(完整版)平面向量的线性运算.docx
向的线性运算（一）1 .向量的加法向盘的加法：求两个向量和的运算叫做向盘的加法.表示：AH+BC=AC.规定：零向眼与任一向量“，都有"+0=6+="【注意】；两个向量的和仍旧是向收（简称和向或）作法：在平面内任意取一点O，作示=£,AB=a,则E=6i-A=a-h2 .向量的加法法则（1）共线向木的加法：同向向信反向向*C4-Wa>_.h>-b-OB=O-AsB>B-QOB=abOBa（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法即向量加法的三角形法则（“苫尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向后共线不适应），三角彩法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：AR+BC=AC.平行四边形法则：以I可一点A为起点的两个已知向量“，力为邻边作平行四边形ABd）,则以A为起点的对光线H就是与/，的和,这种求向量和的方法称为向壮加法的平行四边形法则.如图，已知向敏“、方拉平面内任取一点A,作我=",HC=h,则向量Ad叫做“与B的和，记作£工，E)÷=+BC=AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义.这种定义,对两向盘共线时同样适用,当向量不共税时，向t加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的.特殊情况；探究：(1)两相向*的和仍是一个向量：(2)当向量4与B不共线时,的方向不同向,且<i"vah!;(3)当“与人同向1%则“力、“、/H可向，且|“+力|=|“|+|心|,当与6反向时.若a>,则。/的方向与相同.且b：若”v，则的方向与N相同，且“+=b-a(4)“向阳平移”：使前一个向Ai的终点为后一个向量的起点.可以推广到个向俄连加3.向量加法的运算律(D向量加法的交换律:a+b=b+a(2向状加法的结合律:(fl+)+c=+(+c)证明：如图：«BaBC=h,而.=2则(+fr)÷c=AC+CZ>=AD,a+(b+c)AB+BD=AD,(+fr)÷t=a+(÷c)从而.多个向用的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.例如：(+)+(c,+<)=(+J)+(+c)；a+b+c-d+e=J+(a+<,)1+(b+e).例1.。为正六边形的中心,作出下列向盘：(1)OA-OC(2)BC：+FE(3)CM+EE例2.如图,一艘船从A点出发以2、像”力的速度向差直于对岸的方向行驶,同时水的波速为2knVh，求的实际航行的速度的大小与方向.解：设4。表示船岷宜于对岸的逑度，A8表示水流的速度，以八。,IAB=2.IBCh23,所以IZd=4入山2+icI2=4,A8为邻边作平行四边形ABCD,WlAC就是仍实际航行的速度,在RtMBC因为IanZCAB=坐=有=ZCBA=60'例3己知矩形A3C。中，蜜为2,长为2jj,AB=<,BC=b,AC=c.试作出向量£+3+工,并求出其模的大小。例4,架飞机向北飞行200米后，改变航向向东飞行200米，则飞行的路程为400千米：两次位移的和的方向为北偏东45.大小为2(N)J!千米.例5在长江南岸某渡口处，江水以125Am"，的逑度向东流，波般的速度为25Qn/6，渡股要垂宜地渡过长江,其航向应如何确定？【举一反三】若波般以25火，山的速度按乖口.于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？习麟1. 艘船从A点出发以公的速度向垂直于对岸的方向行驶.船的实际航行的速度的大小为44/方,求水流的速度.2. 一艘船距时岸4瓜m,以2、GA”力的速度向垂直于对岸的方向行驶.到达时岸时,船的实际航程为8km,求河水的流速。3. 1艘船从A点出发以V1的速度向垂直于对岸的方向行驶，河时河水的漉速为.俯的实际航行的速度的大小为46”",方向与水流间的夹角是60°,求！和>.4. 一艘船以54/人的速度在行驶,同时河水的流速为25/人.则船的实际航行速度大小戢大是kmfh.Ai小是km/h.3.向量的减法向量的诚法是向Ik加法的逆运修。1 .向减法的定义若+；=.则向J让；叫做与5的差，记为“-，求两个向屈差的运算,叫做向求的减法.表示：a-b=a1.b>2 .向量M法的法则根据向;*减法的定义和向域加法的三角形法则，我们可以得到向依力的作图方法【思考】：己知，怎样求作？（1）三角形法则：已知“，.在平面内任取一点。.作加=".OB=b.则即”人可以表示为从b（减向量）的终点,指向“（械减向量）的终点的向量,（强调:«.同起点时，“-是连结.的终点，并指向“破城向量“"的向A1.）（2）平行四边形法：在平面内任取一点0,作61=“，OH=-b,则由向盘加法的平行四边形法则UJ得【思考】；从向狄a的终点指向向订工的终戊的向此是什么？<b-a'）a【探浣】，如右图abll.忽样作出。呢？例题例1如图所示，己知向此。，/,不共战，求作向量“-/，【思考】：你能画图说明a-。=”+（->吗？例2如图,。是平行四边形ABC。的对角线的交点.若Xd=iD=b,OC=c,试证明：bc-a=O例3用向量法证明：对角城互相平分的四边形是平行四边形例4试证：对任意向贵加各都有IIM-IBiIZ+6母Z+5.证明：(1)当”，力中有零向此时，显然成立.<2>当“，8均不为零向用时：力访共线,即力祝当九b同向时,-<+H+6:当a.b反向时，l-lIH+l<1+ll-U不共修时,在ABC中.HABl-IBC<AC<«|+|BC,则有-<u+><1+,.a-+Aw+其中：当0.J同向时,+6Ho+Z>.当。，)I可向时，Ilal-IEI=I，+引.A«【思考】：任意一个非零向班是否一定可以表示为两个不共线的向贵的和?向的线性运算(二)1 .实数与向量的积的定义：股地.实数义与向fft的积是一个向量.记作4.它的长度与方向规定如下：(i>t=kd:(2)当2>0时.Na的方向与的方向相同：当ZVO时,的方向与的方向相反：当4=0时，=0.(请学生自己解译其几何意义)实数与向&a相乘,叫做向量的数乘2 .实数与向北的积的运算律：(1)丸(“)=(办)。(结合律)：(2) +)a=a+a(第一分配律)：(3) (a+b)=a+Ab(第二分配律).3 .定理，向(0)与,；共线.当且仅当有嚷一t实数九，使/；虫”.例题例1已知向Ifta和向用匕，求作向Tfi.-2.5a和向呆2«-36eKa->例2计算：(1)3(Jft)-2(*2)s(2)2(2(a*6ft3c)-3(-3»4/>-2c)【举一反三】4 .iin«(l)(-3)x4«：(.2)3(a+b)-2(a-b)-at(.3)(2a+3b-c)-(3<-2b+c).解：(1)JS=-12o:(2)原式=56(3)原式=一】+5b-2c.例3.当/IeZ时.验证：<a>b)-a>b证：当义书时，左边=0(+B)=0右边=Oa-OA=O分配律成立当久为正整数时.令J=n,则有,n(«+/>)=(a+b)+(w+)+(+5)="+“+族+B+=nanb即久为正整数时,分配律成立当为负整数时，令2=-""为正整数,有-(。+/；)=Ia+B)="(-”)+(J)=«(-a)+n(b)=-"«+(-«b)-na-nb,分配律仍成立综上所述，当义为整数时，2+3)=2+4G恒成立.例4如图所示，Q.£分别为A48C的边八8和AC中点，求证：8(：与)E共找，并将OE用8(：战性衣示。例5判断下列各Sfi中的向此班否共践：.2-«I-(1) a=4e.e,6=e心：151()(2) a=e+ez<b=2e-Iez»fle.ej共线.解：(!)当“=。时，Wlh=O.显然B与a共线.当.6时，/?=ee?=1(4e-ea)=1与共线.10454<2)当e,&中至少有一个为零向玳时，显然力与共线.当e,它均不为零向量时，设=c.>.A=(l+)2.b=(2-2)ei若义=一1时,，=0,显然人与3共线.若ZW-I时，力二丝二二“，二人与“共线.1+2
