第18章平行四边形--中线性质典型例题讲练.docx

中线性质典型例题讲练知识框架1 .三角形的中线是连结一边中点和对角顶点的线段，它把三角形的面积分成相等的两部分；2 .三角形一条边的两个端点到该边上中线的距离相等；3 .遇到中线，经常要倍长中线构造全等三角形；4 .直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；5 .中线定理：三角形任意两边平方和等于第三边平方的一半加上该边上中线平方和的2倍；6 .平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和.典型例题例1如图11-1,四边形ABCD中,E为AD中点,F为四边形ABCD内一点IFB=90。,AF=BF,EF_1.BC于点G.若FC=FD,求NCFD的度数分析题目中出现等腰直角三角形ABF和EFlBC,很容易让人联想到三垂直模型，所以可过A作FE的垂线，构造两个直角三角形全等，得到相等的线段；再利用中线构造全等三角形，可进行线段的转化，最后利用“H1.”证得两个直角三角形全等后,可求出NCFD的度数.解（图11-1）点评三角形一条边的两个端点到该边上中线的距离相等.这个基本结论可用三角形全等来证明，也可用面积法来证明.本例题将它与三垂直模型、“H1.”结合起来，可进行线段或角度的转化.例2如图1I-2,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE.分析“倍长中线'可以造全等三角形，但AD和AE均为中线，倍长哪一条呢？尝试后发现倍长AE可产生两对全等三角形.点评题目中出现中点，一定可通过“倍长中线”构造全等三角形，也许这是解决问题的有效途径.例3如果一条线段把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条线段称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的面积等分线的是一；(2)如图1131,梯形ABCD中,AD8C,4D<BC延长CB至点E,使BE=4。连结DE厕Sfn=5函；.请完成上述结论的证明，并过点D作出梯形ABCD的面积等分线(不写作法，保留作图痕迹)；如图1132,四边形ABCD中,AD与BC不平行,Sdbc>5人皿请过点D作出四边形ABCD的面积等分线(简要说出画图步骤)，并给予证明.析我们知道，三角形的中线平分其面积，要平分四边形的面积，可通过平行线将四边形转化为与其面积相等的三角形.点评面积等分问题通常都是利用平行线将多边形的面积转化为三角形的面积，再根据三角形中线平分面积的性质解决问题.例4如图11-4,在48C中,AD是BC边上的中线.ZC=30o,CAD=15。,求乙48C的度数.分析出现特殊度数的角，会想到直角三角形，再结合中线的条件，可过点B作AC的垂线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和：30。的锐角所对的直角边等于斜边的一半来转化线段.解（图11-4）点评30。的锐角和中线同时出现，会想到直角三角形中关于一半的两个定理，从而进行等长度代换.例5已知:如图11-5-1,在A8C中,AD是BC边上的中线.求证:AB2+AC2=2(FD2+AD2).如图1152点P是长方形ABCD所在平面内一点.求证:PA2+PC2=PB2+PD2.如图)11-5-3,ABC,.AB=2,BC=3,D是ABC所在平面内一点,AD1CDfBD=1,求AC长的取值范围.分析第(1)问实际是证明三角形中线定理，考虑作同边上的高，利用双勾股解决；第问要证明平面内一点到长方形相对的两个顶点的距离的平方和相等，可在(1)的基础上直接利用中线定理完成证明过程；第(3)问要踩在肩膀上构造矩形，转化线段，根据三角形的组成条件求出取值范围.解点评中线定理揭示了三角形的中线与三边之间的数量关系，可解决与线段长度有关的诸多问题，中线定理的证明还可用一边的两个端点向中线作垂线来解决.例6已知点A(-4,3),B(3,6),点C在直线y=r+1±,D在直线.y=3x+8上若以A,B,C,D为顶点的四边形为平行四边形，求直线CD的函数解析式.分析由于平行四边形的对角线互相平分，所以对角线的交点同时也是两条对角线的中点，利用中点坐标公式可求出相关顶点的坐标.解点评已知平行四边形的四个顶点，没有按序排列，平行四边形的位置就不确定，因此要进行分类讨论，可以按对角线进彳为类.例7如图116扇形OEF中/EOF=90。,OE=4,点A在OF上,点C在OE上,点B在EF上,ACB48。面积的最小值.分析作ABC和OAC的中线BD和OD,设.4C=BC=2居在OBD中可以建立不等式.(ffl11-6)点评直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这条性质是解决本题的关键.