微专题21 抽象函数的处理技巧（解析版）.docx

微专题21抽象函数的处理技巧【方法技巧与总结】常见抽象函数的模型f(+y)=U)+(y)<=>f()=f(l)f(y)=F(X)+f(y)F(X)=IOgaXf(+y)=f()f(y)f=ax/(y)=()(y)/U)=xafx+>,)=U)+(y)+Axy÷÷f(x)=ax2-bxf(x+y)+f(x-y)=2f(x)/(x)=ax+b【题型归纳目录】题型一：求抽象函数的解析式及函数值题型二：抽象函数的奇偶性问题题型三：抽象函数的单调性问题【典型例题】题型一：求抽象函数的解析式及函数值例1.设函数fR满足f(0)=l,且对任意X,yeRt都有到+1)=冷/0)-历-%+2,则/(2017)=()A.0B.2018C.2017D.1【解析】f(xy+1)=/(x)(y)-f(y)-x+2,/(O)=1.令x=y=0,得/(1)=/(0)/(0)-/(0)+2=1-1+2=2,令x=l,得/(y+l)=F(y)/(1)-f(y)-+2=2f(y)-f(y)+=f(y)+f即/(y+l)-(y)=l,数列5)是以2为首项，1为公差的等差数列，/,/(2017)=/(1)+2016x1=2+2016=2018，故选：B.例2.设函数/*)满足/(0)=1,且对任意X,yeRf都有/(盯+1)=JW(y)-(y)+2,则/(1)=()A.2B.-2C.1D.-1【解析】令x=y=0得f(1)=(0)(0)-(0)-0+2=l×l-l-0+2=2,故选：A.例3,设函数/:RfR满足/(0)=1,且对任意x,y?Wfxy+1)=fWf(y)-f(y)-x+2,则/(2020)=()A.OB.1C.2019D.2021【解析】根据题意，在/5，+1)=(x)f(y)f(y)7+2中，令x=y=0得/(1)=/(0)/(0)-/(0)+2=1-1+2=2,令X=1,则f(y+l)=f(y)f(1)-f(y)-1+2=2f(y)-f(y)+1=f(y)+1,即/(y+D-=b则/-/(0)=1，f-f(1)=1，f(3)-f(2)=1,/(2019)-/(2018)=1,/(2020)-/(2019)=1,等式两边同时相加，得f(2020)-(0)=2020,得/(2020)=2020+/(0)=2020+1=2021,故选：D.变式1.若函数对定义域内任意两个自变量X,y都有f(x+y)=()f(y),则/(x)可以是()A./(x)=2x+lB.f(x)=x2C.f(x)=D.f(x)=2xX【解析】函数/()满足对定义域内任意实数X,y都有f(+y)=()(y)，当F(X)=2”时,有Va+y)=2"/(x>(y)=2jr2>,=2*+y,即/(x+y)=(x)(y);所以该函数可以是指数函数.故选：O变式2.函数/(X)满足对定义域内的任意X,都有+2)+(x)v2(x+l),则函数可以是()A.f(x)=2x+lB.f(x)=X2-2xC.f(x)=exD.f(x)=Inx【解析】由/(x+2)+()v2f+l)得,/U+2)-/(x+1)</(x+D-/(%)，(x+2)-(x+l)=(x+l)-x,.说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、/(x)=2x+l是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A,n,1:对于3、/(x)=W-2X在定义域上不是单调函数，在(o,l)上递减，在。,+oo)递增，B错；对于C、/(x)=e'是增长速度最快-呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于。、/(X)=如:是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，。正确.故选：D.变式3.若/")满足对任意的实数,b都有/3+)=/（八）.f(b)且/(1)=2,则下列判断正确的有()A. f(x)是奇函数B. /(x)在定义域上单调递增C.当x(O,÷x>)时，函数/(x)>lD./(2)/(4)/(6)/(D/0)/(5)/(2016)/(2018)/(2020)/(2015)/(2017)/(2019)=2020【解析】令=I,人=0可得/(1)=/(1)./(0),即2=2/(0),.J(O)=I,.(x)不是奇函数，故A错误;若存在为使得f(%)=0,则="/)/(F)=0,与/(0)=1矛盾,故对PXeR,f(x)0»对任意"R，都有/U)=/(|+|)=/(1)2>0,对于任意正整数，f(1)=/(-+-+.+-)=(一)=2,(一)=>l,nnnnn若X为止整数，三=(l+l+l+.+l)=fl(1)=2">l(n.l),若1为正有理数?(加为与互质的正整数)，则/()=(l+l+.+-!-)=w(一)>Bnnnnn为正无理数夕,则q可看作某个仃理数列pj的极限，故/(q)可看作(p,J的极限，而/(r)>1,故)>B故当x>0时，/()>1,故C正确；不妨设大工2，则O)=()O内)，切W-芭>0，f(x2)-f(xl)=fxx)(-xl)-,/(X1)>0»f(x2-xl)>lt./(X2)-Z(X1)>0,故/(x)是增函数,故6正确；令=1可得/(+l)=f（八）f(1)=2f（八）,Z=2,故幽=幽=ZM=2,/3)/(1)/(3)/(2019)÷三÷÷三÷三-三故选：BCD.变式4.已知函数/(x)对一切实数X,y都有/(工+)，)一/()，)=1。+2丁+1)成立，且/(1)=0,则/(0)=-2_，/(x).【解析】,函数/(x)对一切实数X,y都有/(x+y)-(y)=x(x+2y+l)成立.且f(1),.令=1,y=0,代人上式得/(1)一F(O)=2,.(0)=-2.函数F(X)对一切实数X,y都有/(x+y)-f(y)=x(x+2y+l)成立，.令y=0,代入上式得/(x)-(0)=x(x+l),又由(D知")=一2,/.f(x)=X(X+1)-2.故答案为：2；X(X+1)2.变式5.若函数/(x)对任意实数X,y均有/(x+y)=2f(y)+x2+2xy-y2+3x-3y,则f(x)的解析式为.【解析】令X=y=0得f(0)=2(0)所以/(0)=0令>=0得f(x)=(0)+f+3所以f(x)=x2+3x故答案为：+3x变式6.对任意正实数X,y,f(xy)=fM+f(yf(9)=4,则f(J)=.【解析】令x=y=3,则/(9)=If(3)=4,:.f(3)=2,令x=y=G则A3)=2f(J)=2,/(3)=1.故答案为：1.变式7.(1)BJ(x)+2(-x)=x+l,求f(x)的解析式.(2)设/(X)是R上的函数，且/(0)=1,并且对任意实数X,y都有/(x-y)=(x)-y(2r-y+l),求/")的解析式.【解析】(1)Hj(x)+2(-x)=x+l,所以/()+2(X)=T+1,于是得到关于/（幻的方程组/(x)+2/(T)=X+12f(x)+f(-x)=-x+解得f(x)=-x+i(2)令X=O得，/(0-y)=/(0)-y(-y+1),即/Qy)=l-yQy+l),又令y=,代入上式得，/(x)=l+x(x+l),所以f()=X2+x+l.题型二：抽象函数的奇偶性问题例4.已知73定义域为R,对任意”,小口都有/。+')=/。)+，()-1,当x>0时，/(x)<1,/(1)=0.求/(T)；(2)试判断/(x)在R上的单调性，并证明；(3)解不等式：/(2-3x-2)÷2(x)>4.【解析】(I)根据析+y)=()+f(y)T,令x=y=O,得/(0)=/(0)+/(0)-1,解得/(0)=1,再令X=1.y=T,则有f(0)=(l)+f(T)-1,解得f(T)=2.(2)判断：/(X)在R上单调递减，证明如下:x+y=x1,x=x2,x1>x2,则y=xl-x2>0,所以/(1)=()+(j)-i,即U,)-(2)=(y)-,因为y>0,所以/(y)<,所以)(w)v,即Vxpx2R,1>x2t都有/(x1)</(x2),所以f(%)在R上单调递减.(3)由题可知f()+/G)=F(X+y)+l,所以2/(X)=/U)+f(x)=f(2x)+1,所以由f(2x2-3x-2)+2(x)>4得/(2x2-3x-2)+/(2)+1>4,即f(2x2-3x-2+2x)+l+l>4,即/(2x2-x-2)>2,又因为J(T)=2,所以/(2/12)>(T),由(2)知/(x)在R上单调递减，所以2犬_%_2<-1,KP2x2-X-KO,即(2x+l)(x-l)<0,解得<x<l.2例5.已知函数/(x)对任意的实数见都有/("+)=/W)+且当x>0时，有/(x)>l.(1)求证：/(x)在R上为增函数；若/伊-2-3。+/(29-攵)>2对任意x«0,一)恒成立，求实数&的取值范围.【解析】(1)设王<”2,令m+“=W,=玉，(W)=/(x2-xJ+(XJ-1,则/(w)-/(XJ=/(Wf)-1；,X2-X1>0,(x2-1)>1,.(x2)-(1)>0,J(x)在R上为增函数.由题意得:f(9-)+f(29T)=f(39-)+l>2,.j(39X-23T)>l,令桃=0,则/(0)=2(0)T,解得：/(0)=1,/(x)为R上的增函数，.33-23*-A>0,.Mv33-23”,令f=3"l,设g(f)=3产-2r(rl),.g(r)mi=g(l)=l,.U<1,即实数攵的取值范围为(-8,1).例6.(1)已知函数f(x)对任意的R,都有/(+份=f()+/S)-1,且当x>0时，/W>l,求证：/O)是R上的增函数；(2)若/O)是R上的增函数，且j=a)-(y)J(2)=l,解不等式f(x)-/(W)2.【解析】(I)设为，¾gR,且XJVX2，则W-Xl>0,即/(七一)>l,所以了(工2)一，(内)=/(占一内)+历一，(凡)，=(w一内)+/(XJ-I一/(%)=/(七一七)一1>。所以/(%)<f(w),所以，(X)是R上的增函数.(2)因为f(R=f()T(y),所以1)+f(y)=3.在上式中取m4,产2,则有“2)+/(2)=/(4),因为/(2)=1,所以/(4)=2.于是不等式f(x)-f-1.-<2等价于fx(x-3)/(4)(x3).又/(x)是R上的增函数，(X(X-3)<4所以<O，解得Txv3或3vx4,