人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义.docx

案例二精析精练课堂合作研究重点难点突破知识点一共线向量定理(1)定理内容：对空间两个向量，。人的充要条件是存在唯一的实数X，使。=动。此定理可以分解为以下两个命题；假设。地Wo),那么存在唯一实数X,使=幼。存在实数X,使。=幼(工0),那么a/Z?。(2)在定理中为什么要规定b0呢？当力=0时，假设=0,那么。人，也存在实数X使=她；但假设Wo,我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数X,使=Xb,因此在定理中规定了人工0。假设将定理写成。bu>6=m,那么应规定工0。说明：在=就功中，对于确定的X和Z?,=动功表示空间与人平行或共线且长度为I必的所有向量;利用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。知识点二共面向量定理(1)共面向量(右图)，通说指这些向O量就不一向量，作。4=。，如果QA的基线平行于平面，记作常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。明：是指。的基线在平面内或平行平面QO共面向量是量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线可能相交、平行或异我们，对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向定共面了。例如，在以下图中的长方体，向量A3、AC、AD,无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。(2)共面向量定理共面向量定理：如果两个向量。、力不共线，那么向量C与向量、b共面的充要条件是，存在唯一的一对说明：在证明充要条件给出了平面的向两个不共线的平面向的另一种形式，可以理可证明点线共面、实数x,y,使C=W+地。条件问题时，要证明两个方面即充分性和必要性。共面向量的充要量表示，说明任意一个平面可以由量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又是共面条件借此共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。利用共面向量定线面平行等。三个向量共面，又称做三个向量线性相关。反之，如果三个向量不共面，那么称做三个向量线性无关。知识点三空间向量分解定理(1)空间向量分解定理：如果三个向量。、b、C不共面，那么对空间任一向量P,存在一个唯一的有序实数组X,y,z,使"=m+yZ>+xc。C的线性组合一个基底，记作(3)空间向量表示出空间任意一(2)如果三个向量、b、C是三个不共面的向量，那么、b、Xa+yb+zc能生成所有的空间向量，这时。、b、C叫做空间的,c,其中、b、C都叫做基向量。根本定理说明：用空间三个不共面的和向量组,Ac可以线性个向量，而且表示的结果是唯一的。空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。由于O可看做是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0。要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。典型例题分析题型1概念问题【例1】设x=+力,y=b+c,z=c+a,且,Ac是空间的个基底，给出以下向量组：,b,x,h,y,txty,zt(三)a,x9y,x,y,z+O+c0其中可以作为空间基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析正确理解向量的基底与基向量。答案如下图，设=AB,6=/1.41,c=AD,那么X=A氏y=A。，z=AC,+b+c=AC,由A、Bi、CsD四点不共面，可知/、y、Z也不共面，同理可知、b、C和工、y、z、a+b+c也不共面。/.选D.方法指导能否作为空间的基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面。充分利用一些常见的几何体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助我们进行直观判断，即模型法的应用。【变式训练1】设。、b、C是三个不共面向量，现从+Z?,-Z?,+c,b+c,+8-c中选出一个使其与。、b构成空间向量的一个基底，那么可以选择的向量为o【答案】。题型2共线向量定理的应用【例2】空间三个不共面的向量，假设=3加一2-4p,b=(x+)m+yn+2p,且/?,求实数x,y的值。解析解决向量共线问题的依据是应用共线向量的充要条件，即人=M(HR),且;I是唯一确定的实数及a0o答案因为b,所以b二九r(4R),即(+)7：+2p=3m-2n-4沏。-42=2,由于向量中,不共面，所以，-24=y,3=x+,Z5解之，得J2'故实数,y的值分别为-1,1。y=1.规律总结待定系数法也可以用来解决空间向量中的有关问题。在解决此题的过程中有两个关键：一是运用共线向量的充要条件得到相应的关系式；二是根据空间向量定理的推论得到关于儿x,y的方程组。【变式训练2】空间三个非零向量。、b、C满足+b=3c,a-b=5c,判断向量。与Z?是否平行。,c+b=2>c答案因为，Ua-b=5c所以±绍得：。=4。,二得:b=-c,所以。=-4，故由共线向量充要条件得：cHb022【变式训练3】向量。、h,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,那么一定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D答案BC+CD=BD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB。所以BD/AB,所以A、8、。三点共线。题型3共面向量定理及应用【例3】A,B,C三点不共线，对平面ABC外一点O,确定以下各条件中的点P是否与点A,B、COP=IOa-IOB-OC.2112,一定共面，(1)OP=-OA+-OB+-OC;555解析由共面向量定理知，要证明P,A,3,C四点共面，只要证明存在有序实数对(x,y)使得AP=XAB+yAC.2*1*2*答案(1)共面。OP=WoA+2O3+WC,555,*31-21,>1/12/,1.2*12,*.()P-OA=-OA+-OB+-OC=-pB-OA+-pC-OA=-AB+-AC,即4P=-A8+-AC.5555v75v75555丽主衣不共线，.而,通公共面且具有公共点A,从而P,A,B,C四点共面。(2)不共面。如果P与A,B,C共面，那么存在唯一的实数对(x,y),使得而=X而+丁元，对平面A6C外一点O,有而一苏二x(而一苏)+)依苏)，即而=(1%)g+_¥丽+历，与原式比i-x-y=2,拟得(x=-2,此方程组无解，故A,B,C,P四点不共面。J=T规律总结判断四点共面，除了此题中的解题方法外，还可以用其变形，即：空间一点尸位于平面ABC内的充分必要条件是存在有序实数对(x,y),使得对空间任一定点O,有而=5X+x布+yZ6;或假设四点P,A,B,C共面，那么对空间任一定点O,有OP=xOA+yOB+ZOc(X+y+z=1)。【变式训练4】假设是三个不共面的向量，试问向量0=34+262+63，=一G+02+3e3,c=2q-e2-41是否共面，并说明理由。答案令必3,+2g+e3)+y(，+/+3s)+z(2e-g-4%)二°，亦即，(3x-y+2zk+(2x+y-z,2+(%3y-4z13=O，因为勺,，是三个不共面的向量，3x-y+2z=0,2x+y-z=Oi,解得x+3y-4z=0,X=Ty=7、z=5,从而=7j+5c,Z?,C三个向量共面。【例4】求证：三向量=e/=3q-202,c=2e+3/共面；假设=力+“C,试求实数优,的值。解析要证明三个向量。=q+6,力=34-2e2,c=2q+3/共面，可以利用向量共面定理的推论，证明存在三个不全为零的实数4",y,使得而+9+兀=。即可。答案a-jub+c=(el+2)+(3q2/)+y(2q+3/)=(2+3+2)el+(几一2+3)e2如果,适合方程组+3+2y=0,-2÷3/=0,那么就能使力2+"?+妙=O,=-13t,而显然上述方程组有无数组解=f,其中rR°X=5r,于是有一13柩+#+5%=0,所以，,"c三向量共面，并且可得=-b+上c。1313故所求的实数加=-,二»。1313规御总结事实上，对于任意两非零向量q,«2，那么。=4。1+,2,8=44+4202，。=44+462(4,4,4，2，"3£扭)总是共面的。从此题的解法中不难发现，其解题方法是一箭双雕，即在证明,b,c三向量共面同时，只要对结论稍作变形就得到了加与的值。另外，面对解题过程中关于Z",y的方程组有数组解的情况，假设不能利用其中的一组解，或者是获得§与与的值，就不能就得所求的阳与的值。【变式训练51,b,c是三个不共面向量，假设,b,c的起点相同，那么当实数f为何值时,a,b,tc反：(+8+c)的终点共面？(1)OB、而C解析(苏、丽、答案由于a,b,fc及;(+b+c)的终点共面，所以等价于b-/c-及:(+b+c)。共面，于是，设a(b-a)-(tc-a)-a+b+c-a=O,4所以_。_夕_:/)4+(。+；卜+少+；=0.故有方程组1+2=0,有解，4第+4=0，4(1)+(2)得：=-,由(3)得：=-,所以-二4，即/=!.24r4r22题型4空间向量分解定理及应用【例5】如右图所示，平行六面体OABc)-OAbCtAOA=a,OC=by=c,用1,C表示如下向量：O7B.AC；H分别是侧面BB,C,C和O,A!B,C的中心)。OA.OB.无不共面，可作为空间的一个基底，其他向量用OC)表示出来。答案(1)OB=OB+BB=OA+OC+OO=a+b+c,B=OV+OB=+OA+OC=c+a+h=a+b-c,A,=AC+CC,=AB+A+AA,=OC+AA,-OA,=b+c-a0GH=G-OH=-+OH=-pB,+Oc)pB,=-(«+/?+c+/?)+(«+/?+c+c)=-(c-/?).规律总结在平行六面体中，从同一顶点出发的三条棱所对应的向量都可作为基底。向量法的关键就是用表示未知，然后进行向量的运算。【变式训练6】如图，空间四边形OABe中，G、H分别是A48CAO8C的重心,设OA=a、OB=b,OC=c,试用向量、b、C表示向量GH。答案由GH=OH-OG.v0H=-D=-×-(B+c)=-(Z7+e),332、73v7OG=OA+AG=OA+-AD=OA+-pD-OA33v7=-OA+-×-pB+OC=-a+-(b+c),332'733v7.丽=ge+c)-g-g0+c)=f,即而=_卜.题型5综合应用【例6】如下图，旦F,G,H分别为正方体ABeo-Al用GA的棱AI耳，A2,与G，。ICl的中点。求证：(1)E,£0,8四点共面；(2)平面AE/平面5O”G。解析由其面向