专题58 二次函数中的面积问题（解析版）.docx

二次属数中的面积问题例题精讲求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、捌补'等枳变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法一一钳垂法.【忖1述】在平面直角坐标系中，已知人(1.1)、8(7.3)、C(4.7),求44BC的面积.【分析】显然对于这样一个位置的三角形.面枳公式并不太好川,割补倒是可以-试比如这样:构造矩形AOER用矩形面积减去三个:角形面积即可得iM8C面枳.2树=S.q+$"=CDAE+1CDBfcD(AEBF)此处AE+A尸即为A、8两点之间的水平距离由即意得：AE+BF6.下面求CD：根据小8两点坐标求得宜跳AB解析式为：y=-x+-由点C坐标（4,7）可得D点横坐标为4.将4代入直线八8解析式得D点纵坐标为2.故。点坐标为<4.2）,CD=5.S.w="×6×5=15.ak2【方法总结】作以下定义：八、8两点之间的水平距离称为“水平宽”：过点C作K轴的垂线与八8交点为d线段C。即为八8边的“锚垂高二【解J步】< 1）求4、8两点水平距建，即水平宽：< 2）过点C作X牯垂线与AB交于点/）,可得点。横坐标同点C；< 3）求口战AB解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；< 4）根据C。坐标求得铅乖高；< 5）利用公式求汨三角形面枳.例题精讲【例1】.如图.附物线F=-A2-2r+3与X轴交于A(1,0),8(-3,0)两点，与y轴交千点C点P为拊物践第象限上一动点，连接/招、PC.BC,求尸8C面枳的球大俏，并求出此时点P的坐标.蝌：令X=0,则y=3.C（0.3）,设11i8C的解析式为y=x+3(K0),把点R型标代入y=t+3得-3*3=0.解得Jl=I.出线BC的解析式为v=+3.设P的横坐标是X(-3<x<0),则尸的坐标是(x,-2v+3).过点P作y轴的平行线交BC于M,则M<,x+3).,"-PWUw-.r<1=-<-J-3）×3=-=<.t->-222228,5"，爷./W(而枳的以大使为:8当X=一4T二点坐标为（-.-）.A变式训练【变17,如图，己知物物战.v="v2+限+3与X轴交于八、B两点,过点八的口战/与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,O）.C点坐标是（4,3）.< 1>求抛物找的斛析式和克线AC的解析式：< 2）若点E是（1）中抛物线上的个动点，Jl位于直规Ae的下方，试求aACf的域大面积及E点的坐标.解：(1).y=aJ+fet+3经过八(1.0).C(4.3),a+b+3=0t16a+4b+3=3V?.:.1物线的解析式为：>=.r-4+3i设出我AC的解析式为y=fcv+.C两点坐标代入Y=Jtr+/7得：P+h=°.（4k+h=3（k=1.Ih=-I二点线AC的解析式为y=-I：< 2）如图.设过点片与直线Ae平行践的宜线为>=ro”.%联立y=x+my=2-4x+3消掉y知.?5,r+3-m=0.=<-5）2-4×l×（3-n）=0.解得：，”=4却m=-单时.点£1JAC的IEM大.MCE的面枳最大.4此时='y=-=-二点E的坐标为（与，-4）.24设过点£的的线与X轴交点为F,则F（%0）,44：出线AC的解析式为y=x-I.Zcab=ASv,.,.FfiJAC的距离为Fsin45o=-x又,'C=32+（4-D2=，AC£的最大面枳=X啦XZ=乌，此时£点影标为（与，-4）.28824变1-2.如图，直城产4+2交F轴于点八，交X轴于点U抛物找尸q2+br+c.经过点九点C,且交X轴于另一点8<1）求他物线的解析式:<2）在百战八C上方的抛物戏上有一点M,求四边形八8CM面枳的最大值及此时点M的坐标.A(O.2>.=0.fliy=-+2=0.解得k=4,：.C(4.O).把儿C的山代入y-4-r2*htW,卜=2.4(-4+4b+c=0b4解划2.c=2，他物线的解析式为=-2:(2过M点作MUa轴，与AC交干点Mlffl,二SH心，AtKM-S,Kf+p<-a-+2<r+6-=-?(a-2)2+X.22二当“=2时，四边形ABCM面积城大,其破大值为8.此时A夕的坐标为(2,2).【例2.如图，撤物战.y=Fbx+c与X轴交于A<-1.O),B<3,0>两点，过点八的H线/交拊物线于点C(2.点。是线段AC上一个动点,过点P作X轴的垂线交抛物线于点£.<>求她物税的解析式：<2)当P在何处时.ZiACKlM税最大.解：(I)拗物线解析式为y=(x+l)(-3),即F=X2-2-3;(2把(7(2,，“代入,=/-次-3得巾=4-4-3=-3,则C(2，-3).设H线AC的解析式为y=mx+n.把A(-1,O).C<2,-3>代入得E=°,集得(IB=I1211t+n三-3In=TmAC的解析式为y=-X-1：Hi.E(.t,?-2r-3><-lz2>.则PU,-1-I),：.PE=-/-1-(r2-2/-3)=-?+/+2.ACE的向枳=2X<2+D×PE2=W<-r+z+2)2=.3(,2.”228当r=W时,Cf的现行最大值，大小为名此时P力印标为-4).2822A变式训练【变2-1.如图，他物线y=0f+bx+2交X轴于点A(-3,0)和点8(I.0),交4轴于点C<1>求这个枪物城的函数表达式：<2>若点。的坐标为(-1,0).点P为第二象限内她物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的及大(ft.yAy/5.IdoVx解：(I)t物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1>-a<x2+Zr-5)-axi+2ax-3«.即-3“=2.解褥：a=-.3A攵拊物级的达式为；y=x2-x+2则点C(0.2),函数的对新釉为：X=-I；则SSi：ii'S"”7cp,-s,>>c-×A0×yp+y×0C×xp-×CO×OD-y×3×(-x2-x+2)-×2×(-x)-×2×1=-x2-3x+2V-KO.故SqwI大伯当X=W时，5的她大他为¥.24变2-2.如图,在平面直痢坐标系中，直线产产2与X轴交于点8.与5,轴交于点C,二次函数N=+w+c的图象经过RC两点，且与N轴的负半轴交于点八，动点。在食跷8C下方的：次函数图象上.1求：次函数的表达式；2连接OC./M,设BCD的面积为S,求S的最大(.把y=o代2得x=4.：.R(4.0).设抛物段的解析式为.v=(-4)<x-m),«<?(0.-2)代入;12川2.解Mm=-1.：.A(-I.0>.二附物纹的解析式y=<,r-4)<x+l)-v-2:<2)如图所示：过点D作DE1.X轴,交Bc与点户.工当x=2时,S有最大俏，最大值为4.实战演练I.如图，抛物戌y=-吴+2与X轴交于A，8两点，与.y轴交于点C,若点P是娟8C上方的拗勒战上一动点，当/?CP的面枳取得最大值时，点P的坐标是（）A.(2,3)B.(,孕C.(1.3>D.(3.2)28力产-42''+2'令产-"b4"+2=0,解得X=-IHlc4,令K=O,PJIV=2.故点4、B、C的唱标分别为(-1.0)、(4.0)、<0,2).过点P作轴的平行线交BC于点M«.C的坐标得，直线BC的-+2.设点P的坐标为）.则点的坐标为（X.则&C尸的面积=SPHtrSphc=4PH×OB×4×(22；-IV0,故48C的面积仃也大值,当x=2时,&*的而枳有的大伯.此时，点。的坐标为（2.3>,故选：A.2.如图I.微物设y=2+b+c与X轴交于a、B两点,与.轴交于点C,H找y=+2过从C两点,连接AU< 1>求抛物线的解析式：2点P为抛物战上百戕BC上方的一动点，求MBC面积的最大值，并求出点P坐标；< 3>若点Q为她物税对称轴上一动点，求AQAC周氏的最小值.：.C(0.2),令=0,则X=4,AB(4.0).(4.0)和点。(0.2)代入y=-2+b+c.U×42÷4b÷c=0c=2解得:1响.施物般的解析式为产-÷-v2:< 2)作可)粮交在觌8C点。，设>lin.-z4-5m+2)»K1ID(，”,ni7)=-n2÷*2-<-+2)=-'.2222.,SPC=-i×4×(-112+2m)=-JW2+4m=-(m-2)-4.22.当m=2时,WBC的面枳有最大值4.此时P(2.3)：3>令y=0,l<24+2=(b(1,A(-1.0).鼬能的对称轴为直域*i八点与B点关于对称轴对林，：.AQ=BQ.AQ+CQ+AC=8Q+CQ+AC妾8C+AC,.当8、C、Q三点共战时，1QAC周长JS小,VC(0.2).R(4.0),(-h0),C=25AC=5.C+fiC=5.。八(：州长岫小依为讨亏.图13.如图，恤物纹.Y=-.t2+Zu+c与X轴交于A（1.0）.<-3.0）两点.<I>求该撤物线的解析式；<2）设（1中的拗物雄交y轴于C点，在该抛物战的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的周长城小？若存在.求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由.3在（D中的她物线上的第二象限上是否存在一点P.使尸8C的面积最大？若存在.求出APBC面积的及大值.若没有，请说明理由.则附物纹的解析小是.v=-x2-2+3:<2>理由如下r由题如A、8两点关于抛物线的对称轴X=-I对称,M线8C与4=7的交点即为Q点，此时AAQC周长取小，对于.、=-?-2+3,令*=0,则f=3,故点C<0.3）.设BC的解析式足y=mxn.则13m+n=0解汨（m=l,In=3In=3则BC的解析式是产+3X=-I时.F=-1+3=2.二点。的坐标是。（-1.2>l<3）过点P作）轴的平行线交BC于点D.设P的横坐标是人则"的坐标是（X.-A2-2r+3）,对称轴与8C的交点。是（x,/3）.则PD=(-i-2x+3)-<x+3)=-X2-3x.'<-X2-3x)X3=-.r*-r三-日(x*)4F：-<o.故尸8C的面枳<AJ(j,:J吟.如图I,在平面面角