执果索因反其道而思 论文.docx

执果索因，反其道而思摘要：在教学教学中，逆向思维是教学创造性思维的一个点要组成部分，量数 学思维的一个重要原则，也是进行思线训练的栽体.本文简单阐述了逆向思维在 定义、公式、定理以及法则中的体现，着支分析了逆向思维在敢学教学和解欢中 的培养方法，培养和提高学生的逆向思维能力反其道而行，思考数学问迪.美使字：逆向思维，教学教学，培养方法,能力提高1引言陶行知先生曾说过：“大雨过后，有两种人：一种人看天，看到的是前蚯与 美丽：一种人低头看地，看到的是淤泥与绝望”.在一节课中，老师让学生.花好 少的钱买样东西，要求是把整个教室都装满。有的学生买来装饰画，有的学生 买胶带他们都没有达到老师的要求，但有位学生用一根蜡烛，就可以用光芒 照亮教室的每个角落。聪明的孩子没有像其他孩子那样，想若用最少的钱买更多 的东西，而是在思考是什么可以最大化的装满教室。教学中，学生经常会钻进问 题的死胡同走不出来，困惑苦恼。正向思维是中学生在学习数学时的思维习惯， 而有些问题使用正向思维容易走进死胡同,但运用逆向思维往往会使学生“拨开 云雾见春天”.逆向思维就是人的思维活动从一个方向转向相反方向，也称为反向思维.就 是可以从问题的相反位置、角度、层次、侧面去思考，当某一思路陷入困境时， 快速转换到思维的另角度去思考，往往会绝处逢生，使问题迎刃而解.像这种 思维的跳跃性，是逻辑思维的个重要组成部分.2400多年前，占希腊开始研窕占典几何三大难题（三等分角、立方倍积、化 圆为方）,而2000多年来，人们在这三个问题上毫无建树.后来,人们认识到从 正面研究这个问题不如“反其道而思之“，从反面去怀疑这些难题是否有解，人 们因此受到启发.在1937年法国数学家万芝尔证明了立方倍积、三等分角的尺规 作图不可能问题：1882年德国数学家林然亚证明了化制为方的尺规作图不可能的 问题.这说明逆向思维在解决问题时的重要性.在物理学上，逆向思维也发挥J'它 “出奇制胜”的作用.英国物理学家法拉第在奥斯特的“电流的磁效应”试的中 受到启发，反向思考，经过十年的实验研究，于1831年提出了著名的“电磁感 应定律”，并根据这定律发明了世界上第台发电装置.而我们熟知的“司马光 砸缸”的故事也运用了逆向思维，司马光打破f “救人离水”的常规思维模式， 而是“让水离人二救了同伴性命，传为美谈.逆向思维在思考和处理生活、物 理、数学等方面问题时，发挥了重要作用.因此，逆向思维的研究对于数学教学 方面有着非凡的意义.逆向思维有助于学生.搜脱思维定式的束缚，突破习惯的条 条框框，产生新的思想、新的方法U .现石的文献中，许多研究者对逆向思维做出了研究.在对数学教学中关于学 生逆向思维能力培养的研究中，研究者仅停密在从数学教材内容的分析上去培养 学生的逆向思维能力，所以本文在此基础上，全点研究了在教学中从逆向思维在 数学问题的应用上培养学生逆向思维的能力.新课标要求中学生通过初中阶段的 数学学习能够具备函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想，这些数学思 想的培养，都离不开逆向思维的运用.本文简单阐述了逆向思维在定义、公式、定理和法则的逆用上体现，逆向思 维在数学教学内容的亚要作用.接着研究了逆向思维在教学中的培养策略.通过在 教学中培养学生还原意识和逆向意识来悟助学生养成逆向思维意识：在研究将逆 向思维渗透到解题过程中分析了几种方法：反证法、举反例法和分析法.希望读 者通过对本文的阅读，能够对培养学生逆向思维能力有更多的了解，也为些问 题的解决提供有用的想法与思路.2逆向思维在基础知识中的体现本章节研究了逆向思维在基础知识中的体现，介绍了定义的逆用、公式的逆 用、定理的逆用和法则的逆用.2.1 定义的逆用在数学解题中，“定义法”是一种最基础最常见的方法，而定义的逆用是培 养学生逆向思维能力的最直接的方法，便于学生打破常规，养成反向思考的思维 习惯.在数学教材中，作为概念的逆命题般总是成立的.因此，在运用定义时， 我们可以运用原命题，还可以引导学生研究并应用其逆命题.例如利用反函数的 定义域与值域互逆解决求反函数的过程繁杂且易错的问题.例 1.设/CO = 4'-2*“，求fRO).分析：本题常规思路是先求出反函数/'(X)，再另X=O求出广(0)的值.但 是在求解函数/(0的过程比较难，思维会受阻，容易产生错误.但是当逆用反 函数的定义和性质：定义域、值域相反且对应法则互逆，先令"r) = 0,求出X 的值,便是广'(0)的值，问题求解过程变得,单易懂.解令八 *)=4 WO,则 4"=2"' =*',所以 X = J(x+1).解得：X=L即尸(O) = L在初等数学中，定义教学是每一章节的重要内容.往往这些定义都比较简 单，我们更应该在教学中注意这些方面的训练，M助学生养成逆向思维的习惯. 如直线方程定义教学中，除了强调把h-y+ = 0叫做直线A的方程，直线L叫做 这个方程的图像外，还应该指出对于直线L的方程h-y+8=0以该方程的任何 一组解为坐标的点都在直线L上，反过来直线L上的点的坐标都是方程的解”.同 样的定义教学还有函数的奇偶性、周期性等.例2.已知函数，*) = *'+办+2一6是奇函数，且"-2) = IO.求/(2)的值. X分析：奇函数的定义：函数/(X)在定义域。内任意实数X，都有f<-x) = -f(x)，那么就把函数f(M叫做奇函数.可从定义的逆命题思考，“如果函数/")是奇函数，那么对于函数f(x)定义域D的任意实数X,都有A-O =-f(X)” .解设函数g(x) = . + r+2,定义域。是M-><<+coi;在定义域内，对手任意的 ,都有g() = r(x),所以g(x)是奇函数.因为/(-2) = 10,所以g(-2) = 16所以 g(2) = - g(-2) = -16,则/(2) = g(2)-6.即 /(2) = -22.例3.已知单项式与-3W是同类项，求，”和的值.分析：同类项满足两个条件：(1)所含字母相同相同字母的指数也相同的单项式我们在教学时，应该让学生反向思考同类项的定义，运用已知结论，去求解它 所需满足的条件,可以增强学生对同类项定义的理解并能够运用定义去解决问题.解因为加5/和一3fl W是同类项.所以，”+1 =3. = 2.解得，” = 2. = 2.在解决笈杂的数学问题时，若能运用定义的逆命题，可以使解题过程变得简 学易懂，而且能够保证答案的准确性.在课堂上，我们要积极地训练引导学生进 行逆向思考，提升学生的逆向思维.2.2 公式的逆用数学公式的运用是数学解超过程中重耍组成部分.题目在教材和定义的基础 上进行发展深化，基本的数学公式已经无法恰当使用，在解题过程中，我们更应 教会学生.将公示变形，逆用公示,但是学生.在做题时缺乏这种自觉性和变化性.因 此，在讲授公式时，我们可以通过公示的逆用训练，加深学生对公示的理解与记 忆，还能培养学生灵活运用公式的能力和双向思维能力.如在讲授平方差公式 时，不应该让学生死记哽背课本上的公式，而是迸行推导演示给学生观察，让学生探究公式是否可以逆用.常规思维是：/-从=5+砥4-阶,逆向思维是：(“ +力Xa-/» = /-/.还有比如三角函数公式，学生解题时用的最多的是逆推公 式.如：和差化积、积化和差公式：. cos(x- v)-cos(x+ V)sin xsn v =:-2cosCv + V)+cos(.v- V)cos.vcosy =sin( + V) + s in(x - y)sin A'cos y =:-2倍角公式：sin 2x = 2sin .vcos.vcos2,= cos2 x-si3 A = I-2sir .v = 2cos2-1这些基本公式和恒等变换，都是正反用结合.这些数学公式一般都具有双向 性，学生的思维定式是从左往右使用，而对逆向使用不熟练，因此在教学中，需 通过公式逆用的实例进行反复讲解，全更训练，帮助学生同步发屣正向与反向思 维.2.3定理的逆用数学定理是数学学习的重要部分，学会定理的使用是教学的重点,很多定理 的逆命题往往也是成立的.在教学中,学习完某数学定理后，教师应引导学生 探究其逆命题，再去论证判断其逆命题的正确性，进而后发学生使用逆命题去解 决一些数学问题，这可以激发学生的学习兴趣，激发他们的钻研意识，培养他们 创造性思维能力.例如勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是。.从斜边是 C.那么满足a2+Z=c2和它的逆定理：如果三角形的三边长”,瓦c满足 a'+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的逆用可以帮助学生拓宽 思路，掌握更多的解题依据.例 4 '.在四边形 ABCD中，AB = 3, BC = 4, CD = 12. AD = 13,4 = 90 :求四边形ABCD的面积.分析：在A8C中，/3 = 90 ,由勾股定理可以 计算出AC的长度.再由ACaDA的长度关系由 勾股定理的逆定理得出AAC。是直角三角形.解 在 A8C中，/8 = 90 ,由直用三角形的勾股定理得AC2 = AB2 + BC1.即 Ae2 =3li+42 =25,所以AC=5,所以 A8C 的面积为 La88C=Lx3x4 = 6.22在 AACQ中，52 +122 = 32,AC2 + CDi = AD2, 由勾股定理的逆定理得A8是直角三角形， 所以NC = 90.A8 的面枳为-CCD = -×5l2 = 30.22所以四边形ABa）的面积为36.例5.己知方程+.r+c = 0的两个解分别是内=3,.* =-1,求/>和C的值.分析：此题已知方程的解，求方程.如果从正面思考解方程则无从下手，需 要运用韦达定理芭+.匕=-23尤=£,但是已知0X,的值，应该逆用韦达定理，求 a a解瓦C的值.hr解 因为玉+毛= 2,.vl. = = -3 ,« = 1即8= -2c = -3.以上两个例题说明/逆用定理在函数和方程上的重要作用，同样，在数学几 何中，逆用定理也是至关重要的.在学习平面几何，直线平行的条件和性质：平 行线平行的性质和条件：三角形相似和全等的判定定理：空间几何两平面垂直的 判定定理：直线与平面垂直和平行的判定定理等等.这些定理的逆命题都可以成 为学生证明解题的依据，在教学时，应该同时推导证明其逆命题的正确性.例如：探究两直线仁人*+4>'+。|=04：41+4），+。2=0平行的条件时，在学生充分理解鸵握基本定理的基础上，引导学生探讨直线平行与系数间的相互 关系.G1-G-Cgbi至”为/O = ' = AH , O,(2)l 与/、重合Oa:A2(3M与，2相交o±2.4法则的逆用数学法则是数学规律的体现.其中包括数学元素间的内在联系与解决问题的 方法这些法则运算中有很多是互逆的，学生最早体膑到的就是小学加减乘除运 卯的检验,加法用减法检验，乘法用除法检验：中学所学的乘方与平方、合并同 类项与雎项式分项、分式通分与分式裂项、分子分母有理化等运算：高等数学中 的指数运算与对数运算、导数与积分等，这种反常规运算，可以提高学生进行逆 向思维的自觉性.在教学中注意将这些运算进行比较与训练，也是培养学生逆向 思维的重要方面.例 6.求 S* =+ + +. +.I ×2 2×3 34 4×5+分析：本题如果按照常规方法：先通分后相加，计算量大，必定束手无策. 若逆