2024周矶中学专题复习二次函数与菱形.docx

解答：22xkj-T+h+c解：牌抛物线产3经过点6(0,4).c=4,顶点在直线K=2上，一上上qb=一卫2a423：所求函数关系式为210(2)在RrAABO中，OA=3,OB=4,.M=0A2+0BY四边形ABCO是菱形,：.BC=CD=DA=AB=S,C。两点的坐标分刷是(5,4)、(2,0),4=44=02yt-2-IOy-当E时，尸豆X5-y×5+2x22.10当x=2时，y=3232点C和点D都在所求抛物线上：(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,设直线CD对应的函数关系式为ykx+b,f5k+b=4则12k+b=0,545.8/当X=加寸，N=3235,22.P(2*3),(4)：,AOMNsAOBD,2024年中考数学专题复习二次函数与菱形28.(2024兰州)如图.MAABO的两直角边Ok08分别在X轴的负半轴和y轴的正半轴上，2O为坐标原点，A、8两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线)，=冬+bx+C经过点3,且顶点在直线x=Wh.(1)求抛物线对应的函数关系式：(2)若把AABO沿X轴向右平移得到ADCE.点A、8、O的对应点分别是。、C、E,当四边形ABS是菱形时，试推断点C和点O是否在该抛物线上，并说明理由：(3)在(2)的条件下，连接5。已知对称轴上存在一点P使得尸5。的周长最小，求出P点的坐标：(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点。、8不重合)，过点M作AD交X轴于点N,连接尸时、PN,设OM的氏为/,APMN的面积为S,求S和，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标：若不存在，说明理由.考点：二次函数综合题。分析：22“15(1)依据抛物线y=3'经过点3(0,4),以及顶点在直线X=Z上，得出4c即可：(2)依据菱形的性质得出C、。两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.5(3)首先设直线CD对应的函数关系式为F=H+6求出解析式，当X=7寸，求出y即可：OM二ON1(4)利用MN8。，得出OMNsAOBD,进而得出OB-OD,得到ON=2,进而表示出APMN的面积，利用二次函数最值求出即可.<3)在动点P,Q运动的过程中，当为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形？请干脆写出I的值.考二次函数综合题。点：分(1)依据矩形的性质可以写出点A得到坐标：由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方析：程为y=a(xD2+4,然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式)；(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4t),据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标：然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4-工、点A到GE4的距离为工，C到GE的距离为2-上：最终依据三角形的面积公式可以求得22SAacg=Saeg+SCeg=-(t-2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时，SAacg的4最大值为1：(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上.解解：(1)A(】，4).(1分)答：由题意知，可设抛物线解析式为y=a(X-I)2+4抛物线过点C(3,0),.O=a(3-1)2+4,解得，a=-1.抛物线的解析式为y=-(-l)2+4,即y=-2+2x+3.(2分)(2) /A(1,4),C(3.0),可求直线AC的解析式为y=-2x+6.点P(1,4-t).(3分)将y=4T代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=l+.(4分).点G的横坐标为1+工，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-工.24ClMgtJN_1.而而J可，得ON="F,设对称轴交X于点F,112555则S梯形PFOM'2(PF+OM)OF=2(3+/)×24th6,4皿&10号6号CS三rP4t)×i="6t+i,AtqTt2IJS=464(-66),=-4tEt(OVy4),S存在最大值.*当上H282由S=-4124(,-6)2+144,17282.当S=石时，S取最大值是食，17此时，点M的坐标为(0,6).点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键.26.(2024烟台)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1.0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=aY+bx+c过点C.动点P从点A动身，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C动身，沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为野秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE_1.AB交AC干点E.(1)干脆写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EF_1.AD于F,交抛物线于点G,当【为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？考点:专题:分析:二次函数综合题。压轴题。解答:（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值：（2）由于菱形的对角线相互垂直平分，若四边形PoPC为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标：（3）由于AABC的面枳为定值，当四边形ABPC的面积最大时，ABPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q,交X轴于F,易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后依据抛物线和直线BC的解析式求山Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的肯定值为高即可求得ABPC的面积，由此,可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，依据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.解：（1）将B、C两点的坐标代入得（2分）解得:b=-2C=-3所以二次函数的表达式为:y=x2-2x-3（3分）（2）存在点P,使四边形POPC为菱形；设P点坐标为（x,x2-2x-3）,PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC=PO：连接PP',则PEJ1.CO于E,OE=EcQ2y=7；（6分）.X2-2x-3=-_2解得Xi=Nt近,不合题意，舍去）22P点的坐标为（尹何-（3分）22（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F.设P（x.x?-2x-3）,易得，直线Be的解析式为y=-3则Q点的坐标为（X,x-3）；S闪边对ABPC=SABC+SBPQ+SaCPQ22.GE=(4-工)-(4-I)=1.工.(5分)44又点A到GE的距离为C到GE的距离为2-即SAACG=SAEG+SaCliG=-iEG+EG(2-)2222=12(t-J_)=-2(t-2)2+l.(7分)244(3)当t=2时，SAACG的最大值为1.(8分).(12分)（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）点本题考查了二次函数的综合题.其中涉及到的学问点有待定系数法求二次函数的解析if：式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法.28.（12分）（2024恩施州）如图，在平面直角坐标系中，：次函数y=x?+bx+c的图象与X轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式.（2）连接PO、PC,并把APOC沿Co翻折，得到四边形PopC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形？若存在，恳求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请干脆写出点M的运动忖间I的值；若不能，请说明理由.(2).P(%y)是物物线上的一点.,.P(,-X2-X)4若SMDP=SzxvSmdc=ADOC5mop=dM6分又Y点C是直线y=-2x-l与y轴交点C(O,1)/.OC=I=ABOC+POF+PBF222=×4×3+-(-x2+3x)×3（10分）,四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（2，-15）,四边形ABPC的面积的最大值为（12分）点此题考杳了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等学问，当评：所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解.26.（2024年铁岭市）如图，法知抛物线经过原点。和轴上一点A（4,0）,抛物线顶点为E,它的对称轴与X轴交于点D,直线y=-2x-经过抛物线上一点B（-2,m）且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.（1）求In的值及该抛物线对应的解析式；（2）P（1,y）是抛物线上的一点，若SAttH=SAg求出全部符合条件的点P的坐标；（3）点Q是平面内随意一点，点M从点F动身，沿对称轴向上以蜉秒1个单位长度的速度匀解：(D抛物线,-jx1+r+c，经过6(O,4),.c=4Y顶点在直线X!上.-A.?.*=-224235.四边形ZACO是菱形AC=CD=D4=加=5.C。两点的坐标分别是(5,4)、(2,0)4分当X-5时，y-?x52-x5÷4-433-5分.点C和点D都在所求抛物线上.<3)设CO与对称轴交于点尸，则P为所求的点6分设直线Co耐应的函数关系式为y=fcr+6-A-=1,即一X=I或一./一X=-I444解得：阳=2+2行,电=2-2&/3=勺=2，点P的坐标为A(2+224),Pl(2-22,l)tPy(Z-1)10分(3)存在:1=4-J5,t2=6,6=4+5,r4=p<(本小题满分12分)如图.RlAABO的两支角边。4、OB分别在X轴的负半轴和，轴的正半轴上，O为坐标原点，/、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线75P=-/+bx+c经过点8,且顶点在直线X=一上.3 2(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ZUSO沿X轴向右平移得到ADCE,点4 B、。的对应点分别是。、C、E,当四边形458是菱形时，试判断点C和点。是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连结8D.已知在对称轴上存在一点P,使得P5D的周长最小，求出尸点的坐标；(4)在(2