微专题20 分段函数问题（解析版）.docx

微专题20分段函数问题【题型归纳目录】题型一：函数三要素的应用题型二：函数性质与零点的应用题型三：分段函数的复合题型四：特殊分段函数的表示与应用【典型例题】题型一：函数三要素的应用例1.已知函数/(X)=卜：+3乂"0,若/S)TCf(1),则的取值范围是()x-2x,x<0A.0,8B.8,+oo)C.(-oo,8D.-8,8【解析】解："(1)=4,f（八）-f(«)8,当=0时，满足条件；>0时，a2+3a-(-ay)2+2ai,-6,整理得：8,.(0,8<0时，。2一2。-(-)2-3矶,8,整理得：出8,.(-,0)综上可得：(o,8故选：C.例2,已知函数/(X)=F+V广”,若/(a)+/（八）2/(1),则的取值范围是()e+x,x<0A.(-oo,1J1,+<x>)B.0,1C.-1,0D.-1,1ex+X2Y0【解析】解：.幻=；，e+xix<0.(x)为偶函数，.f(-a)+f（八）,2/(1),a2/（八）2f(1),<a)，/当X.0时，函数/(X)为增F4,1,.掇W1,故选：D.例3设函数/(X)=卜若/（八）),2,则实数。的取值范围是()-X",X.0.D.(y2,+00)A.2,÷oo)B.(00,2C.(co,>T【解析】解：y=(x)的图象如图所示,/(/（八）),2,:.f（八）.-2,由函数图象可知&J故选：CVm,1)D.26-6变式1.当函数f(X)=6取得最小值时，%=(X46,x>1【解析】解：当工,1时，f(x)=x2.O：当4>1时，/(x)=x+-6.2.1.-6=26-6,XVX当且仅当x=9,即x=«时等号成工XVx,12#-6v0,.函数f(x)=6取得最小值为2#-6,x+-6,x>1X对应的X值为卡.故选：A.变式2.己知函数/(x)=T+1,XVO,f(x)=x-x.0»则不等式x+(x+l)(x+l,1的解集()A.(x,2-lB.xx.J+2C.xx<l+2D.xx>l+2【解析】解：当x+1Vo即x<T时，不等式x+(x+l)(x+l),l同解于X÷(x+l)(x÷1)+1,1即d-1止匕时XV-I当x+1.0即X一1时，不等式x+(x+l)(x+l,1同解于X*÷2x-1.。解得-52-此时-啜k2-l总之，不等式的解集为(幻工,0-1故选：A.变式3.已知/(X)=卜为奇函数，则/(g(T)=g(x)fx<0【解析】解：根据题意，/3)=卜"3">°为奇函数,g(x),x<0则g(f=/(T)T=-(1-3)=2,则/(g(T)=/(2)=4-3=-1,故答案为：1.变式4.若函数M愕:“：小E则i=g"=，/(1)=【解析】解：篇(M,:.f(9)=log39=2,gf(3)=g(log33)=g(1)=I2=I,/=/(lg3=/(-2)=f(1)=Iog3I=O.故答案为：2：1：0XI1,Vc-X2&,XV-IX2+2x&,x.-1八，则不等式+i)(+1,1的解集是X-Ix.0【解析】解：由题意x+(x+1)(+1)=<当XVO时，有-邕,1恒成立，故得XVO当x.0时，X2+2x,1»解得-啜k2-l,故得喷Ik0-1练上得不等式+(x+l)(x+l,I的解集是(-8,-1故答案为(-8,2-I.变式6设/(x)=V',g(x)是二次函数，若/g(x)的值域是0,+),则g(x)的值域是x,x<1【解析】解：在坐标系中作出函数=的图象，观察图象可知，当纵坐标在0，+00)上时，横坐标在(-8,-1JO,+00)上变化，/Cr)的值域是(T,o),而f(g(x)的值域是O,+),g(x)是二次函数.g(x)的值域是0,+00).故答案为：0，+8).题型二：函数性质与零点的应用例4.已知函数/。)=二3。"：1°。，玉，7是定义域(-0,+00)上的单调递减函数，则实数。的取值范围是(,x>7)A，GfB(；，C.1|)D.(1A【解析】解：若/(X)是定义域(TO,M)上的单调递减函数，0<t7<1则满足<l-3v,7(1-3。)+Ioa.a?-'=1O<a<l1ll.l1633116&H故选：B.例5.已知函数/(x)=J)1.6x；6'是定义域(YO,go)上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(Ab(>jC.,1)D.(；旨oJoJ311【解析】解：函数幻=二3。>：10g，6,x>6/(x)是定义域(yo,K)上的单调递减函数,1-3<0则满足<O<<l,68i7.1解得J<4,2,38故选：B.例6.函数/(x)=r+l')°在R上单调，则”的取值范围为()(-x<OA.(l,+)B.(1,2C.(o,2)D.(x>,0)【解析】解：/(x)在&上单调：若/")在R上单调递增，则：a>0«。>1；.O2+1.(a-l)eo.1<6,2；若/Cr)在R上单调递减，则："°：a>l/.«0；的取值范围为(1,2.故选：B.变式7.已知/(幻=二一2"+l<°,则),=()-的零点有()/(x-l),x.0A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：.当X.O时，/(x)=(x-l),.(x)在X.0的图象相当于在T,0)的图象重复出现是周期函数,Xel-1,0)时，f(x)-X2-2x+=-(x+1)2+2对称轴为=-1，顶点坐标为(T,2).画出函数y=(x)与y=x的图象如图:则y=(x)r的零点有2个.故选：B.0<工,33<x,9,设,b，C为三个互不相同的实数，满足,x>9l-3r变式8.已知定义在/T上的函数f(%)=ogT4->x（八）=f(b)=f(c),则历的取值范围为【解析】解：作出/(x)的图象如图：当x>9时，由/(x)=4-7=0,得x=16,若,b»C互不相等，不妨设av匕vc,因为/（八）=f(b)=f(c),所以由图象可知0vv3<b<9,9<c<16,由/（八）=f(b)»得I-IOg§G=Iogab-1，BPIog3a+Iog3h=2,KPIog3(Z?)=2,则必=9,所以ObC=9c»因为9vcvl6,所以81v9cvl44,即81VaV144,所以而C的取值范围是(81,144).故答案为：(81,144).【解析】解：作出函数/")=是三个互不相同的实数，满足/（八）=f(b)=f|/%|,0<用，3.,_1.r-的图象如图,1+3-x,x>3/.log3(0h)=0,则a。=1,a=Iog3b,."c的取值范围为(3,4+23).故答案为：(3,4+2J).变式10.己知/")在R上是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+xt求函数/(x)的解析式.【解析】解：当x>0时，-XV0,.%<0时，f(x)=X2+x,.f(-x)=(-x)2+(T)=x2-x,，当X>0时，f(x)=-X2+X,又/(0)=0符合上式,综上得，F(X)=<x2-xix<0-X2+xyx.0变式I1.已知函数饵XXX=O)为偶函数，且当x>0时，心)=丁不&%若fjQ)>h(2),求实数1的4-2x,x>4取值范围.【解析】解：函数(X)(X0)为偶函数，且当x>0时，川X)=卜?'°<"'4,4-2x,x>4当工>4时，力*)=4-2x递减，且(X)<-4,当0<,4时，h(x)=一一递减，且以x)-4,0),4且x>0,力(X)连续，且为减函数，ht>h(2),可得加“)>/?(2),即为f<2,且"0,解得一2cv2,且，工0,则/的取值范围是(一2,O)U(0,2).题型三：分段函数的复合例7.设函数")=F',若对任意给定的(l,÷x),都存在唯一的XtR,满足/(/(幻)=襁2+2,lnx,x>0则正实数机的最小值是()13A.-B.1C.-D.222【解析】解：由已知条件知：/+2>0,.若4,0,则/(x)=F>0,:.f(f(x)=Inex=x0,这种情况不存在，若OV用，1,则/(x)=/U),0,./(/(x)=e,nx=;,1»x>l时，/(x)=Inx>0,/(/(x)=In(Inx)R,只有/(/(x)>l，即，M2+2/>1时，对任意给定的(l,E),都存在唯一的X£/?，满足f(fM)=+2>n-x<a,(l,+)».n÷2m2.l»即+z-1.0,w>O>解得机，2.正实数机的最小值是2故选：A.2-xYJ例8.己知函数/(X)=%'一，g(x)=x2-2x,若关于X的方程/g(x)=%有四个不相等的实根，则实'2''4'2-x【解析】解：对于函数/O)=丁'2t,x<l当x.时，/co单调递减且TVJfaK1.当x<l时，/(冷单调递增且0</(X)Vl;故实数Z一定在区间(0,1)之间，D.(TI)若2-g(x)=k；则可化为g(%)=x2-2x=3；g()1+4显然有两个不同的根，若2glxH=k,则g(x)=x2-2x=I+Iog2k:i=4+4+41og2>0：即左>1.4综上所述，实数AGd/)；4故选：B.例9.己知函数1.则方程/(/(幻)一2"(X)+当=0的实根个数为()2x,+l,x,14A.3B.4C.5D.6【解析】解：设/(X)=F，可得3/(r)-2(r+-)=0.4q分别作出y=f(x)和y=2x+-的图象，可得它们有两个交点，即方程/(0-2。+)=0有两根，4根为4=0,另一个根为G。，由/(K)=。，可得X=2；由/(X)=I可得”有3个解，综上可得方程/(/(幻)-2"(x)+4=0的实根个数为4.故选：B.1.4-1vO1八下列是关于函数y="(x)+l的零点的判断，其中正Iog2x,x>O确的是()A.在(-1,0)内一定有零点B.在(0,1)内一定有零点C.当人>0时，有4个零点D.当<0时，有1个零点【解析】解：令解/(%)+I=O得,/