01背包问题.docx

转自：背包问题九讲Ol背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是ci,价值是wi.求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。用子问题定义状态：即fiM表示前i件物品恰放入一个容量为V的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：fiv=maxfi-lvJi-lv-ci+wi这个方程特别重要，基本上全部跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它具体说明一下：”将前i件物品放入容量为V的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i1.件物品的问题。假如不放第i件物品，那么问题就转化为“前il件物品放入容量为V的背包中”，价值为fi-lv;假如放第i件物品，那么问题就转化为“前il件物品放入剩下的容量为vci的背包中”，此时能获得的最大价值就是fi-lv-ci再加上通过放入第i件物品获得的价值wi<.优化空间困难度：以上方法的时间和空间困难度均为O（N*V）,其中时间困难度基本已经不能再优化了，但空间困难度却可以优化到0（V）。先考虑上面讲的基本思路如何实现，确定是有一个主循环i=l.N,每次算出来二维数组fi0M的全部值。那么，假如只用一个数组fO.V,能不能保证第i次循环结束后fv中表示的就是我们定义的状态fiM呢？fiM是由filv和filv-ci两个子问题递推而来，能否保证在推fiM时（也即在第i次主循环中推fv时）能够得到fi-lM和fi-lvci的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V.0的依次推fv,这样才能保证推fv时fvci保存的是状态*1心疝的值。伪代码如下:fori=l.Nforv=V.0fv=maxfv,fv-ci+wi;其中的fM=maxfM,fv-ci一句恰就相当于我们的转移方程fiM=maxfHM,fi-lvi,因为现在的fvci就相当于原来的fi-lv-cio假如将V的循环依次从上面的逆序改成依次的话，那么则成了fiM由皿V-Cm推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是特别必要的。（滚动数组许多地方可以运用到,比如NOIP2007普及组第三题）事实上，运用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件Ol背包中的物品过程，以后的代码中干脆调用不加说明。过程ZeroOnePack,表示处理一件Ol背包中的物品，两个参数cost>weight分别表明这件物品的费用和价值。procedureZeroOnePack(CostzWeight)forv=V.costfv=maxfvJv-cost+weight留意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V.0是为了在程序中体现每个状态都根据方程求解了，避开不必要的思维困难度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为COSt的物品不会影响状态f0.COSt-1,这是明显的。有了这个过程以后，Ol背包问题的伪代码就可以这样写：fori=l.NZeroOnePack(cizwi);初始化的细微环节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必需把背包装满。一种区分这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。假如是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f0为0其它fiV均设为8,这样就可以保证最终得到的fN是一种恰好装满背包的最优解。假如并没有要求必需把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应当将f0M全部设为Oo为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。假如要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应当是8了。假如背包并非必需被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为。了。这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。小结Ol背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成Ol背包问题求解。故确定要细致体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最终怎样优化的空间困难度。