你看到我的小熊了吗.docx
金脑工业史学20112012学年第一学期公等做学习题册参考解答何先枝2011.10习题1-1函数1.设函数/(%)='一'，求2a,x>O,/(T)，/(O),/(1);(2)-9(x>O).xx【解】(1)/(-1)=(2+X)1.T=IJ(O)=(2+X)Oo=2J(D=2"Ie=2,z、f(Ax)-f(0)2Ay-2x>0,2ax-2x>0,x<0.(2)jj=ix(2+x)2Arx<0IV'/(-)-(0)x(2-x)-2_x-1(>0)O2.已知fd)=x+Jl+2,求f(x)X【解】令I=',则/(f)=；+广，故/(彳)=卜Jl+不。3 .证明：/。)=2工+5巾，在(-00,+00)内是严格递增函数.【证】方法1(定义法)JV对任意X,2(-,-H3),X1<X29有)-f()=(2x2+sinx2)-(2x1+sinx1)2*2-x)+sinx2-sinx1=2(x2-x1)+2cos2(x2-x)÷2,(-1)sin->2(x2-x)÷2,(1)-=x2-x1>0,其中用到一1cossinxx*>0),:©=2工+5由工在(-00,+00)内是严格递增函数。方法2(导数法)：f,(x)=2-Cosx>0(-<x<+):f(x)(-00,->)o4 .设/(幻在-,上是奇函数，证明：若/")在0,上递增，则/(x)在-兄0上也递增.【证】V对任意西,-a,0,x1<x2,a>0>有一芭-x1W0,6z,-x1>-X2,：由Fa)在0,03>0)上单调增加可得：/(-x1)>/(-x2)O又,：F(X)在-。MI上是奇函数，即/(-%)=-/(Xl)J(-工2)=-/*2)，(X2)9即/(%)</()，故F(X)在上也是单调增加。习题2-1极限1.求下列极限:(I)Hm(-2)；+3(-2)w÷,+3w+,【解】分之分母同除3，利用四则运算极限法则和塞极限可得22-132-142-15-1)2-1鹿2一1二13243-55-2)九(-1)5+1)23145("I)?"3"4(n-l)2-Illl+1n+,2111«In+11.1.=Iirn=oMo°In2(3)lim(l+r)(l+r2).(l+rr)(r<l);IT8,1【解】(1+r)(l+)(1+产“)二(1-)(1+广川+产)。+厂”)1-r(l-r2)(l+r2)(l+r2n)1一产“=，1-r1-r1 _r2-'I-IimZw'11.=Iim=ono01r1r1-r(4)Iimx(>x+T-x)；X-MOO【解】VV(x+1-Vx)=Vx(7+1-Vx)(7x+1+Vx)(Vx+1+Vx)31(5)lim(-).iX+1x+1,asyrr3(J+l)2+%X2.(1+xX2X)解】1.=Iim=Iimr=Iim-XTTr+17X+1-(l+xi-x+x)=Iim2%,l-x+x22.求常数。和"使得Iim如三2二二1.XTOX【解】丁Iim-=1>Iimx=O,XToX.v0：Iim(NaX+b-2)=yb-2=09BP/?=4ox0于是,.Vax÷b2.(Vax÷42)(cx÷4÷2)Iim田=Ilm,XTOXXTox(0x+4+2)ax1aa0X(Jar+4+2)XToyax+4+24:a=b=4。1+px3.若/(X)=-9求Iim/(x),Iimf(X),Iimf(X).-x0XT(FXTOl-ex【解】丁Iim-=-,XTO-X1-Iim=+8,：Iimex=0904Xk->o-Iimex=+<x>o.SO/171+Iimex从而，Iim/(x)=Iimr=i-=1,X0-0-l-exI-IimeXx0-r1+*1+d1.7+1z7+1IimJ(X)=Iimi-=Iim=Iim=XT0+XT(T-r-o1e-+xI11Ill-ex-1hm-1eIee故Iim/(x)不存在。习题2-2无穷小与无穷大1.利用等价无穷小的代换求下列极限：小tan(2x)ln(l+x)(I)Iim；I。sin(3x)arctan(2x)2xX1【解】1.=Iimzo3x2x3-Jl+cos"(2)Iim-x0sinX【解】1.=IimXTO(2-1+cosx)(V2+Jl+cosx)x2(V2+Jl+cosx)=IimA0l-cosxXTo2+l+cosx12-xIim-2XTO2zl.l-cos(sinx)IImXToJr【解】1.2sinX.rv21八.smx.21.=IInI5=-(l三)XTOX22XToXln(l+2x)X-Ja+x-ya-xx>0,-1x<0,确定正数4的值，使得Iim/(x)存在.解VIim/(x)=Iim1X1=Iim?XTo-XfO-xJa+x+ya-x1=F'v.、rln(l+2x)2xIimf(X)=Iim=Iim=2,.v04.v04X0'X：当=2,即a=1时，Iim/(x)存在。6f4I。习题2-3极限存在准则1 .计算下列极限：八tanX-sinX(I)Ilmr；XTosr1-zsinx1l-cosxx.SinXr11.I-CoSX【解】1.=Iim()=IimIimIimr0XCOSXXx°XXToCoSXK°X=11=022(2)HmS吧-2)；32x-4解=limSm(X-2)Iim!-=I-=-x2-2x2+244lim(士2)、xa0X【解】1.=Iim(1+)-2-2=lim(1+)"-2=e-2o>X<x>X22.,.X+1、J(4)hm(-r-)XT8X4-1【解】1.=Iimlim(l÷°Iim(I-二/XT8£2.设N=Io,工用=历三(=1,2,3,)，试证数列X的极限存在，并求此数列极限.【证】(1)证明极限的存在性单调性，n=j6+x“-j6+x,v<-Vx=10,2=6+xi=4,x2-x1=4-10<0o÷J由数学归纳法可知：%+<(),即J<j15=12),故化为单调减少数列。有界性，只需证明有下界。显然，xn>0o或者由数学归纳法VX1=10>3,x2=j6+x=4>39x3=J6+2=VlO>3,x4=/6+x3=y6+0>6+9=3,X11=j6+%>,6+3=3>,J有下界。于是，由单调有界收敛准则知：存在极限Iim%。n>o(2)求极限：设Iim%=，则由.=J6+怎一I求极限可得=j6+,即t00Ya2-a-6=(a+2)(a-3)=0,解得：a=2,30注意到西7>0,故=3。习题2-4连续函数及其性质1.求函数FS)=Z的间断点，并说明其类型.-e【解】显然，当X=OJ时，函数无定义，故X=OJ均为间断点。innVIim(1-e1)=-e'-=l-e0=O9.t0lim(x)=oo,即工=0为第二类间断点，且为无穷间断点。x0J1.Iim-VIim(l-e,-t)=l-r,x=l-¢+w=-,x-三-Iim-Iim(-el-x)=1-1.1=1-¢5°=1-0=1,xrJlim/(x)=0,Iim/(x)=l,即x=l为第一类间断点，且为跳跃间断点。.r.t!*注：*极限四则运算法则，*e,的连续性。2设AX)=!吧匿、'试求函数八幻的表达式,若有间断点'并说明其类型0,x<1,【解】Vlimx2w=1,x=1,QO+8,x>l,1,<1,x,x<1,I"x人IimZ-=0,IXl=I,即/(X)=0,I止1.-1+X一1,Ix>1,-XyIx>Io由图形易知：x=±l为第一类间断点，且为跳跃间断点。3.设AX)=noSfx>0.要使/(万在(0,+00)内连续，确定常数.a+x2,x0,【解】显然，函数在(-8,0),(0,+00)内为初等函数，故连续。只需讨论分界点X=O处函数的连续性。VIimf(x)=Iim(a+x2)=a9.r00Iim/(x)=Iimxcos-=0(无穷小与有界函数积)，.V04A(TX工当Q=O时，/(幻在(F,田)内连续。X<0,x=0,的连续性.x>0SinXX4.讨论/*)=1,2(77t)【解】显然，只需讨论分界点x=0处函数的连续性。1-r/、1-SinX.Iimf(x)=Iim=1,XTO-XTO-Xr、r2(Jl+x1)2Iim/(x)=Iim=Iim/=1,XTo+to+XXTtrl+-l:,呵J(X)=1=/(O),即f(x)在(-co,+)内连续o5,求下列极限：(I)Iim31+6)(为常数);XToX【解】方法1由等价无穷小可得：1.=Iim丝=a。XTOX方法2由重要极限与连续性可得：221.=Iimln(l+ax)cavxa.=IimIim=a-.t0X.r0X6.设函数/*)在0,2句上连续，且/(0)=(2),证明在0,句上至少存在一点八使得f()=f(+11).【解】作辅助函数尸(%)=F(X)-Fa+幻,则V/(X)在0,2句上连续，且f(0)=f(211),：F(X)C0,11o：7(0)=/(0)-f(11),F5)=f(11)一f(
