3、万.1变2-2.t了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半,则称这个三角形为半线三角形.这条中线叫这条边的半线.【理解运用】<1>如图1,在AA8C中，AB=AC,NBAC=I20°,试判断aABC是否为半战三角形，井说明理由；【拓展提升】<2）如图2,在AABC中，AB=AC,。为SC的中点，”为AABC外一点,连接MB,MC,若&WCAMBC均为半线三角形,且八。和MD分别为这两个三角形BC边的半线.求NAMC的度数：<3>在(2)的条件下,r,-jWD=-,AM=1,直接写出BM的长.解，（I）ZiASC是我：角形,理由如下：取。C得中点连接AdBDCYAB=AcED为BC的中点.,.AD±BC.':AB=AC,ZBAC=120.AZfi=ZC=30°,Rff>'./8=30°,：.AD-AH.2，ZXABC是半莲二角形.<2）过点A作AVXAW交AfC千点M如图.VAfD为AiWBC的BC边的半缥：.MD-JJCBDCD.：.NDBM=ZDMB.NDMC=DCM.：.ZffMC=W=.同理/8AC=90”，XVZMOfi=ZOC.：./MHA=ZMCA.,：AMAN=Z.BAC=W,：./AM"ZNC.'：AB=AC,J.MABNAC(SA>,.AM=AN.又M八N=90°,ZAMC=ZA'=451.(3)由题意可知,BC=2MD3.Ih<2>知ZsWA8gZNAC(ASA).：.MB=NC,AM=AN=,v-2.在Rl4M8C中,由勾股定理UJ得，M82+wc2=ac2,W2+<2+)-=32.解知M8=2-零(仇伍£，.2枚MB的体为2-隼.Slp实战演练I.当三角形中一个内生P是另外一个内为的尚时，我们称此一：的形为“友好三角形为友好角.如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°,那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为42。或84°或92°.解：42°知是.则友好角度数为42'：42'角是B则=2B=84°.工友好角a=84"：42角段不是也不是仇则a+B+42°=180°，所以，a÷j-a+42*=180*.解得a=9绘上所述,友好角度数为42'或84"或92'.故谷案为：42"或84”线92”.2 .当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中a称为“奇妙角二如果一个奇妙三角形”的一个内角为60那么这仔奇妙"角形”的另两个内用的度数为3妙，90'或40°.80°.解：由题意得，当60”的角为“奇妙角"时,有另一个角为30'.二第三个内升为180°-60"-30"=90"；当60°的用不是“奇妙角”时.设另两个内的分别为/I,Z2.11ZI=2Z2.ZI+Z2+6<=180",即2N2+N2=12O°.解得：N2=40°.故NI=ST.综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内向的度数为30',90'或40"，WF.故答案为：30°,90“或40',80".3 .新定义：到三用形的两个顶点距离相等的点,叫做此:.角形的准外心.根据准外心的定义，探究如下问SS：如图.在Rt八BC中，C=90',A8=IO.AC=6如果准外心P在BC边上，那么Pe的长为_44-解：在RtZUgC中.VC=90,.4H=IO.AC=6.'cAB2-AC2-"102-62=8若PBu连接A¾.设PCx.WjPA-PB=f>-.在Rl出<?中.VM2=CP2+ACi.<8-x)2=.r+62.x=Z,tJPC=.44WPB=PC则PC=4,11PA=PC.由图知,在RI用C中.不可能.故PC的长为：412.故答案是：4或孑.及4 .定义：说知：角形三条高的垂足形成的:角形称为垂足:.角形.在锐用.角形八8C的每条边上各取一点D.E,F.a)EF称为ZSABC的内接.用形.垂足三角形的性质：在饯用；角形A8C的所有内接三用形